第5章无穷级数

1、1第五章第五章 无穷级数无穷级数2考试内容1.1.常数项级数收敛与发散的概念常数项级数收敛与发散的概念 2.2.收敛级数的和的概念收敛级数的和的概念 nnnuuuuu3211nniinuuuus211级数的部分和级数的部分和级数的收敛与发散级数的收敛与发散常数项级数常数项级数32.2.级数的基本性质与收敛的必要条件级数的基本性质与收敛的必要条件 性质性质3 3 去掉、添加或改变级数中的有限项去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响级数的不会影响级数的敛散性敛散性.性质性质4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. .级数收敛的必要条件级数

2、收敛的必要条件收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质其逆否命题其逆否命题: 若级数的一般项极限不为若级数的一般项极限不为0,则级数发散则级数发散.43.3.几何级数与几何级数与 p 级数及其收敛性级数及其收敛性 54.4.正项级数收敛性的判别法正项级数收敛性的判别法 定义定义0, nnuu比较审敛法比较审敛法正项级数收敛或发散的基本判定定理正项级数收敛或发散的基本判定定理6比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式7比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法),11发发散散级级数数 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( 85.交错级数与莱布

3、尼茨定理交错级数与莱布尼茨定理 ).0( , )1()1(111 nnnnnnnaaa其中其中或或定义定义莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :莱布尼茨型级数 96.任意项级数的绝对收敛与条件收敛任意项级数的绝对收敛与条件收敛 定义定义 正项和负项任意出现的级数正项和负项任意出现的级数. .发散发散条件收敛条件收敛绝对收敛绝对收敛收敛收敛1nnu达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法: : 107.7.幂级数及其收敛半径、收敛区间幂级数及其收敛半径、收敛区间( (指开区间指开区间) )和收敛域和收敛域定义定义,00时时当当x,0nnnxaAbelAbel定理定理11收敛

4、半径收敛半径 .1limlim1nnnnnnaRaaR或或收敛域收敛域 收敛点的全体收敛点的全体.),(RR收敛区间收敛区间 128.8.幂级数的和函数幂级数的和函数 9.9.幂级数在其收敛区间内的基本性质幂级数在其收敛区间内的基本性质 ,1)(100nnnxxnaxxSd且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . 1310.10.简单幂级数的和函数的求法简单幂级数的和函数的求法 且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . .)(11nnnxnaxS“拆项拆项”,“逐项求导逐项求导”,“逐项积分逐项积分”等方法等方法.1411.11.初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式 定义充要条件充要条件15展

5、开方法展开方法a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤:,| )(|0lim)2()(MxfRnnn或或讨讨论论b.间接法间接法 根据惟一性根据惟一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, ,四则运四则运算算, ,恒等变形恒等变形, ,逐项求导逐项求导, ,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.泰勒系数16常见函数展开式常见函数展开式! ) 12() 1(!5!3sin1253 nxxxxxnn!212 enxxxnx),(x),(x! )2() 1(!4!21cos242 nxxxxnn),(xnxxxxxnn 132) 1(3121)1ln(

6、1 , 1(x112) 1(111nnxxxx) 1 , 1(x12) 1(5131arctan12153nxxxxxnn 1 , 1x) 1 , 1(xnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (217考试要求1.1.了解级数的收敛与发散了解级数的收敛与发散,收敛级数的和的概念收敛级数的和的概念. 3.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系敛的关系,了解交错级数的莱布尼茨判别法了解交错级数的莱布尼茨判别法. 4.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. 2.

7、2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件,掌握几何级数及级掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件数的收敛与发散的条件,掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法判别法.5.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项和函数的连续性、逐项求导和逐项积分求导和逐项积分),会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. 18典型例题分析例例1 1解解判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:.1ln22nnnn (1),111ln02322)(2nn

8、nnnnnnnn充分大充分大是收敛的，是收敛的，而而1231nn.1ln22收敛收敛nnnn由比较审敛法知由比较审敛法知, ,19. 102100633)2(nnnnn例例1 1判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:,3limlim110062331 nnnnnnnnnu有相同的敛散性，有相同的敛散性，与与 1121100633nnnnnnn 发散，发散，而而 11nn由比较审敛法知由比较审敛法知, ,.10063312发散发散 nnnnn解解20. 1223cos)3(nnnn例例1 1判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:,223cos2nnnnnnu解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔

9、判别法(比值审敛法比值审敛法)知知, ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11再由再由比较审敛法比较审敛法知知,.收敛收敛1223cosnnnn,12121lim nnn,21收敛收敛nnn212. )32( )4( nnnn例例1 1判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:nnnnnnnnnnuu)()(limlim3211211解解由达朗贝尔判别法知由达朗贝尔判别法知, ,.收敛收敛 2)32(nnnn, 12132limlimnnunnnn解法二解法二由柯西判别法由柯西判别法(根式审敛法根式审敛法)知知, ,.收敛收敛 2)32(nnnnnnnn231 lim212

10、, e121)231(lim2102332222nnnnnnnn121) 12() 32)(1(limnnnnnnnn22. nnnn)322()5(2例例1 1判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:323332)3231(lim)322(limnnnnnnnnn解解由级数收敛的必要条件知由级数收敛的必要条件知,.发散发散 1)322(nnnn， e0)3231 (lim23323lim332nnnnnn23例例1 1判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:. 2ln1)6(nnn, , d 发散发散22lnlnln1xxxx解解由由柯西积分判别法柯西积分判别法知知,.发散发散2ln1n

11、nn24例例2 2解解nnnuu1lim25例例3 3解解?,?ln) 1(1收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛是是条条件件如如果果收收敛敛敛敛是是否否收收判判断断级级数数nnnn ,1ln1nnn,11发散发散而而nn,ln1ln) 1(11发散发散nnnnnnn, 0ln11limln1limnnnnnnn一方面一方面,. 0lnlimlnlimxxnnxn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛26例例3 3?,?ln) 1(1收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛是是条条件件如如果果收收敛敛敛敛是是否否收收判判断断级级数数nnnn ,ln) 1(1 收敛收敛交错级数交错级数nnnn由莱布尼茨定理知

12、由莱布尼茨定理知,),1(ln)( xxxxf令令),1(011)(xxxf 另一方面另一方面,), 1 ()(上上单单增增在在xf ,ln1 单减单减即即xx,1ln1 时单减时单减当当故故nnn从而原级数是条件收敛从而原级数是条件收敛27)( )(D. C. B. A.). ( . , ; , ; , ;, 41)4() 3() 3()2()2() 1 ()()4(1lim) 3()2()() 1 (:1111111000111212则以上命题中正确的是则以上命题中正确的是都收敛都收敛与与则则收敛收敛若若发散发散则则若若收敛收敛收敛收敛若若收敛收敛则则收敛收敛若若设有以下命题设有以下命题n

13、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvuvuuuuuuuuu解解例例4 4本题应选本题应选B.28解解例例5 5本题应选本题应选C.C.nn11222)11ln(nun由比较审敛法由比较审敛法,29收敛收敛收敛收敛发散发散收敛收敛发散发散收敛收敛列结论正确的是列结论正确的是则下则下收敛收敛发散发散若若设设121212121121212112111)()() 1(, ), 2 , 1( ,0nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaanaD. C. , B. , A.). ( , , 解解例例6 6. , 故收敛故收敛加括号而成加括号而成为收敛级数为收敛级数11212) 1(

14、)(nnnnnnaaa本题应选本题应选D.D.3012111) 1() 1(, ), 2 , 1( ,10nnnnnnnnnnnaaaannaD. C. B. A. ) ( 收敛收敛则级数则级数设设解解例例7 731解解例例8 8本题应选本题应选D.32解解例例9 9下列各选项正确的是下列各选项正确的是( ).( ).因为因为, )(22)(22222 nnnnnnnnvuvvuuvu由正项级数的比较审敛法可知由正项级数的比较审敛法可知, 本题应选本题应选A.33解解收敛半径收敛半径 例例101034例例101035解解例例1 11 136解解例例1 12 24040sinsincossinxxxxxInnnd d. 1401)21(111sinnnnnx,1011)(nnxnxS令令, 00111)11()( nnnnxxxnxS, )1ln()0(1)(0 xSxxxSxd010)21(11nnnnnI)211ln()21( S. )22ln( , ) 1,121又又37解解, 322/111)21(0 nn 2)1(nnxnn 222)1(nnxnnx)(22 nnxx)111(2 xxx,)1(232xx . 1 x38解解例例1 14 4，03431nnx341131x)4(21x21x241121x，02421nnx39