第一节向量代数与空间解析几何基本概念

1、1向量及其运算向量及其运算数量： 只有大小， 单用实数就可以表示的量。向量： 既有大小， 又有方向的量。考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。oxyQRQ：始点R：终点向量记为QR若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x, y).oxyQRP(x, y)如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x, y)； 反之，平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量.即 平面向量与平面上的点是一一对应的.也即二元有序数组(x, y)表我们也称 (x, y) 为二维向量.示了平面上一向量，平面向

2、量 平面上点 二元有序数组定义定义1由n个数 a1, a2, an 所组成的有序数组 = (a1, a2, an)称为n维向量. 数 a1, a2, an 称为向量 的分量(坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标).一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.其它表示法CDAB ,vu , u, v平行四边形法则一般可定义如下基本运算.是否和数一样，可以对向量进行运算？回忆合力的运算.F1F2FF= F1+ F2定义定义2设 = (a1, a2, an), = (b1, b2, bn),为 n 维向量，可定义和运算：由此，可定义 n 维向量中两个典型

3、向量：零向量0: 满足 +0=. 由加法定义知：0=(0, 0, 0);负向量 ：满足 +( )= 0. 由加法定义知 =( a1, a2, , an).).,(2211nnbababaoxya1a2a2b2b1b1A几何上平行四边形法则(a1+b1, a2+b2)oxy +上图可简化为：三角形法则设 =(a1, a2, an)为 n 维向量，定义定义3 为实数.则向量( a1, a2, an ),称为向量 与数 的乘积.记为 = = ( a1, a2, an ).1. 交换律交换律 + = + ; + +2. 结合律结合律( + )+ = +( + );+ + + +3. +0= ;4. +

4、( )=0;5. 1 = ;6. 数乘结合律数乘结合律 = = ；7. 数乘对向量加法的分配律数乘对向量加法的分配律 + = + ；8. 数乘对数加法的分配律数乘对数加法的分配律( + = + .定义定义4.4. 向量的减法： . 例例1. 已知一平面向量, 始点为 Q(x1, y1), 终点为 R(x2, y2 ), 求其对应之坐标(分量).解：解：oxyR(x2, y2)P(x, y)Q(x1, y1)由向量减法定义知.(x2, y2)(x1, y1)(x2 x1, y2y1)=一般有：设n维向量, 始点为 Q(a1, , an),终点为R(b1, , bn), 则其坐标为(b1a1, ,

5、 bnan).OR OQ = QR = OP = (x, y)故得QR=(x, y)=(x2x1, y2y2).对于二维空间, 我们引入相应直角坐标系的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的数轴而成. 对于三维空间, 我们可类似地建立相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点O, 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点且具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴.数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如0 xyz0 xyz0 xzy0 xyz为统一起见, 我们用右手法则确定其正向.Oxyz主要名称与记号主要名称与记号: 1. 坐标平面坐标平面:三个坐

6、标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.xy 平面,yz 平面,zx 平面.2. 卦限卦限: 三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限.IVVIVVII0 xyVIIIIIIIIIz 点在各卦限中坐标的符号：III(, +, +)(+, +, +)III(, , +)IV(+, , +)V(+, +, )VI(, +, )VII(, , )VIII (+, , )3. 空间点在空间直角坐标系中的表示法空间点在空间直角坐标系中的表示法.RQPOxyzMxyz如此, 记P, Q, R在x 轴, y 轴, z 轴上的坐标依次为x, y,z. 因此, 点M 一一对应于有序数组(x, y, z).

7、4. 点点M 的坐标的坐标点M(x, y, z)记为M (x, y, z)x,y,z 称为M 的坐标.横坐标纵坐标竖坐标5. 三维向量与空间点的一一对应关系三维向量与空间点的一一对应关系.点M 一一对应(x, y, z)3R始点终点OM 6. 三维向量加法的几何意义三维向量加法的几何意义zxyozxyo 平行四边形法则三角形法则7. 数乘的几何意义数乘的几何意义( 1)( 1)(0 1)(1 0,1 0 00 ( , )=0( , )=因此， / 时, (, ) 仍表示 , 正向之间的夹角.可定义：可定义：若=0, 仍可视(, )为 , 正向之间的夹角.),cos(|其中，0(, ) 表示,

8、正向之间的夹角.例例2.解解: 所做功 W = f1 sSFsF1= |F| |S|cos (F, S) = F S.例例3. 求空间任意点 = (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角.解解: 在坐标轴上分别取三个单位向量i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 则|),cos(iii|),cos(jjj|),cos(kkk;222zyxx;222zyxy.222zyxz如果 是单位的, 即| |=1, 则cos(, i) = x,cos(, j) = y,cos(, k) = z,如果 不是单位的, 可进行单位化.| =222222222,zy

9、xzzyxyzyxx = (cos(, i), cos(, j ), cos(, k) ).易知cos2(, i) cos2(, j) cos2(, k) = 1. 的方向余弦及方向角, 与坐标轴夹角的余弦 例例4. 设两点M1(2, 2, ), M2(1, 3, 0). 求向量M1M2 的方向余弦及与M1M2 反方向的单位向量.2解解: = M1M2)2 , 2 , 2()0 , 3 , 1 (),2 , 1 , 1(. 2)2(1) 1(|22221MM,21),cos(i,21),cos(j,22),cos(k,32),(i,3),(j.43),(k与 M1M2 反方向的向量为).2 ,

10、 1 , 1 (12MM将其单位化, 得单位化向量).22,21,21(2)2, 1, 1 (|)(0向量在轴上的投影MPu点 P 为点 M 在轴上的投影.M1M2u1u2uu2 u1为M1M2在轴上的投影, 记为Proju = u2 u1 . M1o u1u2ucos|PruojcosPruoj. 1| , 00uuu轴同向与其中,0uou1u2uM2M2M1cos|0u性质：性质：2) 设 =(x, y, z), 则 Proji = i=x， Projj = j=y, Projk = k=z;3) Proju(+ )=Proju + Proju .1) Proju = u0其中 u0 为与

11、u轴同向的单位向量;例例5. 设 M(2, 1, 0), =(1, 1, 0)求 OM 在 上的投影解：解：Myxzo222011)0 , 1 , 1 ()0 , 1 , 2(.22323OMOMojPr在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现， 不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一: 有实际应用. abc = a b(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b

12、 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a b.即: c = a b注注: 向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.1. 定义定义1:设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得向量积的性质(1) a a = 0 (2) 反交换律 a b = b a (3) 分配律 a (b + c) = a b + a c (4) 向量积与数乘满足结合律: (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数| c |

13、= | a | | b | sin必要性: 设a 、b 平行, 则 = 0或 = . 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以所以 a b = 0 充分性: 设 a b = 0 则则 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0, 得 = 0或 = . 所以 a 与 b 平行证证:(5) 两个非零向量 a 、b 平行 a b = 0 例如例如: i i = j j = k k = 0 i j = k j i = k k j = i i k = jkjixyzk i = jj k = i2、向量积的坐标表示式、向量积的坐标表

14、示式设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k ) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i )= ( ay bz a

15、z by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k得公式:a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) kzyxzyxbbbaaakji求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.a b 同时垂直于a、b354122kjiba= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = (1, 2 , 2).显然, 对于任意 0R, c = (,2, 2) 也与a、b垂直.例例3:解解:而已知ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3

16、, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.xyzABCo由向量积的定义.|21ACABSABC而AB = (2, 2, 2)AC = (1, 2, 4)所以421222kjiACAB= 4i 6j + 2k于是|21ACABSABC142)6(421222例例4:解解:三、两向量的混和积三、两向量的混和积1.定义定义2 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , ( ) 即的混合积，记作 设有三个向量, , ,则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式zyz

17、ybbaazxzxbbaayxyxbbaaijk ,)(zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaacxcycz,zyxzyxbbbaaaijk )(.cccbbbaaazyxzyxzyx混合积性质：混合积性质：(1) = = = = = 事实上，若 , , 在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。h平行六面体所以，= |( ) | 3、混合积、混合积 ( ) 的几何意义的几何意义| ijphV = S h = |ijp|S底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值a b = |a| Prjab例例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1)