自适应横向滤波器

1、第三章 自适应数字滤波器3.1 引 言3.1.1 从维纳滤波到自适应滤波1.维纳滤波器的适用条件维纳滤波器的适用条件 维纳滤波器的适用条件比较苛刻，主要表现在： （1）需要知道信号和噪声统计特性(如 , )的先验知识； （2）输入信号必须是平稳的，滤波器的参数是针对已知的输入统计特性设计的，因而是固定的，当输入统计特性变化时, 其最佳滤波性能将被破坏。 （3）卡尔曼滤波是采用递推算法实现的维纳滤波器, 本质上仍具有维纳滤波器的上述特点，虽然可适用于平稳和非平稳过程, 但不适用于输入统计特性未知或变化的情况.)(mRss)(mRvv2.自适应滤波器的特点自适应滤波器的特点 （1）自适应滤波器，实

2、际上是一种参数可自动调整的特殊的维纳滤波器。 （2）实现自适应滤波器不需要任何关于信号和噪声统计特性的先验知识；当输入统计特性变化时，它能按照某种准则自动地调整自身参数，以满足最佳滤波的需要。 （3）自适应滤波器具有学习和跟踪性能。 学习过程: 在输入信号统计特性未知的情况下, 调整自身参数达到最佳的过程. 跟踪过程: 当输入信号统计特性变化时, 调整自身参数达到最佳的过程.3.1.2 自适应滤波器的原理 原理框图如图3.1.1所示，主要包括两部分： 参数可调数字滤波器，滤波器结构: FIR, IIR或格形滤波器； 自适应算法。 与维纳滤波器比较, 自适应滤波器增加了一个识别控制环节.图中:

3、输入信号(或称观测信号)； 输出信号；图3.1.1 自适应滤波器原理图参数可调数字滤波器x(n)y(n)d(n)自适应算法e(n)识 别 控 制 环节( )x n( )y n 期望信号(或称参考信号,训练信号)； 误差信号。 自适应滤波原理自适应滤波原理( (过程过程):): （1）输入信号 经参数可调数字滤波器输出 : (3.1.1)即 是 的估计. 将 与期望信号 比较, 产生误差信号 : (3.1.2) （2）通过自适应算法，由 产生相应的控制信号，自动调整数字滤波器的参数，最终使 的均方误差最小, 即(3.1.3)这时 即为 的最佳逼近.( )d n( )e n)(nx( )y n(

4、)( )y nd n( )y n( )d n( )y n( )d n( )e n( )( )( )e nd ny n( )e n( )e n2( )minE en( )y n( )d n说明说明: : （1）自适应滤波有两个输入信号: 原始输入信号和参考输入信号;两个输出信号: 实际响应 和误差信号 . 和 究竟哪个作原始输入, 哪个作参考输入, 信号形式如何; 和 究竟哪个作为输出, 均根据具体应用来确定. （2）要达到自适应滤波的目的, 原始输入信号与参考输入信号必须相关.( )y n( )e n( )x n( )d n( )y n( )e n3.2 自适应横向滤波器3.2.1 自适应线性

5、组合器和自适应FIR滤波器 自适应线性组合器和自适应FIR滤波器, 是自适应滤波的基本结构形式,也是学习自适应信号处理的基础.1.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式（1）自适应线性组合器(多输入系统) 输入信号矢量是一个空间序列空间序列, 其元素由同一时刻的一组取样值构成(即在同一时刻 , 对 个不同信号源取样得到): (3.2.1)这种情况相当于并行输入.n1LT01( )( )( )( )Lnx nx nxnx 如图3.2.1所示, 这种多输入系统的输出 , 等于输入矢量 的各元素的线性组合(因此称该系统为线性组合器): (3.2.2)其中, 为加权系数. 定义“权矢量”

6、: (3.2.3)(ne)(ny输入信号矢量自适应处理器)(0nx)(1nx)(nxL)(nd)(0nw)(nwL)(1nw参考响应输出响应图3.2.1 自适应线性组合器( )y n( )nx0( )( )( )Lkkky nw n x n( )kw nT01( )( )( )( )Lnw nw nwnw则 的矢量表示式为: (3.2.4) 在该线性组合器中，其自适应过程，就是通过自适应算法自动调整权系数 ， ，使其均方误差最达最小的过程。 （2）自适应FIR滤波器(单输入系统) 输入信号矢量是一个时间序列时间序列, 其元素由同一个信号在不同时刻的取样值构成(即对同一信号源, 在 时刻以前 个

7、取样时刻得到): (3.2.5) ( )y nTT( )( ) ( )( )( )y nnnnnxwwx( )kw n0,1,kLn1LT( )( )(1)()nx nx nx nLx如图3.2.2所示, 单输入自适应系统的输出为 (3.2.6)同样用矢量表示为)(ne)(ny)(nx)(nd)(0nw)(nwL)(1nwz-1z-1z-1) 1( nx)2( nx)(Lnx参考响应输出响应时变横向（FIR）数字滤波器图3.2.2 自适应FIR滤波器自适应处理器0( )( ) ()Lkky nw n x nk其中权矢量 与式(3.2.3)相同. 由上可得单输入自适应滤波器的结构如图3.2.3示

8、: 这是一种时变横向数字滤波器, 在信号处理中应用较为广泛.2.2.利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差 下面采用均方误差(或平均功率)最小准则, 求最佳权系数. 对于以上两种输入情况, 输出误差信号均可表示为: (3.2.7)TT( )( ) ( )( )( )y nnnnnxwwx( )nwynnx1z1z1znw0nw1nw2nLw) 1( Lnwnx1nxLnx2nx图3.2.3 自适应横向滤波器结构TT( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )e nd ny nd nnnd nnnxwwx均方误差为:(3.2.8

9、)定义输入信号 的自相关矩阵 :(3.2.9) 与 的互相关矩阵P P:(3.2.10)将式(3.2.9)和式(3.2.10)代入式(3.2.8), 并用 代替 , 可得 (3.2.11)22TTT( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 ( )( ) ( )nE e nE d nn EnnnE d nnnwxxwxw( )nxRT2001021011201 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )LLLLLEnnxnx n x nx n xnx n x nxnx n xnExn x nxn x nxnRxx( )d n

10、( )nxT01 ( ) ( )( )( )( )( )( )( )LE d nnE d n x nd n x nd n xnPxw( )nw2TT( )( )2nEd nw RwP w若将式(3.2.11)展开, 则w的各分量只含一次项和二次项, 所以说, 是w各分量的二次函数. 上式表明: 当输入矢量 和参考响应 都是平稳随机信号时, 均方误差 是权矢量 的各分量的二次函数. 的函数图形是 维空间中的一个向下凹的超抛物面, 并有唯一的最低点 .该曲面称为均方误差均方误差性能曲面性能曲面, 简称性能曲面性能曲面; 式(3.2.11)称为性能函数性能函数. 均方误差性能曲面的梯度定义为: (3

11、.2.12)将式(3.2.11)代入上式, 得 (3.2.13)（1）最佳权矢量 满足均方误差最小时满足均方误差最小时, , 对应的权矢量即为最佳权矢量对应的权矢量即为最佳权矢量. . 在性能曲面上, 该点的梯度等于零. 由式(3.2.13), 有(3.2.14)( )nx( )d nw2LminT01Lwwww 22RwP w220RwP由式(3.2.14), 可得互相关矩阵:P Rw此关系式正是输入-输出互相关定理的矢量表达形式.于是得到 (3.2.15) 这与FIR维纳滤波器的最佳解 是一致的,因此 又称维纳（2）最小均方误差 将最佳权矢量 代入式(3.2.11), 得最小均方误差 (3

12、.2.16)（3）正交原理 根据均方误差性能曲面梯度的定义1wR P1opth-R PwT222201LT01L( )( )( )( )( )( )( )2( )E enE enE enE enwwwe ne ne nE e nwwww 0minwminT2T12min( )( )E dnE dn-P R PP w证明见本节附录.代入 , 得 (3.2.17)当权矢量取最佳值时, 梯度为0, 即 (3.2.18)上式说明, 当 时, 误差信号与输入信号是正交的, 即仍然服从正交性原理. 同样可根据正交性原理推导出维纳解(3.2.15)式.w wT( )( )( ) ( )e nd nnnwx2

13、 ( ) ( )E e nn x 2 ( ) ( )E e nn 0 x 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义 将性能函数表示式(3.2.11)重写如下:1.用权偏移矢量坐标用权偏移矢量坐标v v表示性能函数表示性能函数 不难证明(见附录), 均方误差可写成与上式等效的标准形式:(3.2.19)定义权偏移矢量: (3.2.20)用表示式(3.2.19), 得(3.2.21)2TT( )( )2nE dnw RwP wTmin()()wwR ww01,Lv vvvwwTminv RvwPRwwTT22)()(ndEn等效于式(3.2.19)回答p116思考题3.4,证明:式(3.2.11)上式

14、表明，当 偏离 一个数值 时，均方误差 将比 大 。为保证 ，要求 ， (3.2.22)2.2.用旋转坐标用旋转坐标v v ( (主坐标系主坐标系) )表示性能函数表示性能函数 由于自相关矩阵 是对称和正定(或半正定)的, 因此可利用它的特征值和特征向量对式(3.2.21)进一步简化. 将 化为标准形: (3.2.23)式中, 是 的特征值矩阵(对角线矩阵):(3.2.24)对角线上的元素 是 的 个特征值. wwv(0)vminTv Rv0T0v RvvRRTRQ Q R0101000000Diag(,)LL i), 2 , 1 , 0(LiR1L为满足式(3.2.22), R应是正定或半正

15、定的.半正定是指对某些有限个v或所有v, vTR v =0的情况. 称为“特征矢量矩阵”:(3.2.25)其中 称为对应于特征值 的特征矢量. 调节每个特征矢量的模, 使它们都具有单位长度, 于是, 的 个特征矢量是相互正交并各自归一的, 即满足: (3.2.26)(3.2.27)这时, 称 为“正交归一阵”, 即有, (3.2.28)现将式(3.2.23)代入式(3.2.21), 得到(3.2.29)Q00010101110101LLLLLLLqqqqqqqqqQqqqiqiQ1LT1,0,ijijijq qiiiRqqQTTQ QQQIT1QQTTminv Q Q v 令 (3.2.30)

16、则 (3.2.31) 这就是旋转坐标系 (或称主坐标系)中的性能函数表示式, 而且性能函数变成了平方和的形式. 式(3.2.30)给出了坐标 与 之间的关系. 再利用式(3.2.25)和(3.2.26),可得两个坐标中 的特征矢量 与 的关系为 (3.2.32)上式说明,坐标转换的结果, 坐标中的 的特征矢量 变成了 坐标中的单位矢量.3.3.坐标系坐标系w w, , v v, , v v 的关系及性能函数表示式的几何意义的关系及性能函数表示式的几何意义 为简单计, 下面讨论二维权矢量的情况. 这时有T01,Lv vvvQ vT2minmin0Li iivvv vvvRqqTT010,1,0L

17、 iiiqQ qqqqqvRq v, 式中, . 可见, 是 (同样也是 )的二次函数, 显然, 它是一个口朝上的抛物面, 如图3.2.4所示. 自适应过程是自动调整权系数,使均方误差达到最小值 的过程, 这相当于沿性能曲面往下搜索至最低点.01www01vvvww)0() 1 () 1 ()0(xxxxxxxxRRRRRTmin22min00 11()()(0)2(1)(0)xxxxxxRvRv vRv w wRw w0)0(xxRvwmin0w1w01min1w0wA1v0vw0w1w01w0w0v1v1v0v图3.2.5 等均方误差的椭圆曲线族图3.2.4 二维权矢量性能函数曲面（1）

18、坐标: 坐标相当于将坐标原点平移到 坐标的最佳点, 即原点坐标为 . 通常称: 坐标自然坐标; 坐标 的平移坐标.（2） 坐标: 用一个平面A切割抛物面: A与 平面平行, 相距 , 其交线在vvw01(,)w wwwvw v01-w w101-w w平面上的投影为一椭圆. 椭圆中心是性能曲面最低点 的投影, 坐标为 . 用若干个与 平面距离分别为 , 的平面切割性能曲面,在 平面上得到由一组交线投影形成的同心椭圆称为“等均方误差线”或“等高线”, 如图3.2.5所示. 根据均方误差表示式(3.2.21):可得等高线方程为或其中, . 对比式(3.2.21)和式(3.2.31), 有因此，min01(,)w ww01-w w1201-w wTminv RvTmincv RvT1cv Rv1minccTTv Rvvv , 其中: 由此得到或者 (3.2.33) 显然, 上式是一个椭圆方程, 和 应是椭圆族的主轴. 若 ,则 是长轴; 是短轴. 可见: 式式(3.2.31)起坐标旋转作用起坐标旋转作用, , 即将即将 旋转到主轴上旋转到主轴上, ,形成形成 主轴主轴. 因为得到 (3.2.34) 坐标中的单位矢量, 就是 坐标中的 的特征矢量.T1c vv 0100 220 01 11vvc220110111vvcc0v1v0