MBA联考排列组合

1、【经典资料，文档，可编辑修改】【经典考试资料，答案附后，看后必过，文档，可修改】1 排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取m(mn) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从一个排列；从n 个不同元素中取出m(mn) 个元素的所有排列的个数，叫做从的排列数，用符号A(n,m) 表示 .n 个不同元素中取出n 个不同元素中取出m 个元素的m 个元素A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2 组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出n

2、个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从nm 个元素的组合数.用符号c(n,m)表示 .c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3 其他排列与组合公式从 n 个元素中取出r 个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这 n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k 类元素 , 每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).两个基本计数原理及应用(1) 加法原理和分类计数法1 加法原理2 加法原理的集合形式3 分类的要求每一类中的

3、每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏 )(即分类不重)；完成(2) 乘法原理和分步计数法1 乘法原理2 合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例题分析 排列组合思维方法选讲1 首先明确任务的意义例 1. 从 1、2 、3、 、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c成等差

4、，2b=a+c, 可知 b 由 a,c决定，又 2b是偶数，a,c 同奇或同偶，即：从1，3，5，19 或 2， 4， 6， 8， 20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步

5、骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为： =56 。2 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例 3 在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植A， B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A， B 两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有 _ 种。分析：条件中 “要求 A、B 两种作物的间隔不少于6 垄 ”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类： A 在第一垄， B 有 3种选择；第二类： A 在第二垄， B 有 2种选择；第三类： A 在第三垄， B 有一种选择，同理 A、 B 位置互换 ，共

6、 12种。例 4 从 6 双不同颜色的手套中任取4 只，其中恰好有一双同色的取法有_ 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。（一）从6 双中选出一双同色的手套，有种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240 种。例 5身高互不相同的6 个人排成2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_ 。分析：每一纵列中的两人只要选定， 则他们只有一种站位方法， 因而每一纵列的排

7、队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 =90 种。例 6 在 11 名工人中，有5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外2 人能当钳工也能当车工。现从11 人中选出 4 人当钳工， 4 人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。因而共有185 种。例 7 现有印着 0 ， l， 3 ，5 ， 7 ， 9 的六张卡片，如果允许 9 可以作 6

8、用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数 ?分析：有同学认为只要把0 ，l，3 ， 5 ，7，9 的排法数乘以2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有9 的话才可能用 6 替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含 9 ，有种方法；抽出的三数含0 不含 9，有种方法；抽出的三数含9 不含 0，有种方法；抽出的三数不含9 也不含 0 ，有种方法。又因为数字9 可以当 6 用，因此共有2×(+)+=144种方法。例 8 停车场划一排12 个停车位置， 今有 8 辆车需要停放， 要求空车位连在一起，不同的停车方法是_种。分析：把空车位看成一个元素，和8 辆车共九个元素排列，因而共有种停

9、车方法。3 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例 9 六人站成一排，求(1) 甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2) 甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：（ 1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共 +种站法。（ 2 ）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。共 +2+=312 种。例 10 对某件产品的6 件不同正品和4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次

10、品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析： 本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有种可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有种可能。 共有种可能。4 捆绑与插空例 11. 8 人排成一队(1) 甲乙必须相邻(2) 甲乙不相邻(3) 甲乙必须相邻且与丙不相邻(4) 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5) 甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：（ 1）有种方法。（ 2 ）有种方法。（ 3 ）有种方法。（ 4 ）有种方法。（ 5 ）本题不能用插空法，不能连续进行插空。用间接解法

11、：全排列 -甲乙相邻 - 丙丁相邻 +甲乙相邻且丙丁相邻，共 -+=23040 种方法。例 12.某人射击 8 枪，命中4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析：连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5 个空中选出 2 个的排列，即。例 13. 马路上有编号为l， 2 ， 3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而

12、问题为在7 盏亮着的灯形成的不包含两端的6 个空中选出 3 个空放置熄灭的灯。 共=20 种方法。4 间接计数法 .(1)排除法例 14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数 =任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共种。例 15 正方体8 个顶点中取出 4 个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数 -共面四点的方法数， 共-12=70-12=58 个。例 16. l ，2， 3， ， 9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为1。（1）当

13、 1 选上时， 1必为真数， 有一种情况。（2）当不选 1时，从 2-9中任取两个分别作为底数， 真数，共，其中 log24=log39，log42=log93, log23=log49,log32=log94.因而一共有 53个。(3) 补上一个阶段，转化为熟悉的问题例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面， (不一定相邻 )，共有多少种不同的方法 ? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢 ?分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360 种。（二）先考虑六人全排列； 其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， 共=12

14、0 种。例 18 5 男 4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有 =9×8×7×6=3024 种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024 种，综上，有6048 种。例 19.三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。5 挡板的使用例 20 10 个名额分配到八个班，每班至少一个名额，

15、问有多少种不同的分配方法?分析：把10 个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36 种。6 注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段 (排序 )可转化为排列问题。例 21.从 0 ， l， 2 ， 9 中取出 2 个偶数数字，3 个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0 的选取。（一）两个选出的偶数含0 ，则有种。（二）两个选出的偶数字不含0 ，则有种。例 22.电梯有 7 位乘客，在10 层楼房的每一层停留，如果三位乘

16、客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?分析：（一）先把7 位乘客分成3 人， 2 人，一人，一人四组，有种。（二）选择10 层中的四层下楼有种。 共有种。例 23.用数字 0， 1 ， 2 ，3， 4，5 组成没有重复数字的四位数，(1) 可组成多少个不同的四位数?(2) 可组成多少个不同的四位偶数?(3) 可组成多少个能被 3 整除的四位数 ?(4) 将 (1) 中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85 项是什么 ?分析：（ 1）有个。（ 2 ）分为两类： 0 在末位，则有种： 0 不在末位，则有种。 共+种。（ 3 ）先把四个相加能

17、被 3 整除的四个数从小到大列举出来，即先选0，1， 2，30，1， 3，50，2， 3，40，3， 4，51，2， 4，5它们排列出来的数一定可以被3 整除，再排列，有：4×()+=96 种。（ 4 ）首位为 1 的有 =60 个。前两位为 20 的有 =12 个。前两位为 21 的有 =12 个。因而第 85 项是前两位为23 的最小数，即为2301 。7 分组问题例 24. 6 本不同的书(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?分析：（ 1）有中。（ 2 ）即在（ 1）的基础上除去顺序，有种。（ 3 ）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。（ 4 ）有种。同（ 3），原因是甲，乙，丙持有量确定。（ 5 ）有种。例 25. 6 人分乘两辆不