数学模型姜启源离散模型PPT课件

1、离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整数规划（第整数规划（第4 4章）、图论、对策章）、图论、对策论、网络流、论、网络流、 分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）只用到代数、集合及图论（少许）的知识的知识第1页/共67页8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于于

2、1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一种一种定性与定量相结合的、定性与定量相结合的、系统化、层次化系统化、层次化的分析方法的分析方法第2页/共67页目标层目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一一. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例. . 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .第3页/共67页“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维

3、过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。第4页/共

4、67页1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地第5页/共67页nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA2122212121117124

5、2/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,) 1(21jiijwwa/令权向量),(21Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第6页/共67页wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij, 2 , 1,满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，

6、如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第7页/共67页2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, ,

7、1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权

8、向量成对比较阵和权向量第8页/共67页一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形

9、成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下第9页/共67页“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量( (特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致

10、性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数正整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称称素阵素阵seAkkklim 素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单根根 ，对应正特征向量，对应正特征向量s，且且eAAsskkk ) 1()(0001100011000110A排名为排名为1，2，4，3sskk)(,)(归一化后Ts)230. 0 ,167. 0 ,280. 0 ,323. 0(, 4 . 1用用s排名排名1234(4)1, 2, 3, 4?第35页/共67

11、页000100100100110000001010111000111010ATTTTssss)16,25,21,32,28,38(,)9 ,12,7 ,16,10,15()3 , 4, 3 , 9 , 5 , 8(,)1 , 2, 2, 3 , 3 , 4()4()3()2()1(1234566支球队比赛结果支球队比赛结果Ts)104. 0 ,150. 0 ,113. 0 ,231. 0 ,164. 0 ,238. 0(,232. 2排名次序为排名次序为1，3， 2，5，4，6第36页/共67页v1能源利用量；能源利用量； v2能源价格；能源价格；v3能源生产率；能源生产率； v4环境质量；环

12、境质量；v5工业产值；工业产值； v6就业机会；就业机会；v7人口总数。人口总数。8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的影响元素间的影响带方向的弧带方向的弧影响的正反面影响的正反面弧旁的弧旁的+、 号号带符号的有向图带符号的有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律；方针政策客观规律；方针政策例例 能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第37页/共67页Evvvvvvajijijiij若，为若为若，0, 110000001100000001000011000000001001000000010

13、001110A带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集 E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi 增加导致增加导致下时段下时段vj 增加增加减少减少带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5第38页/共67页0000005 . 1100000005 . 100002 . 13 . 000000000100200000007 . 00002 . 18 . 05 . 00W加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi 增加增加1单位导致单位导致下时段下时段vj 增加增加wij单位

14、单位jwivvij的特例视为 WAv70.311.5-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2第39页/共67页, 2 , 1 , 0, 2 , 1),1()() 1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或) 1()() 1(tptvtv冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过程 vi(t) vi在时段在时段t 的的值值； pi(t) vi在时段在时段t 的的改变量改变量(冲量冲量)(,),(),()(),(

15、,),(),()(2121tptptptptvtvtvtvnnjwivvij冲量过程模型冲量过程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或第40页/共67页231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0的冲量过程的冲量过程若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变)0()0(pv) 1()() 1(tptvtvAtptp)()1(设设能源利用系统的能源利用系统的 p(t)和和v(t)

16、-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000001p第41页/共67页简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限(稳定稳定) S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定 S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t, | pi(t) |有界有界 S值稳定值稳定对任意对任意 i,t, | vi(t) |有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定) 1()() 1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()

17、(S的稳定性取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的非零特征根为的非零特征根为 第42页/共67页 S冲量稳定冲量稳定 | | 1 S冲量稳定冲量稳定 | | 1且均为单根且均为单根 S值稳定值稳定 S冲量稳定冲量稳定且且 不等于不等于10000001100000001000011000000001001000000010001110A对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A) 1()(2352f特征多项式特征多项式76)2(, 2) 1 (ff) 2 , 1 (能源利用系统存在能源利用系统存在冲量冲量不稳定不稳定的简单冲量过程的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定

18、性的稳定性 第43页/共67页简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性 改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S* 带符号的带符号的有向图双向连通，且存在一个有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。位于所有回路上的中心顶点。回路长度回路长度 构成回路的边数构成回路的边数回路符号回路符号 构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k的回路符号和的回路符号和r使使ak不等于不等于0的最大整数的最大整数 S*冲量稳定冲量稳定 ) 1, 2 , 1(rkaaar-krk, 1ra 若若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 1r1kka+-+-+-+v

19、2v1v3v4v6v7v5第44页/共67页简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性 a1=0, a2= (-1)v1v2 (-1)v2v1 =1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5 S*冲量稳定冲量稳定 ) 1, 2 , 1(rkaaar-krk, 1ra352aaa (-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用由鼓励利用变为限制利用) a2 =-1+ +S*冲量不稳定冲量不稳定) 1()(2352fA的的特征多项式特征多项式且为单根12/)31( , 1 ,0 ,0iiS*冲量稳定冲量稳定

20、S*冲量稳定冲量稳定 | | 1且均为单根且均为单根v1利用量, v2价格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5第45页/共67页 若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 1r1kka1 , 0 , 1 , 1, 0,54321aaaaa S*冲量稳定冲量稳定 ) 1, 2 , 1(rkaaar-krk, 1rav3能源生产率 v5工业产值1,1,5353aaaa(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳定(+1)v3v5 (-1)v3v5能源利用系统的值不应稳定？能源利用系统的值不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+第46页/共67

21、页8.4 效益的合理分配效益的合理分配11321xxx457323121xxxxxx例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，元，三人合作获利三人合作获利11元。又知每人单干获利元。又知每人单干获利1元。元。问三人合作时如何分配获利？问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为),(321xxxx 解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)1,321xxx第47页/共67页)(1Ivxniiniivxi, 2 , 1),(212121),()()(0)(ss

22、svsvssvv,2, 1nI集合 (1) Shapley合作对策合作对策满足实函数，子集)(svIs I,v n人合作对策，人合作对策，v特征函数特征函数),(21nxxxxn人从人从v(I)得到的分配，满足得到的分配，满足v(s) 子集子集s的获利的获利第48页/共67页!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()(公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素数目，中的元素数目， Si 包含包含i的所有子集的所有子集)( sw由由 s 决定的决定的“贡献贡献”的权重的权重 Shapley值值)()(isvsv i 对合作对合作s 的的“贡献贡献”

23、)(siShapley合作对策合作对策第49页/共67页三人三人(I=1,2,3)经商中甲的分配经商中甲的分配x1的计算的计算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv1S1 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得类似可得 x2=23/6, x3=17/6)1()()(11svsvswxSs1 2 2 3第50页/共67页合作对策的应用合作对策的应用 例例1 污水处理费用的合理分担污水处理费用的合理分担20km38km河流河流三城镇地理位置示意图三城镇地

24、理位置示意图123 污水处理，排入河流污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，三城镇可单独建处理厂，或联合建厂或联合建厂(用管道将污水用管道将污水由上游城镇送往下游城镇由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道长度管道长度建厂费用建厂费用P1=73Q0.712管道费用管道费用P2=0.66Q0.51L第51页/共67页230)3(,160)2(,230573) 1 (712. 0CCC35020566. 0)35(73)2 , 1 (51. 0712. 0C36538366. 0)53(73)3 , 2(51. 0712. 0C46358566. 0)55(73)

25、 3 , 1 (51. 0712. 0C460)3() 1 (CC污水处理的污水处理的5 种方案种方案1）单独建厂）单独建厂620)3()2() 1 (1CCCD总投资总投资2）1, 2合作合作3）2, 3合作合作4）1, 3合作合作580)3()2 , 1 (2CCD总总投资投资595) 3 , 2() 1 (3CCD总投资总投资合作不会实现合作不会实现第52页/共67页55638) 35(66. 020566. 0)535(73) 3 , 2 , 1 (51. 051. 0712. 05CD5）三城合）三城合作总投资作总投资D5最小最小, 应联合建厂应联合建厂 建厂费：建厂费：d1=73

26、(5+3+5)0.712=453 12管道费：管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建议：建议：d1 按按 5:3:5分担分担, d2,d3由城由城1,2担负担负城城2建议：建议：d3由城由城1,2按按 5:3分担分担, d2由城由城1担负担负城城1计算：计算：城城3分担分担d1 5/13=174C(3), 城城2分担分担d1 3/13+d3 3/8 =132C(1)不不同同意意D5如何分担？如何分担？230) 3(160) 2(230) 1 (CCC第53页/共67页0)3()2()1(,0)(vvvv3

27、,2, 1I集合特征函数特征函数v(s)联合联合(集集s)建厂比单独建厂节约的投资建厂比单独建厂节约的投资),(321xxxx 三三城从城从节约投资节约投资v(I)中得到的分配中得到的分配40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 () 2() 1 ()(0) 31 (25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32(CCCCIvvCCCv Shapley合作对策合作对策第54页/共67页计算计算城城1从从节约投资中得到的分配节约投资中得到的分配x1)1()()(svsvsw)( sws

28、) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7,城城1 C(1)-x1=210.4, 城城2 C(2)-x2=127.8, 城城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资三城在总投资556中的分担中的分担x2 =32.1, x3=12.2x2最大，如何解释？最大，如何解释？第55页/共67页合作对策的应用合作对策的应用 例例2 派别在团体中的权重派别在团体中的权重 90人的团体由人的团体由3个派别组成，人数分别为个派别组成，人数分别为40

29、, 30, 20人。人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。1)()32()31 ()21 (, 0)3()2() 1 (, 0)(Ivvvvvvvv虽然虽然3派人数相差很大派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策合作对策计算计算各派别在团体中的权重。各派别在团体中的权重。3/1321xxx权重团体团体 I=1,2,3，依次代表，依次代表3个派别个派别否则，的成员超过定义特征函数045, 1)(ssv第56页/共67页优点：优点：公正、合理，有公理化基础。公正、合理，有公理化基础。如

30、如n个单位治理污染个单位治理污染, 通常知道第通常知道第i方单独治理的投资方单独治理的投资yi 和和n方共方共同治理的投资同治理的投资Y, 及第及第i方不参加时其余方不参加时其余n-1方的投资方的投资zi (i=1,2, n). 确定共同治理时各方分担的费用。确定共同治理时各方分担的费用。iijjzyiIv)(其它其它v(s)均不知道均不知道, 无法用无法用Shapley合作对策合作对策求解求解Shapley合作对策小结合作对策小结若定义特征函数为合作的获利若定义特征函数为合作的获利(节约的投资节约的投资)，则有，则有,)(), 2 , 1(0)(1YyIvniivnii缺点：缺点：需要知道所

31、有合作的获利，即要定义需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有的所有子集子集(共共2n-1个个)的特征函数，实际上常做不到。的特征函数，实际上常做不到。第57页/共67页),(1nbbb记设只知道设只知道)(iIvbi无无 i 参加时参加时n-1方合作的获利方合作的获利)(IvB及全体合作的获利全体合作的获利0),(21inxxxxxB的分配求各方对获利),(),7 , 5 , 4(11321xxxxbB求，即已知求解合作对策的其他方法求解合作对策的其他方法例例. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获

32、利元，乙丙合作获利4元，三人元，三人合作获利合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？元。问三人合作时如何分配获利？第58页/共67页（2）协商解）协商解00,AbAxTT11nniiibxxbxxBx11将剩余获利将剩余获利 平均分配平均分配 ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7 , 5 , 4(.Bb例模模型型以以n-1方合作的获利为下限方合作的获利为下限TTbxA求解求解iiibbnx11 xi 的下限的下限, 3),1 , 3 , 4(ixBx) 2 , 4 , 5() 1 , 1 , 1 ( xx第59页/共67页（3）Nash解解 ),(1nddd记为现状点（谈判

33、时的威慑点）为现状点（谈判时的威慑点）iiiiiidxBxtsdxxma. .)(iixd 在此基础上在此基础上“均匀地均匀地”分配全体合作的获利分配全体合作的获利B模模型型0id)(1iiidBndx平均分配获利平均分配获利B3）Nash解解 2）协商解）协商解第60页/共67页（4）最小距离解）最小距离解的上限为记xxxxn),(1iiiiiixxBxtsxxnmi. .)(2模模型型 第第i 方的边际效益方的边际效益iibBx若令若令nBbbnxiii111),7 , 5 , 4(.Bb例)(1Bxnxxiii4）最小距离解）最小距离解 2）协商解）协商解, 6),4 , 6 , 7(Bxxi) 2 , 4 , 5 () 2 , 2 , 2 (xx第61页/共67页（5）满意解）满意解iiiiidedxu满意度Bxtsunmixmaiii. .)(di现状点现状点(最低点最低点)ei理想点理想点(最高点最高点)模模型型iiiixexd,5）基于满意度的解）基于满意度的解 2）协商解）协商解