第六章数字滤波器设计方法

1、第六章第六章无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIR)IIR)数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法主要内容主要内容v掌握数字滤波器设计的基本概念掌握数字滤波器设计的基本概念v掌握冲激响应不变法掌握冲激响应不变法v了解阶跃响应不变法、理解双线性变换法了解阶跃响应不变法、理解双线性变换法v掌握利用模拟滤波器设计掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的思想、数字滤波器的思想、方法及过程方法及过程6-1 引言引言01( )( )( )1kkMkkNkkb zY zH zX za zX(z)Y(z)数字滤波器的系统函数表示数字滤波器的系统函数表示H(z) 数字滤波器是一个线性移不变的离散时间系

2、统，其设计一般包括: (1) 按任务要求，确定滤波器的性能指标； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近逼近这一性能要求； (3) 实现可采用计算机软件，也可采用DSP硬件。数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：()()()jjjjH eH ee 为幅度响应：表示信号通过该滤波器为幅度响应：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况后各频率成分的衰减情况()jH e 为相位响应：反映各频率成分通过滤波为相位响应：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况器后在时间上的延时情况()j 数字滤波器的性能一般以频率响应的幅数字滤波器的性能一般以频率响应的幅度特性的允许误差

3、来表示，其频率响度特性的允许误差来表示，其频率响应包括通带、过渡带及阻带三个范围应包括通带、过渡带及阻带三个范围（注意：理想滤波器只有通带和阻带（注意：理想滤波器只有通带和阻带两个范围）两个范围） 按频率特性，数字滤波器可分为：按频率特性，数字滤波器可分为：l 低通低通l 高通高通l 带通带通l 带阻带阻l 全通全通st2()jH ev阻带：阻带：cstv过渡带：过渡带：c11()1jH ev通带：通带：理想滤波器很难实现，只能以实际滤波器逼近理想滤波器很难实现，只能以实际滤波器逼近数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求数字滤波器的设计思想及方法数字滤波器的设计思想及方法01( )1Mkkk

4、Nkkkb zH za z用因果稳定的离散系统函数用因果稳定的离散系统函数逼近逼近给定的性能要求：给定的性能要求：, kkab求出系统函数的系数求出系统函数的系数v先设计合适的模拟滤波器，再转换为满足预定先设计合适的模拟滤波器，再转换为满足预定指标的数字滤波器：指标的数字滤波器：v计算机辅助设计法：按性能指标进行最优化运算，计算机辅助设计法：按性能指标进行最优化运算，求出最佳准则下滤波器系统函数的系数。求出最佳准则下滤波器系统函数的系数。 数字数字IIR滤波器的两种设计方法滤波器的两种设计方法l 模拟滤波器的模拟滤波器的设计已有一套相当成熟的方法：设计已有一套相当成熟的方法：有现成的设计公式，

5、设计参数已表格化，有多有现成的设计公式，设计参数已表格化，有多种典型形式的滤波器如种典型形式的滤波器如巴特沃思滤波器，切比巴特沃思滤波器，切比雪夫滤波器雪夫滤波器等。等。l 计算机辅助设计方法：这是一种最优化设计方计算机辅助设计方法：这是一种最优化设计方法，先确定一种最优准则，这种方式一般得不法，先确定一种最优准则，这种方式一般得不到滤波器系统函数的闭式表达式，需要大量的到滤波器系统函数的闭式表达式，需要大量的迭代运算。迭代运算。6.2 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器v设计思想：模拟滤波器 s 平面 数字滤波器z 平面模拟系统函数 数字系统函数( )( )aHsH

6、z主要设计方法：主要设计方法：- - 冲激响应不变法冲激响应不变法- - 阶跃响应不变法阶跃响应不变法- - 双线性变换法双线性变换法6.3 冲激响应不变法一、变换原理一、变换原理 数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)()(nThnhaT：抽样周期抽样周期)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法1( )NkakkAHsss( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )1kNks TkTAH zez2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤

7、波器例：设模拟滤波器的系统函数为例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez设设T = 1sT = 1s，则，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzzv优点：v缺点：保持线性关系：=WT线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混叠只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好冲激响应不变法的优缺点6.4 阶跃

8、响应不变法阶跃响应不变法v变换原理( )( )()at nTag ng tgnT 数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t) 其中其中T 为为 抽样周期抽样周期6.5 双线性变换法q冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真。q为了克服这一缺点，可采用双线性变换法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似一、变换原理及特点 先将s平面压缩变换到一个中介平面s1的一条横带里，然后再将横带映射到z平面。Z平面1Wj1Tjjee1W单位圆T/T/s1平面Tsez1T1WWjs平面1tan2TWW 采用以下变换采用以下变换12arctan(

9、)/,TT T W W 注意到注意到111111221221tan()21TTjjjTTTjTjjTeeejjeeeWW WWW WWW 1tan2TWW 由得11-11sTsTese得11,js jsW W 令1111zzsssz11sz这样 平面与 平面的单值映射关系为11s Tsze再把 平面映射到平面 n为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入常数一频率有对应关系，可引入常数 c:1tan2TcWW 1111zsczcszcs2cT2）某一特定频率严格相对应：ccW 1tantan22cccTccWW cot2ccc W1W

10、W1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置11tan22TTccWWW 二、变换常数c的选择四、优缺点v优点：避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换q 缺点：除了零频率附近，W与之间严重非线性1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器tan2cW TW为模拟角频率， 为数字角频率，为抽样周期2）数字滤波器的非线性相位关系要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。6.6 常用模拟低通滤波器特性v将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器v模拟滤波器巴特沃思 Butterworth 滤

11、波器切比雪夫 Chebyshev 滤波器椭圆 Ellipse 滤波器贝塞尔 Bessel 滤波器1、由幅度平方函数由幅度平方函数 确定模拟滤波器确定模拟滤波器的系统函数的系统函数2()aHjW( )aHs2*()()()aaaHjHjHjWWW( )()aasjHs Hs Wh(t)是实函数是实函数()()aaHjHjW W1）将将左半平面左半平面的的极点归的的极点归Ha(s)（确保稳定（确保稳定）2）将以虚轴为对称轴的将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的的零点，虚轴上的零点一半归零点一半归Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分

12、布 基于基于Ha(s) Ha(-s)的零极点，设计的零极点，设计 Ha(s)的零极点的零极点 由幅度平方函数得到象限对称的得到象限对称的s平面函数：平面函数： v对比 和 ，确定增益常数()aHjW( )aHsv由零极点及增益常数，得( )aHs2()( )aaHjHsW由确定的方法222()( )(- )|aaasHjHs HsW W零点：零点： （二阶）（二阶）2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHsWWWW已知幅度平方函数：，求系统函数例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjssW W7, 6ss 极点：极点：

13、5sj 零点：零点：5sj 7, 6ss 的极点：的极点：( )aHs设设 增益常数为增益常数为K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjKWW45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss( )aHs2.1 巴特沃思滤波器（巴特沃思滤波器（Butterworth）2、常见模拟滤波器设计幅度平方函数：221()1aNcHjWWW当2()1/ 2acHjW时称Wc为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽1( 0)20lg3()aacHjdBHjWN为滤波器的阶数W Wc c为通带截止频率为通带截止频率1

14、）幅度函数特点：幅度函数特点：221()1aNcHjWWW20()1aHjW Wv 21()1/ 23caHjdBW WWv 3dB不变性012300.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs HssjWWW1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN W W 2 2）幅度平方特性的极点分布：幅度平方特性的极点分布：3 3）滤波器的系统函数：）滤波器的

15、系统函数：1( )()NcaNkkHsssW121221,2,.,kjNkcsekN Wn求出系统函数：求出系统函数：1( )()NcaNkkHsssW其中极点121221,2,.,kjNkcsekN W或者由N，直接查表得归一化系统函数归一化系统函数001( )anNNdHsaa sa s00-1,=NaadW00表 6 4巴 特 沃 思 低 通 滤 波 器 的 系 数由 低 频 或 高 频 特 性确 定 ， 若 希 望0时 增 益 为 1，则 d =a =1。查表得归一化系统函数归一化系统函数( )aancsHsHWv去归一化( )anHs 利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤v将数字

16、滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标通带截止频率 、通带衰减p1阻带截止频率 、阻带衰减s2通带截止频率/ppTW 阻带截止频率/ssTW 通带截止频率tan(/2)ppcW 阻带截止频率tan(/2)sscW v确定数字滤波器的技术指标：冲激响应不变法双线性变换法234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssW或者b) 由N = 6，直接查表6-4(p266)得c) 去归一化4）将Ha(s)展成部分分式形式:1(

17、 )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：2、用双线性变换法设计2tan0.65 /2pprad sTW 2tan1.019 /2ssrad sTW 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spspWW 12

18、0.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad sW Wa）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek W661( )()cakkHsssWc) 构造系统函数234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化( )aancsHsHW112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz4）将Ha(s)变换成Butterworth数字滤波器：2.2 切贝雪夫滤波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHj