高等数学：9-4 线性微分方程(1-69)

1、9.4 线性微分方程线性微分方程我们将方程我们将方程)()()( xRyxQyxPy (1)称为称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程 ( 关于关于 都是一次的都是一次的 ) ,y, y y若若 R(x) = 0 , 则方程则方程 0 yxQyxPy)()( (2)称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程 . 同样如果同样如果 R(x) 0 , 称方程称方程 (1) 为为二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程 若若 P(x) = p , Q(x) = q ( p , q 为常数为常数 )则方程则方程 (1) 为为)( xRqypyy (3)( xRqypyy (3)方程方程 (3)

2、 称为称为二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程 同样地同样地 , 如果如果 R(x) = 0 , 即即0 qypyy (4)称方程称方程 (4) 为二阶线性常系数齐次微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程 否则若否则若 R(x) 0 ,称方程称方程 (3) 为为二阶线性常二阶线性常 系数非齐次微分方程系数非齐次微分方程 1 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构设设 P(x) , Q(x) , R(x) 在在 a , b 上连续上连续 , 下面我们下面我们 讨论方程讨论方程 (1) , (2) 解的性质解的性质 性质性质 1 (齐次方程解的叠加性齐次方程解的叠加性 ) ( 线性

3、性质线性性质 )如果如果 y1(x) , y2(x) 是齐次方程是齐次方程 (2) 的解的解 ,则对任意则对任意常数常数 c1 , c2 R , y(x) = c1 y1(x)+c2 y2(x)也是方程也是方程 (2 ) 的解的解 证明证明, )( )( )( xycxycxy2211 , )( )( )( xycxycxy2211 因为因为)() )( 221122112211ycycxQycycxPycyc )()( (1111yxQyxPyc02222 )()( (yxQyxPyc )()()( xycxycxy2211 是方程是方程 (2) 的解的解 问题问题: )()()(xycxy

4、cxy2211 是否为方程是否为方程 (2) 的通解的通解 ?若若 y1(x) 与与 y2(x) 成线性关系成线性关系 ,)()()c (1xcyxycL222 )()(xLyxy21 即存在常数即存在常数 L R 使使 )()(c 1xycxLy222 则则 )()()(xycxycxy2211 此时此时 不是方程不是方程 (2) 的通解的通解 )()()(xycxycxy2211 定义定义对于对于a , b上的两个函数上的两个函数 y1(x) , y2(x) , 若其若其中之一是另一个的常数倍中之一是另一个的常数倍 , 即存在常数即存在常数 L 使使 )()(xLyxy21 则称函数则称函

5、数 y1(x) , y2(x) 在在 a , b 上上线性相关线性相关 , 否则否则称称 y1(x) , y2(x) 在在 a , b 上上线性无关线性无关 说明说明:, cos , sin )(xyxy32311 由于由于Lxxyxy 221tan)()( cos , sinxyxy3231 在任意区间上都是线性无关在任意区间上都是线性无关 )( ln , ln )(02231 xxyxy由于由于)()(xyxy213 xyxyln , ln 231在任一区间上都是线性相关的在任一区间上都是线性相关的定理定理 1 (二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构)如果如果 y1(x) ,

6、y2(x) 是齐次方程是齐次方程 (2) 在在 a , b 上的上的任意两个线性无关的解任意两个线性无关的解 , 则则是齐次方程是齐次方程 (2) 在在 a , b 上的通解上的通解 ( 这里这里 c1 , c2 是是任意常数任意常数 ) )()()(xycxycxy2211 (5)定理定理 1 的结论可类似地推广到的结论可类似地推广到 n 阶线性齐次方程阶线性齐次方程0111 yxayxayxaynnnn)()()()()(6)定义定义对于对于a , b上的函数上的函数 ),( , , )( , )(2xyxyxyn1则称这则称这 n 个函数在个函数在 a , b 上是上是 线性相关的线性相

7、关的 , 如果存在如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数 使在使在, , , , 2nkkk1a , b 上有上有02211 )( )()(xykxykxyknn否则称这否则称这 n 个函数在个函数在 a , b 上是上是线性无关的线性无关的 定理定理 2 ( n 阶线性齐次方程解的结构阶线性齐次方程解的结构)如果函数如果函数 是齐次方程是齐次方程 (6) )( )()()(xycxycxycxynn 2211是方程是方程 (6) 的通解的通解 )( , , )( , )(xyxyxyn21的的 n 个线性无关的特解个线性无关的特解 , 则则说明说明: (1) 线性齐次方程解的结构定理

8、把方程的求线性齐次方程解的结构定理把方程的求解归结为对方程的线性无关解的计算问题解归结为对方程的线性无关解的计算问题 (2) 对于一般的变系数线性齐次方程对于一般的变系数线性齐次方程 , 对线性对线性无关解的计算仍是困难的无关解的计算仍是困难的 (3) 求解齐次方程求解齐次方程0 yxQyxPy)()( (2)的方法的方法:(a) 求出求出 (2) 的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解 y1(x) , y2(x) ;(b) 写出通解写出通解)()()(xycxycxy2211 例例验证验证 是微分方程是微分方程xey 10112 yxyxxy)()( 的一个解的一个解 , 并求其通解并求其

9、通解 解解将将 代入方程得代入方程得 ,xey 1,xey 1xey 10112 xxxexexxe)()(xey 1是方程的一个解是方程的一个解 由于方程是二阶线性齐次微分方程由于方程是二阶线性齐次微分方程 , 故为求其故为求其通解通解 , 只需求一个与只需求一个与 y1 线性无关的解线性无关的解 y2 设设 是方程的解是方程的解 , 其中其中 u(x) 是待定函数是待定函数xexuy)( 2由于由于, xxueeuy 222xxxyu eu eue 代入方程得代入方程得0 uxu uxu xuu1 积分得积分得1cxulnlnln xcu1 由于只需取一个解由于只需取一个解 , 故取故取

10、c1 = 1 ,于是有于是有xdxdu1 再积分得再积分得2cxu ln取取 c2 = 0 , 则有则有xuln 所以所以 是原方程的一个解是原方程的一个解 , 且与且与xeyxln 2xey 1线性无关线性无关 . 根据齐次方程解的结构定理根据齐次方程解的结构定理知知 , 方程的通解为方程的通解为xcecxyxxlne)(21 下面讨论非齐次方程下面讨论非齐次方程 (1) 的解的结构的解的结构证明证明将函数将函数 代入方程代入方程 (2) 有有12yxyx( )( ) 121212y xyxP xy xyxQ xy xyx( )( )( )( )( )( )( )( ) 111yxP x y

11、xQ x yx( )( )( )( )( ) 222yxP x yxQ x yx( )( )( )( )( ) 0 )()(xRxR性质性质 2如果如果 是非齐次方程是非齐次方程 (1)的任意的任意12yxyx( ),( )两个特解两个特解 ，则，则 是非齐次方程是非齐次方程 (1)所对所对12yxyx( )( ) 应的齐次方程应的齐次方程 (2) 的解的解 进一步分析进一步分析：若：若 是非齐次方程是非齐次方程 (1)的任意一个解的任意一个解y x( ) 是非齐次方程是非齐次方程 (1) 的一个任意取定的特解的一个任意取定的特解pyx( )根据性质根据性质 2 ， 是齐次方程是齐次方程 (2

12、)hpyxy xyx( )( )( ) 的解，的解，即即非齐次方程非齐次方程 (1)的任意一个解都可表示为非齐次的任意一个解都可表示为非齐次方程方程 (1) 的一个任意取定的特解与其对应的齐次方的一个任意取定的特解与其对应的齐次方程（程（2）的某一解的和）的某一解的和 。phy xyxyx( )( )( ) 从而有从而有反之，容易验证反之，容易验证phy xyxyx( )( )( ) 也一定是非齐次方程也一定是非齐次方程 (1) 的解的解 定理定理 ( 非齐次方程解的结构非齐次方程解的结构)其中其中 c1 , c2 是任意常数是任意常数 如果如果 y1(x) , y2(x) 是方程是方程 (1

13、) 对应的齐次方程对应的齐次方程 (2)的任一特解的任一特解 , 的任意两个线性无关的解的任意两个线性无关的解 , pyx( )是非齐次方程是非齐次方程 (1) 则则是非齐次方程是非齐次方程 (1) 的通解，的通解， 1 122py xyxc yxc yx ( )( )( )( ) 非齐次方程非齐次方程)()()( xRyxQyxPy 的求解方法的求解方法:(1) 求出齐次方程求出齐次方程0 yxQyxPy)()( 的任意两个线性无关的特解的任意两个线性无关的特解 y1(x) , y2(x) ;(2) 求出非齐次方程求出非齐次方程)()()( xRyxQyxPy 的一个特解的一个特解 pyx(

14、 )(3) 写出非齐次方程的通解写出非齐次方程的通解1 122py xyxc yxc yx ( )( )( )( ) 例例设设 y1(x) , y2(x) 和和 y3(x) 都是二阶线性非齐次都是二阶线性非齐次)()()( xRyxQyxPy 微分方程微分方程 的解的解 , 且且)()()()(xyxyxyxy1312 常数常数 , 求证求证:)()()()()(xyc xycxyccxy32211211 是该方程的通解是该方程的通解 , 其中其中 c1 , c2 是任意常数是任意常数 .解解因为因为)()(1321211yyc )yycyxy 由于由于 是非齐次方程的解是非齐次方程的解 ,

15、所以所以321y, y , y1312yyyy , 是其对应齐次方程的解是其对应齐次方程的解 根据根据非齐次方程的解的结构定理非齐次方程的解的结构定理知知)()()()()(xyc xycxyccxy32211211 )()(1321211yyc yycy 是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解由于由于)()()()(xyxyxyxy1312 常数常数 ,1312yy, y y 解解 线性无关线性无关 .性质性质 4 ( 非齐次方程解的叠加原理非齐次方程解的叠加原理 )如果函数如果函数 y1(x) 和和 y2(x) 分别是二阶线性非齐分别是二阶线性非齐次方程次方程)()()( xfyxQyxPy

16、1 和和)()()( xfyxQyxPy2 的解的解 ,则则 是方程是方程 xyxyxy)()()(21 )()()()( xfxfyxQyxPy21 的解的解 2 二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程考虑二阶线性常系数方程考虑二阶线性常系数方程)( xfqypyy (7)的求解问题的求解问题 (1) 二阶线性常系数齐次方程的求解二阶线性常系数齐次方程的求解设齐次方程设齐次方程0 qypyy (8)其中其中 p , q 为常数为常数 下面考虑求下面考虑求 (8) 的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解设方程设方程 (8) 有形式有形式 的解的解 , xey 代入方程代入方程 (8)

17、有有02 xxxqeepe 即即02 xeqp )( 待定常数待定常数 应满足方程应满足方程02 qp (9)方程方程 (9) 称为齐次方程称为齐次方程 (8) 的的特征方程特征方程 为求方程为求方程 (8) 的两个线性无关的解的两个线性无关的解 , 需分别需分别对特征方程对特征方程 (9) 的情况进行讨论的情况进行讨论 (a) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有两个不同的实根有两个不同的实根)(042 qp设设 是特征方程是特征方程 (9) 的根的根 , 则则R 21 , xxey ey2121 ,是方程是方程 (8) 的解的解 .由于由于xxeeyy2121 常数常数 ,xxey ,ey

18、 2121 是线性无关解是线性无关解 ,所以方程所以方程 (8) 的通解的通解 ececxyxx2121 )(b) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有两个不同的复根有两个不同的复根)(042 qp设两个复根设两个复根 :, iba , iba 21 则有解则有解 eyxiba)( 1)sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 2)sin(cosbxibxeax ibxaxee 为了获得方程为了获得方程 (8) 的两个实线性无关解的两个实线性无关解 , 利用性质利用性质1 知知bxeeeyaxxxcos)( 21211 bxeeeiyaxxxsin)( 21212 都为都

19、为 (8) 的解的解并且并且 y1 , y2 是是 (8) 的实函数解的实函数解 , 同时是线性无关的同时是线性无关的 .所以方程所以方程 (8) 的通解的通解bxecbxecxyaxaxsincos)(21 )sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 1)sin(cos)(bxibxeee eyaxibxaxxiba 2(c) 如果特征方程如果特征方程 (9) 有相等的实根有相等的实根)(qp42 此时根此时根, p221 于是于是xpxeey211 是方程是方程 (8) 的解的解为了获得为了获得 (8) 的另外一个与的另外一个与 y1(x) 线性无关的线性无关的解解

20、, 采用采用常数变易法常数变易法 )()()(xyxcxy12 设设 (8) 有形如有形如 的解的解 , 其中其中c(x) 为待定函数为待定函数 .则则)( )()()( )( xyxcxyxcxy112 )( )()( )( )()( )( xyxcxyxcxyxcxy11122 代入方程有代入方程有 )( )()( )( )()( xyxcxyxcxyxc11120111 )()()( )()()( xyxqcxyxcxyxcp )( )()( )()( xcxpyxyxyxc11120111 )()( )( )(xqyxpyxyxc)( )()( )()( xcxpyxyxyxc1112

21、 pxyxyxcxc )()( )( )( 112积分得积分得pxxyxc )(ln)( ln12121 pxpxpxeexyexc )()( xxc )(所以所以 是方程是方程 (8) 的解的解 , 且与且与 y1(x)xxexy12 )(线性无关线性无关 所以方程所以方程 (8) 的通解的通解xxxexcc xececxy1112121 )()( 计算齐次方程计算齐次方程 (8) 的通解的方法的通解的方法:0 qypyy 设齐次方程为设齐次方程为(1) 写出特征方程写出特征方程02 qp (2) 根据特征方程的情况写出方程的通解根据特征方程的情况写出方程的通解(a) 有两个不同的实根有两个

22、不同的实根:21 通解通解: ececxyxx2121 )(b) 有一对共轭复根有一对共轭复根:iba 21, 通解通解:bxecbxecxyaxaxsincos)(21 (c) 有两个相等的实根有两个相等的实根:21 通解通解:xxxexcc xececxy1112121 )()( 例例求方程求方程 的通解的通解 096 yyy 解解特征方程特征方程0962 特征根特征根321 , ( 二重根二重根 )所以方程的通解所以方程的通解xexccxy321 )()(例例求方程求方程 的通解的通解 086 yyy 解解特征方程特征方程0862 特征根特征根4221 ,所以方程的通解所以方程的通解 e

23、cecxyxx4221 )(解解特征根特征根 i 321 , 所以方程的通解所以方程的通解 xcxcxy3321sincos)( 例例求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 09 yy 3000 )( )(y , y的特解的特解 特征方程特征方程092 由由, c y0001 )(由由1333022 c c y)( 又又 xcxcxy333321cossin)( 所以特解所以特解 xxy3sin)( 例例一圆柱形浮体半径为一圆柱形浮体半径为 0.25 m , 在水中浮动在水中浮动 . 设设它的对称轴始终垂直于水面它的对称轴始终垂直于水面 , 且水面是平静的且水面是平静的 .今今将它轻轻按下再放

24、开将它轻轻按下再放开 , 浮体作周期浮体作周期 2 秒的上下震秒的上下震动动 , 设忽略阻力设忽略阻力 , 求浮体的质量求浮体的质量 解解s 0hs建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 , 原点原点O 为浮体平衡时浸水线的位置为浮体平衡时浸水线的位置 当浮体下浮位移当浮体下浮位移 s 时时, ghgsf22250250).().( 浮浮力力由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得原理知原理知: 由阿基米德由阿基米德).().(ghgsmgdtsdm2222250250 由于平衡时由于平衡时 , ghmg2250).( 所以有所以有gsdtsdm222250).( 即即025022 smgdtsd2).

25、( ( 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程 )特征根特征根: img 25021., 特征方程特征方程:, mg025022 ).( 方程的通解方程的通解120 250 25ggsctctmmsin( .)cos( .) 此时的运动周期此时的运动周期mgT 2502. 现由现由 T = 2 , gm2250).( 所以有所以有(2) 二阶线性常系数非齐次方程的求解二阶线性常系数非齐次方程的求解设非齐次方程设非齐次方程)( xfqypyy ( p , q 常数常数 )(10)从非齐次方程解的结构理论知从非齐次方程解的结构理论知 , 现只需讨论求现只需讨论求方程方程 (10) 的一个特解的方法的一个

26、特解的方法 下面介绍用待定系数法求方程下面介绍用待定系数法求方程 (10) 的特解的方法的特解的方法(a) , xPexfnx)()( 为实常数为实常数 , Pn(x) 为为 n 次实次实系数多项式系数多项式设设 (10) 有形式有形式 的解的解 , 其中其中 Q(x) xQexyx)()( 是一待定多项式是一待定多项式由由)( )()( xQeexQxyxx xexQxQ )()( )( )( )()( )( xQxQexQxQexyxx )()( )( xQxQxQex22 代入方程有代入方程有 )()( )( xQxQxQex22 xexQxQp )()( )()(xPexQqenxx

27、整理得整理得)()()()( )()( xPxQqpxQpxQn 22(11)1) 如果如果 不是特征方程不是特征方程 的根的根02 qp , qp02 则则取取nnnnnbxbxbxbxQxQ 1110)()(其中其中 为待定系数为待定系数 nnb, b, b, b110 ,)()()()( )()( xPxQqpxQpxQn 22(11)代入代入 (11) 式确定式确定 使使nnb, b, b, b110 , xQexynx)()( 是方程是方程 (10) 的解的解( 不是特征根情形的特解形式不是特征根情形的特解形式 )2) 如果如果 是特征方程是特征方程 的单根的单根 02 qp 020

28、2 p , qp则则此时此时 , 为使为使 (11) 式的左边为一式的左边为一 n 次多项式次多项式 , 代入代入 (11) 式确定式确定 使使nnb, b, b, b110 , xQxexynx)()( 是方程是方程 (10) 的解的解 . ( 是单根情形的特解形式是单根情形的特解形式 )()(xxQxQn 可取可取3) 如果如果 是特征方程是特征方程 的二重根的二重根 .02 qp 0202 p , qp则则此时此时 , 为使为使 (11) 式的左边为一式的左边为一 n 次多项式次多项式 , xQexxynx)()( 2 是方程是方程 (10) 的解的解( 是二重根情形的特解形式是二重根情

29、形的特解形式 )代入代入 (11) 式确定系数式确定系数 使使nnb, b, b, b110 ,)()(xQxxQn2 可取可取综合以上结论知综合以上结论知: xQexxynxk)()( 其中其中 为待定为待定 nnnnnnbxbxbxbxQ 1110)(次实系数多项式次实系数多项式 ,0 , 不是特征根不是特征根1 , 是单根是单根2 , 是二重根是二重根k =)( xPeqypyynx ( Pn(x) 为为 n 次实多项式次实多项式 )的特解形式为的特解形式为二阶线性常系数非齐次方程二阶线性常系数非齐次方程例例求方程求方程 的通解的通解 xexyyy22644)( 解解特征方程特征方程04

30、42 特征根特征根221 , ( 二重根二重根 )所以齐次方程的通解所以齐次方程的通解:xexccxy221)()( 先求齐次方程先求齐次方程 的通解的通解044 yyy 再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解由由, exxfx226)()( 是特征方程的二重根是特征方程的二重根 ,故可设非齐次方程的特解为故可设非齐次方程的特解为xexbbxxy2102)()( 此时此时xexbxbbxbxy21210302232)()( xebxbbxbbxbxy2101210302684124)()()( 代入方程整理得代入方程整理得262610 xbxb令令 , 660 b221 b解得解得1

31、110 b b,所以求得方程的一特解所以求得方程的一特解:xexxxy223)()( 由此求得原方程的通解由此求得原方程的通解xxexccexxxy221223)()()( 例例设设 f (x) 为连续函数为连续函数 , 且满足方程且满足方程 xxdttftxexf02)()()(求求 f (x) 解解原方程可表示为原方程可表示为 xxxdtttfdttfxexf002)()()(将方程两边对将方程两边对 x 求导有求导有)()()()( xxfxxfdttfexfxx 022 xxdttfe022)(再将方程两边对再将方程两边对 x 求导有求导有)()( xfexfx 24即即xexfxf2

32、4 )()( 又从上面的等式可得又从上面的等式可得2010 )( )(f , f故知所求函数故知所求函数 f (x) 满足以下初值问题满足以下初值问题xeyy24 2010 )( )(y , y特征方程特征方程, 012 特征根特征根i 21, 所以齐次方程所以齐次方程 通解通解: 0 yy xcxcxyhsincos)(21 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为xAexy2 )( = 2 不是特征根不是特征根 )代入方程得代入方程得xxxeAeAe22244 54 A所以特解所以特解xexy254 )(于是原方程的通解于是原方程的通解xcxcexyxsincos)(21254 由由, c

33、 y51101 )(由由 )( 52202 cy故所求函数为故所求函数为xxexyxsincos)(5251542 (b)sin)(cos)()(xxP xPexflnx 此时方程此时方程 (11) 为为sin)(cos)( xxPxxPeqypyylnx (12)其中其中 Pn(x) , Pl (x) 分别为分别为 n 次和次和 l 次多项式次多项式 .对于方程对于方程 (12) 可设其特解为可设其特解为sin)(cos)()(xxRxxQexxymmxk 其中其中 m = max n , l , 为为 m 次多项式次多项式 )()(xR , xQmm0 , + i 不是特征方程的根不是特征

34、方程的根1 , + i 是特征方程的单根是特征方程的单根k =例例求方程求方程 的通解的通解 xeyyxcos 210 解解特征方程特征方程012 特征根特征根121 , 所以齐次方程的通解所以齐次方程的通解xxececxy21 )(先求齐次方程先求齐次方程 的通解的通解 0 yy 再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解此时此时,x exfxcos)(210 及及 Pn(x) = 10 , Pl (x) = 0 , = 2 , = 1 由于由于 + i = 2 + i 不是特征根不是特征根 , 故设特解故设特解)sincos()(xbxaexyx 2此时此时sin)(cos)()(

35、xabxbaexyx 222sin)(cos)()( xabxbaexyx43432 代入原方程并整理得代入原方程并整理得xxabxbacossin)(cos)(104242 1042 ba042 ab令令解得解得 a = 1 , b = 2所以原方程的特解所以原方程的特解:)sin(cos)(xxexyx22 原方程的通解原方程的通解xxxececxxexy2122 )sin(cos)(注意注意: 尽管尽管 中不含中不含 (12) 中中x exfxcos)(210 的的 sin x , 但应认为是但应认为是 (12) 式中的式中的 Pl (x) = 0 ,不可设特解为不可设特解为xaexyx

36、cos)(2 而应设为而应设为)sincos()(xbxaexyx 2例例求方程求方程 的通解的通解 xexyyyx418622cos)( 解解特征方程特征方程0862 特征根特征根4221 , 所以齐次方程的通解所以齐次方程的通解xxhececxy4221 )(下面考虑求非齐次方程的特解下面考虑求非齐次方程的特解将原方程分解为将原方程分解为xexyyy22186)( (13)xyyy486cos (14)注意到若注意到若 是是 (13) 的特解的特解 , 是是 (14) 的特解的特解 )(xy1)(xy2则则 就是原方程的特解就是原方程的特解 )()()(xyxyxy21 而而 (13) 属

37、于属于 (a) 的情形的情形 , (14) 属于属于 (b) 的情形的情形 设方程设方程 (13) 的特解为的特解为221xy xx axbxc e( )() ( = 2 是特征根是特征根 )将将 代入代入 (13) , 整理得整理得)(xy112246622 xcbxbaax)(令令16 a046 ba122 cb解得解得 434161 c , b , a所以所以xexxxxy221434161)()( 再求方程再求方程 (14) 的特解的特解 . 由于由于 不是特征根不是特征根 , i4 故可设特解故可设特解xbxaxy442sincos)( 将将 代入代入 (14) , 整理可得整理可得

38、)(xy2xxabxba442484248cossin)(cos)( 令令1248 ba0248 ab解得解得 , b , a803801 )sin(cos)(xxxy4348012 )()()(xyxyxy21 原方程的特解原方程的特解)sin(cos)(xxexxxx43480143416122 所以原方程的通解所以原方程的通解)()()(xyxyxyh xxecec4221 xexxx22434161)( )sin(cosxx434801例例弹性横梁的震动问题弹性横梁的震动问题有一质量为有一质量为 m 的电动机的电动机 , 安装在梁上安装在梁上 A 点点 , 电电动机开动时动机开动时 ,

39、 产生一垂直于梁的干扰力产生一垂直于梁的干扰力 psin t ( p , 为常数为常数 ) , 使梁发生振动使梁发生振动 . 梁上梁上 A 点的位移用坐点的位移用坐标标 y 表示表示 , 梁的弹性恢复力与位移梁的弹性恢复力与位移 y 成正比成正比 ( 比例比例系数为系数为 k 0 ) , 求求 A 点的运动规律点的运动规律(不计阻力与重力不计阻力与重力)解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示A oyA 点受到的力点受到的力: (1) 干扰力干扰力: psint(2) 弹性恢复力弹性恢复力 : kykytpdtydm sin22据牛顿第二定律有据牛顿第二定律有初始条件初始条件:0000 )(

40、 )(y , y即即 y 满足初值问题满足初值问题:kytpdtydm sin220000 )( )(y , y特征方程特征方程:02 km 特征根特征根:imk 21, 齐次方程的通解齐次方程的通解:tnkctmkctyhsincos)(21 :mk被称为被称为固有频率固有频率 下面求非齐次方程的特解下面求非齐次方程的特解(1) 当当 时时 , 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为mk tbtaty sincos)( 代入方程整理得代入方程整理得tptmkatmkb sincos)(sin)( 22令令02 )( mkapmka )(2 解得解得2 mkpb 0 a)(mk tmkpty

41、 sin)(2 非齐次方程的特解非齐次方程的特解:非齐次方程的通解非齐次方程的通解:tmkctmkcsincos21 tmkpty sin)(2 由由, y , y0000 )( )(2210 mkpkmc , c 所以初值问题的解所以初值问题的解)sin(sin)(tmkkmtmkpty 2(2) 当当 时时 , 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为mk )sincos()(tbtatty 代入方程可得代入方程可得:02 b , kpa ttkpty cos)(2 非齐次方程的特解非齐次方程的特解:非齐次方程的通解非齐次方程的通解:kpc , c 2021 tmkctmkcsincos2

42、1 ttkpty cos)(2 由由 可确定可确定 y , y0000 )( )(所以初值问题的解所以初值问题的解tmkkpttkptysincos)(22 tkpttkp sincos22 注意注意: 位移位移 y(t) 的振幅为的振幅为 2212tkp 将随将随 t 的增大而无限增大的增大而无限增大 , 从而引起从而引起共振现象共振现象 当当 时时 ,mk 3 n 阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程 n 阶方程阶方程 )()()(xfyayayaynnn 0111(15)其中其中 是常数是常数 , 称为称为 n 阶线性阶线性)(2110 n a , a , an常系数微分方程常系数微

43、分方程 而称而称 n 阶方程阶方程00111 yayayaynnn)()(16)为方程为方程 (15) 所对应的所对应的 n 阶线性常系数齐次方程阶线性常系数齐次方程 与二阶线性方程类似与二阶线性方程类似 , 非齐次方程非齐次方程 (15) 的通解为的通解为:phy xyxyx( )( )( ) 其中其中 yh(x) 为其对应齐次方程的通解为其对应齐次方程的通解 ,pyx( )为为 (15)的一个特解的一个特解 )()(, )(xy , , xy xyn21若若 为齐次方程为齐次方程 (16) 的的n 个线性无关解个线性无关解 ( 即其中的任何一个都不能被其余即其中的任何一个都不能被其余的线性

44、表示的线性表示 ) , )()()()(xyc xycxycxynn 2211则齐次方程则齐次方程 (16) 的通解为的通解为为求齐次方程为求齐次方程 (16) 的的 n 个线性无关解个线性无关解 , 求出特征方程的根求出特征方程的根 , 并写出对应的解并写出对应的解:(1) 若若 是是 (17) 的单重实根的单重实根 , 则确定其对应的则确定其对应的解为解为:xe (2) 若若 是是 (17) 的的 k 重实根重实根 , 则确定其对应的则确定其对应的k 个解为个解为 :xkxxxex , , ex , xe , e 12 其有形式其有形式 的解的解 , xexy )(可设可设(17)方程方程

45、 (16) 的特征方程的特征方程00111 aaannn 代入代入 (16) 得得 满足满足则确定其对应的两个解为则确定其对应的两个解为 : bxe ,bx eaxaxsincos(3) 若若 是是 (17) 的单重共轭复根的单重共轭复根 : iba (4) 若若 是是 (17) 的的 k 重共轭复根重共轭复根 : iba 则确定其对应的则确定其对应的 2k个解为个解为 :bxex bxex ,bx eaxkaxaxcos,coscos1 bxex bxex ,bx eaxkaxaxsin,sinsin1 于是就可根据方程于是就可根据方程 (17) 根的情况根的情况 , 写出齐次写出齐次方程方程 (16) 的的 n 个线性无关解个线性无关解 , 从而获得齐次方程从而获得齐次方程(16) 的通解的通解 yh(x) 例例求方程求方