高等数学：3-4函数的单调性与极值

1、函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法第四节第四节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题,(2)( , )( )0( ).a ba bfxyf xI如果在内，那末函数在上单调减少,1( , )( )0( )a ba bfxyf xI（） 如果在内，那末函数在上单调增加；,( )( , )a byf xIa b设函数在连续，在内可导.一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理1abBA证证,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理

2、)()()(1212xxfxfxf 内，内，若在若在),(ba, 0)( f则则),()(12xfxf ;,)(上上单单调调增增加加在在baxfy 内内，若若在在),(ba, 0)( f则则),()(12xfxf .,)(上上单单调调减减少少在在baxfy )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不论对于开、闭、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注例例解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y单调减少；单调减少；函数在函数在0 ,(,), 0(内内在在, 0 y.), 0单调增加单调

3、增加函数在函数在).,(定义域为定义域为注意注意 1 1、函数的单调性是一个区间上的性质，函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性性2 2、在、在函数连续的区间内，如果函数的驻点和函函数连续的区间内，如果函数的驻点和函数的导数不存在的点只是离散的、孤立的，并数的导数不存在的点只是离散的、孤立的，并不构成区间，而在其余各点处导数值保持同号，不构成区间，而在其余各点处导数值保持同号，则定理结论仍成立。则定理结论仍成立。区间内有限个或无穷多个离散点

4、处导数为零区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如如, ,3xy , 00 xy上上但在但在),(注注不影响区间的单调性不影响区间的单调性.单调增加单调增加.3xy 又如又如, ,),(sin 在在xxy内可导内可导,且且xycos1 等号只在等号只在), 1, 0()12( kkx (无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立,故故),(sin 在在xxy内内单调增加单调增加., 0 xyO方法方法不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 问题问题函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,但在各个但在各个定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数

5、在其定义域的某个区间内是单调的,)(的定义区间的定义区间划分函数划分函数xf然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的分界点分界点二、单调区间求法二、单调区间求法部分区间上单调部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间例例解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得解方程解方程 xf, 11 x. 22 x).,(定义域定义域)1 ,( )2 , 1(), 2(x)(xf)(xf 单调递增区间为

6、单调递增区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122单调递减区间为单调递减区间为例例解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf )0(,32)(3 xxxf,0时时当当 x单调递减区间为单调递减区间为,0 ,( )., 0 32xy .导数不存在导数不存在)0 ,(), 0( x)(xf)(xf ).,(定义域定义域xyO单调递增区间为单调递增区间为例例解解.)1()2()(322的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxf).,( 定定义义域域为为313)14)(2(2)( xxxxf1,41, 2 xxx可能分界点为：可能分界点为：(,1 ，41, 1 ).,

7、2单调增区间为单调增区间为不存在x)(xf)(xf )1,( ), 2( )41, 1( 1 2 00 41 )2 ,41( 2 ,41 单调减区间为单调减区间为例例证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,), 0(,), 0)(可可导导且且上上连连续续在在 xf;), 0上单调增加上单调增加在在, 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf例例21sin, 102xxexx 证明证明证证xexxfxsin21)(2 设设xexxfxcos)( xexfxs

8、in1)( , 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在xf 定不出符号定不出符号0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 )(,10 xfx有有时时当当0sin212 xexx21sin2xxex 即即,10时时当当 x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xexxfxsin21)(2 .,abbaeab 证明证明设设证证 只要证只要证.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 则则0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax

9、 ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以所以,时时当当ab )()(afbf 即即有有0lnln baabbaablnln 得得.abba , 0 0 思考题思考题1思考题思考题2,0ba 设设证明不等式证明不等式.1lnln222abababbaa 证证 先证右边不等式先证右边不等式.设设axaxaxx lnln)( ),0( ax0)( a )221(11)(xxaxaxx axxax2)(2 0 ,时时当当ax )(x 单调减少单调减少,故有故有)()(ax 0 即即axaxax lnln bbb再证左边不等式再证左边不等式. (两种方法两种方法)定义定义0,x若若在在 的的某某去

10、去心心邻邻域域内内),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值 (或极小值或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点. .恒有恒有函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值三、函数的极值及其求法三、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为1x2x3x4x5x6x函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的. 在一个区间内在一个区间内

11、,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的 xyOab)(xfy 定理定理2 2( (必要条件必要条件) )注注如如, ,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处处可可导导且且在在x的的叫做函数叫做函数为零的点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点驻点. .可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2. 极值的必要条件极值的必要条件函数的极值与最大值

12、最大值函数的极值与最大值最大值必是必是驻点驻点,费马引理费马引理如果函数如果函数处处在在0)(xxf可导可导,0)(xxf在在且且处取得极值处取得极值, 那么那么. 0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyO 0()0.fx xyO32xy 极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如, ,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x) 单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点

13、.几何上几何上,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 0 x在在定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件) )且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,),()1(00时时若当若当xxx 0)( xf);0( ,),(00时时当当 xxx0)( xf),0( 则则)(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值3. 极值的充分条件极值的充分条件xyO0 x xyO0 x o00(, ).xU x 的的某某去去心心邻

14、邻域域内内可可导导0 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数; 求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 xyOxyO例例解解.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)驻点驻点:, 1 x导数不存在的点导数不存在的点:.117 x. 1 x(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相

15、应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非极值非极值极小值极小值0)1( f极极小小值值2 . 2)117( f极大值极大值 0 不存在不存在极大值极大值驻点驻点:, 1 x导数不存在的点导数不存在的点:,117 x. 1 x.)1()1()(323的极值及单调区间的极值及单调区间求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值单调增加区间单调增加区间:)., 1

16、 ,117, 1 ,1,( 单调减少区间单调减少区间:7,1.11定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )证证, 0)(0 xf如果如果极大值极大值 (极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf),0( 极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此因此,当当|0 xx 充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性. 0)(0 xxxf可见可见,)(xf 与与0 xx 异号异号.,0 xx 当当; 0)( xf,0 xx 当当. 0)( xf所以所以,.)(0处取极大值处取极大值在点在点xxf

17、第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 . 2, 421 xx因为因为, 0 , 0 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值注注,0)(0

18、时时 xf仍用第一充分条件仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )不能不能应用应用. .事实上事实上, , 0)(0 xf当当,0)(0时时 xf处处在点在点0)(xxf可能有极大值可能有极大值, ,也可能有极小值也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .如如, ,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 处处在在0 x分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况. .充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可

19、用第二充分条件判断有无极值. 运用第一、第二充分条件需要注意运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理5 5 )()()(000 xfxfxf设设, 0)(0)( xfn, 3 , 2 n)1(),0( 的的是是则则)()(0 xfxf极大极大 值值.0)(0)( xfn若若(小小)2(.)()(0的极值的极值不是不是xfxf,为偶数时为偶数时当当n,为奇数时为奇数时当当n如如, ,)(2xeexfxx 则则, ,2)(xeexfxx , 0)0( f, 0)(0

20、)1( xfn, 2)( xxeexf, 0)0( f,)(xxeexf , 0)0( f,)()4(xxeexf . 02)0()4( f.)(0的极小值点的极小值点为为xfx 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值设设)(xfy 是方程是方程的一的一解解, ,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf则则)(xf在在)(0 x(A) 取得极大值取得极大值(B) 取得极小值取得极小值(C) 在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D) 在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示0 x得得)(4)(00 xfxf A函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值0 利用方程利用方程,

21、 ,代入代入240yyybaabab函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值四、最大值最小值问题四、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法xyOxyOxyO步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;注意注意: :a)a)如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值则这个极值就是最值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值) 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最

22、大上的最大(小小)值的方法值的方法:b) f (x)在在 a, b上连续且单调，则在端点处取到最值上连续且单调，则在端点处取到最值.例例解解上的上的在在求函数求函数2 , 2)1()(31232 xxxf.最大值与最小值最大值与最小值因因3223134322)1(3)1(2 xxxx驻点驻点:,21 x导数不存在的点导数不存在的点:, 0 x. 1 x函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值1223321( )(1)233fxxxx 仅需计算仅需计算:, 1)0( f.34)2(33 f, 1)1( f比较得比较得:因因上的上的在在求函数求函数2 , 2)1()(31232 xxxf.

23、最大值与最小值最大值与最小值是偶函数是偶函数,)(xf,43最大值最大值为为最小值最小值为为.3433 ,4)21(3 f122 21 21函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值驻点驻点:,21 x导数不存在的点导数不存在的点:, 0 x. 1 xxyO上的上的在在求函数求函数3, 0|2|)(xexxf 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值解解 32)2(20)2()(xexxexxfxx 32)1(20)1()(xexxexxfxx,)3 , 0(内内在在驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:, 1 x, 2 x, 2)0( f,)3(3ef ,)1(ef , 0)

24、2( f最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.例例大大所围成的三角形面积最所围成的三角形面积最及及与直线与直线使曲线在该点处的切线使曲线在该点处的切线上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解 如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为