第3章灵敏度分析

1、管管 理理 运运 筹筹 学学13灵敏度分析灵敏度分析 灵敏度分析灵敏度分析：灵敏度分析是研究当目标：灵敏度分析是研究当目标函数中的系数发生变化、以及当约束条函数中的系数发生变化、以及当约束条件右边的发生变化时，原有的最优解、件右边的发生变化时，原有的最优解、最优目标值受到的影响。最优目标值受到的影响。管管 理理 运运 筹筹 学学2 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦，当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改它与可行域的交点

2、也可能随之变化。目标函数中的系数改变足够大时，可使最优解发生变化。见例子变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利的图，若等利润线在润线在AE和和BF之间变化时，则之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、点仍然是既在可行域上、又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线变得足够陡峭或平坦超出了直线变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和和BF之间的范围，则该之间的范围，则该等利润线将与可行域相交于另一顶点等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或点（或A点），这时点），这时最优解将从顶点最优解将从顶点B点变为另一个顶点点变为另一个顶点C点

3、（或点（或A点）。点）。 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发生变化。生变化。管管 理理 运运 筹筹 学学3约束条件右边的变化对最优解与目标值的影响 当约束条件右边变化时，相应的表示约束的直线当约束条件右边变化时，相应的表示约束的直线将平行移动，可行域将发生变化。当该移动足够将平行移动，可行域将发生变化。当该移动足够大，最优解、目标值

4、也可能随之变化。如当劳动大，最优解、目标值也可能随之变化。如当劳动时间减少时，表示劳动时间约束条件的直线时间减少时，表示劳动时间约束条件的直线BC移移动至图中虚线动至图中虚线BC所示的位置，可行域亦随之变所示的位置，可行域亦随之变化，从多边形化，从多边形OABCD变为变为OABCD。这时，最优。这时，最优解与目标值均将发生变化。但是约束条件解与目标值均将发生变化。但是约束条件（原（原材料材料1约束）的右边发生变化，而且变化不太大，约束）的右边发生变化，而且变化不太大，则可行域的变化不会影响最优解与目标值，该约则可行域的变化不会影响最优解与目标值，该约束是非紧的。当然如果变化很大，以致使该约束束

5、是非紧的。当然如果变化很大，以致使该约束条件成为紧的，这时，最优解与最优目标值均可条件成为紧的，这时，最优解与最优目标值均可能发生变化。能发生变化。管管 理理 运运 筹筹 学学4灵敏度分析的主要内容 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数目标函数中的系数变化时，表示目标函数的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标函数中的系数变化对最优解与目标值的影响函数中的系数变化对最优解与目标值的影响以及目标函数中的系数改变多少，方可使最以及目标函数中的系数改变多少，方可使最优解发生变化。优解发生

6、变化。 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条约束条件右边变化时，相应的表示约束条件的直线将平行移动，可性域发生变化，最件的直线将平行移动，可性域发生变化，最优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度分析是研究约束条件右边变化时对目标值或分析是研究约束条件右边变化时对目标值或最优解的影响状况。最优解的影响状况。管管 理理 运运 筹筹 学学5敏感性报告 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法进行分析，例如可用数学公式计算目标函数进行分析，例如可用数学公式计算目标函数的系数或约束条件右边变化对最优解与目标的系数或约束条件右边变

7、化对最优解与目标值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运用用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。的规划求解功能可得到敏感性报告。管管 理理 运运 筹筹 学学6 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响；位于报告下部的表格（单元格响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束）是关于约束条件右边变化对目标值的影响。见下图条件右边变化对目标值的影响。见下图1管管 理理 运运 筹筹 学学7

8、 有两个决策变量：产品有两个决策变量：产品A的产量和产品的产量和产品B的产量，它们在电的产量，它们在电子表格上的地址分别是子表格上的地址分别是$B$14和和$C$14，其最优解分别为，其最优解分别为100单位和单位和350单位。单位。 第四列是递减成本，它的绝对值表示目标函数中决策变量第四列是递减成本，它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。这的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。这里的里的“改进改进”，在最大化问题中是指增加，在最小化问题，在最大化问题中是指增加，在最小化问题中是指减少。两个决策变量均已得到正数解，所以它们的中是指减少。两个决

9、策变量均已得到正数解，所以它们的递减成本均为零。递减成本均为零。 第五列目标式系数是指目标函数中的系数，它是题目中的第五列目标式系数是指目标函数中的系数，它是题目中的已知条件。本例中目标函数中两个决策变量的系数分别为已知条件。本例中目标函数中两个决策变量的系数分别为3和和8。 第六列和第七列分别是允许的增量和运行的减量，它们表第六列和第七列分别是允许的增量和运行的减量，它们表示目标函数中的系数在允许的增量与减量范围内变化时，示目标函数中的系数在允许的增量与减量范围内变化时，最优解不变。本例中，第一个决策变量（产品最优解不变。本例中，第一个决策变量（产品A的产量）的的产量）的目标系数为目标系数为

10、3，允许增量为，允许增量为1，允许的减量为，允许的减量为3，因此该目标，因此该目标系数在系数在3-3,3+1即即0,4范围内变化，该问题的最优解不变。范围内变化，该问题的最优解不变。同理第二个决策变量（产品同理第二个决策变量（产品B的产量）的目标系数为的产量）的目标系数为8，允，允许增量为许增量为1E+30，允许的减量为，允许的减量为2，因此该目标系数在，因此该目标系数在8-2,8+1E+30即即6,范围内变化，该问题的最优解不变。范围内变化，该问题的最优解不变。管管 理理 运运 筹筹 学学8 注意注意! 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，

11、仅在该决策变量变化时的允许他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。变化范围。管管 理理 运运 筹筹 学学9 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址，中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址，名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左边的终值。边的终值。 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1使用量、原材料使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们使用量和劳动时间使用量，它们在电子表格上对应的地址分别是在电子表格

12、上对应的地址分别是$B$19，$B$20，$B$21，其终值分别为，其终值分别为1300，350和和1600。 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件右边的值分别是原材料右边的值分别是原材料1，原材料，原材料2，劳动时间的，劳动时间的供应量，它们分别是供应量，它们分别是1800，350，1600。 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它们表示约

13、束条件右边在允许的增量与减量范围内们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内变化时，影子价格不变。变化时，影子价格不变。管管 理理 运运 筹筹 学学10 例如本题中，第一个约束条件右边的值例如本题中，第一个约束条件右边的值为为1800，允许的增量为，允许的增量为1E30，允许的，允许的减量为减量为500，因此该约束条件右边在，因此该约束条件右边在1800-500,1800+1E30即即1300,范围内范围内变化时，原材料变化时，原材料1的影子价格不变。的影子价格不变。 注意注意! 这里给出的决策变量的允许变化范围是这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，仅在该决策变量变化指其他条件不

14、变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。时的允许变化范围。管管 理理 运运 筹筹 学学11 同理第二个约束条件右边在同理第二个约束条件右边在350-50,350+50即即300,400范围内变化时，原材料范围内变化时，原材料2的影子的影子价格不变。价格不变。 第三个约束条件右边在第三个约束条件右边在1600-200,1600+166.7即即1400,1766.7 范围内变化时，劳动时间的范围内变化时，劳动时间的影子价格不变。影子价格不变。管管 理理 运运 筹筹 学学123影子价格 在敏感性报告中，第四列是影子价格，它是在敏感性报告中，第四列是影子价格，它是指约束条件右边增加（或减少）一个单位，

15、指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。目标值增加（或减少）的数量。 在例在例1中有三个资源约束，每种资源的影子中有三个资源约束，每种资源的影子价格是该种资源供应量增加（或减少）一个价格是该种资源供应量增加（或减少）一个单位时，总利润增加（或减少）的数量单位时，总利润增加（或减少）的数量。管管 理理 运运 筹筹 学学13 从敏感性报告可知：从敏感性报告可知： 第一个约束条件（原材料第一个约束条件（原材料1供应量约束）的影子价供应量约束）的影子价格为格为0，这说明在允许的范围，这说明在允许的范围1300，+ 内，再增内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料加一个单位（

16、减少）一个单位的原材料1供应量，供应量，总利润不变。总利润不变。 第二个约束条件（原材料第二个约束条件（原材料2供应量约束）的影子价供应量约束）的影子价格为格为2，这说明在允许的范围，这说明在允许的范围300，400内，再增内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料加一个单位（减少）一个单位的原材料2供应量，供应量，总利润将增加（或减少）总利润将增加（或减少）2元。元。 第三个约束条件（劳动时间供应量约束）的影子第三个约束条件（劳动时间供应量约束）的影子价格为价格为1.5，这说明在允许的范围，这说明在允许的范围1400，1766.7内，内，再增加一个单位（减少）一个单位的劳动时间供再增加一个单

17、位（减少）一个单位的劳动时间供应量，总利润将增加（或减少）应量，总利润将增加（或减少）1.5元。元。管管 理理 运运 筹筹 学学14使用敏感性报告进行敏感度分析 （1）若产品）若产品A的利润系数从的利润系数从3（元（元/单位产品）单位产品）增至增至3.5（元（元/单位产品），那么，已求得的单位产品），那么，已求得的最优解、最优目标值会变化吗？最优解、最优目标值会变化吗？ 由图由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知，所示可知敏感性报告上部的表格可知，产品产品A的系数在允许的变化范围的系数在允许的变化范围3-3，3+1，即即0，4区间变化时，不会影响最优解。现区间变化时，不会影响最优解。现在产品在产品A的利润系数是的利润系数是3.5，是在允许的变化，是在允许的变化范围内，所以最优解不变，仍然是范围内，所以最优解不变，仍然是X=100，Y=350。 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来要注意的是，最优目标值将发生变化。原来是是3100，现在是，现在是3.5*100+8*350=3150。管管 理理 运运 筹筹 学学15 （2）如果原材料）如果原材料2供应量增加供应量增加30千克，最大利润千克，最大利润将为多少？将为多少？ 由图由图1的敏感性报告下部可知，当原材料的敏感性报告下部可知，当原材料2的约束的约束条件右边在允许变化的范围条件右边在允许变化的范围350-50,350+50即即3