电磁场与波3边值问题的解法

1、 给定边界条件下求有界空间的静态场给定边界条件下求有界空间的静态场（如如静电场静电场和和电源外恒定电场）电源外恒定电场）的问题，的问题，称之为静态场的边界值问题。称之为静态场的边界值问题。第第3章章 边值问题的解法边值问题的解法 3.13.1边值问题的提法边值问题的提法( (分类分类) )u 3.1.13.1.1边值问题的分类边值问题的分类 n 1 1 狄利克雷问题狄利克雷问题：给定整个场域边界面：给定整个场域边界面S S上各点电上各点电位的（函数）值位的（函数）值n 2 2 聂曼问题聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导：给定待求位函数在边界面上的法向导数值数值 n 3 3 混合边值问题

2、混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合数的线性组合 另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件有自然边界条件若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。面的电位或另一部分导体表面的电荷量。( )f s/( )nf s ( )f snlimrr 有限值3.1.2 3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1 1 泊松方程泊松方程( (Poissons Equation) )在线性、在线性、

3、各向同性、各向同性、 均匀的电介质中，均匀的电介质中，称之为称之为静电场的泊松方程静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。布取决于当地的电荷分布。 2 2 拉普拉斯方程拉普拉斯方程( (Laplaces Equation) ) 电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，因而有，因而有 2=0 称为称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。2V 2R1R例例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和和 ，如图

4、所，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。1R2RU解解：根据轴对称的特点和无限长的假设，根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系采用圆柱坐标系1()0rrrrlnArB积分积分由边界条件由边界条件1lnUARB20lnARB21122lnlnlnUUABRRRRR 221lnlnRURrR则：则：E 21lnrUEaRrR3.2 唯一性定理唯一性定理1 定理内容定理内容 在静

5、电场中，每一类边界条件下，泊松方程或在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的静电场的唯一性定理唯一性定理。 2 证明过程证明过程 利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。拉斯方程的解是唯一的。设在给定边界上的电位时，设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程拉普拉斯方程有有1和和2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差差=1-2也满足方程也满足方程2222221212120,0()0 考虑一个由表面边界考虑一个由表面边界

6、S包围的体积包围的体积V，由格林第一定理，由格林第一定理2()VSdVdSn令令2|VSdVdSn得得及其法向及其法向导导数在数在边边界界S上的上的值为值为零零12SS因为因为 2|0VdV120 常数,又因为边界条件，得常数又因为边界条件，得常数=012在闭合曲面在闭合曲面S上，上，1和和2都满足给定的边界条件，即都满足给定的边界条件，即或或12SSnn121200SSSSSnnn或3.1.3 3.1.3 静电场边界值问题的间接解法静电场边界值问题的间接解法唯一性定理唯一性定理边值问题边值问题数值法数值法解析法解析法分离变量法分离变量法镜像法镜像法有限差分法有限差分法3.3 镜像法镜像法n理

7、论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。n镜像镜像：暂时忽略边界的存在，在所求区域之：暂时忽略边界的存在，在所求区域之外放置一个或多个虚设的等效电荷来代替导外放置一个或多个虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，此虚拟的电荷被体表面上感应电荷的作用，此虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像。称为实际电荷的镜像。n这种求解方法称为这种求解方法称为镜像法镜像法。 n原电荷与镜像电荷共同作用在边界上保持边原电荷与镜像电荷共同作用在边界上保持边界条件不变。界条件不变。 待求场域：待求场域：上半上半空间空间 边界：边界： 无限大导体平面无限大导体平面 边界条件：边界条

8、件：1.1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 q导体平面导体平面0zddqqpxo1r2r导体平面导体平面在空间的电位为点电荷在空间的电位为点电荷q 和镜像和镜像电荷电荷 -q 所产生的电位叠加，即所产生的电位叠加，即012114qrr12rr电位满足边界条件电位满足边界条件导体平面边界上：导体平面边界上：0E 3/23/222222204()()xqxxExyz dxyz d3/23/222222204()()yqyyExyz dxyz d3/23/222222204()()zqz dz dExyz dxyz d1/21/22222220114()()qxy

9、zdxyzd上半空间的电场强度：上半空间的电场强度：电位：电位：导体表面感应电荷导体表面感应电荷 导体表面上感应电荷总量导体表面上感应电荷总量 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力导体表面上感应电荷对点电荷的作用力0222 3/22()SnzqdDExyd 222 3/2d dd d2()SSqx yqdx yqxyd 22016zqFad 2 2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜

10、像电荷仍为平行于导体表可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为面的线电荷，其电荷密度为lxlzh沿沿 轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方xzyyhzll,其镜像电荷仍是无限长线电荷其镜像电荷仍是无限长线电荷0z2222()( , )ln2()lyzhx y zyzh在在 的上半空间中，电位函数为的上半空间中，电位函数为xzhhllyz1. 上半空间的电场上半空间的电场2. 待求场域待求场域 中的电位中的电位(0)z 201ln2lrr120 10 222llrrEaarry3 3 点电荷对半无限大接地导

11、体角域的镜像点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为为 ，而，而 为为 整数整数 时，该角域中的点时，该角域中的点电荷将有个电荷将有个 个镜像电荷，该角域中的场可以用镜个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。像法求解。 当当n =4时：时： 该角域外有该角域外有3个镜像电荷个镜像电荷q1、 q2和和q3 ，位置如图所示。，位置如图所示。其中其中n123,qqqqqq0360 /1nu 当当n=6时：时：u 角域外有角域外有5 5个镜像电荷，个镜像电荷，大小和位置如图所示。大小和位置如图所示。所有镜

12、像电荷都正、负所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。电荷到顶点的距离。3q3qqqqqqu n不不为为整数整数时时， ，镜镜像像电电荷将有无数个，荷将有无数个，镜镜像法就不再适用像法就不再适用了；当角域了；当角域夹夹角角为为钝钝角角时时， ，镜镜像法亦像法亦不适用。不适用。q/3/3q4.4. 点电荷对导体球面的镜像点电荷对导体球面的镜像u 设一点电荷设一点电荷q位于半径位于半径 a 为的为的接地导体球接地导体球附近，与球心的距附近，与球心的距离为离为d，如图所示。待求场域为

13、，如图所示。待求场域为r a区域，边界条件为导体区域，边界条件为导体球面上电位为零。球面上电位为零。adqadqq 设想在待求场域之外有一镜像电荷设想在待求场域之外有一镜像电荷q，位置如图所示。，位置如图所示。根据镜像法原理，根据镜像法原理， q 和和 q在球面上的电位为零。在球面上的电位为零。点电荷与接地导体球周围的电场点电荷与接地导体球周围的电场aa0121()04cqqrr21rqkqr常数aqqd2abd22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qardrdd rdraaadqqc1r2rb在球面上任取一点在球面上任取一点c，则，则( ,)r空间任意点空间任意点 的电位

14、：的电位：( ,)r2212cosradad2222cosrabab2222222212cos2cosrababkradad导体球不接地：导体球不接地：aqqd2abdaqqqd a au导体球不接地导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 q q=q q 22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qaardrdd rdraadr0044qqad球外任一点电位：球外任一点电位： 球面上任一点电位：球面上任一点电位：为了保证

15、球面为等位面的为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷条件，镜像电荷q应应位于位于球心处球心处 。例例3 3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为有一接地导体球壳，内外半径分别为a1 1和和a2 2，在球壳内外各，在球壳内外各 有一点电荷有一点电荷q q1 1和和q q2 2 ，与球心距离分别为，与球心距离分别为d d1 1和和d d2 2 ，如图所示。，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。u 球壳外：球壳外：边界为边界为r r = = a2 2的导体球面，边界条件为的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和

16、大小分别为的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为球壳外区域任一点电位为 2(, , )0a 222 1/22 224 1/2022222214(2cos)(2cos)aqrd rdd rd raa外2q2222abd2222aqqd 2a2d2q1q1a1d解：解：u 球壳内：球壳内：边界为边界为r r = = a1 1的导体球面，的导体球面，边界条件为边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电根据球面镜像原理，镜像电荷荷 的位置和大小分别为的位置和大小分别为 球壳内区域任一点电位为球壳内区域任一点电位为 u 球壳中：球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳中为导体区域，导

17、体为等位体，球壳中的电位为零。1( , , )0a 1q2111abd1111aqqd 22 1/201112 224 1/2111114(2cos)(2cos)qrd rdad rd raa内用镜像法解题时，一定要注意用镜像法解题时，一定要注意待求区域待求区域及其及其边界条件边界条件，对边，对边界以外的情况不予考虑。界以外的情况不予考虑。5 5 线电荷对导体圆柱面的镜像线电荷对导体圆柱面的镜像u 待求区域：待求区域：u 边界条件：柱面上电位为零边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷设想镜像线电荷 位于对称位于对称面上，且与圆柱轴线距离为面上，且与圆柱轴线距离为b b，则导体柱面外任一点的电

18、位表则导体柱面外任一点的电位表示为（分别以示为（分别以 、 处为坐标处为坐标系中心）系中心）ral 无限长接地导体圆柱的半径为无限长接地导体圆柱的半径为a，在距离轴线为，在距离轴线为d（da）处）处有一无限长线电荷与圆柱平行，计算空间各部分的电位。有一无限长线电荷与圆柱平行，计算空间各部分的电位。1200102lnln222lllMMrrrEarrr 2222cosrabab12MMrda ra b2212cosradad120102lnln022llMMrrrr面12122222222cos2cos()()MMllrrrradadababdaab 对任意对任意成立，成立，222()()ada

19、babdaa bd由两两平平行行线线电电荷荷的的电电位位分分布布四、分离变量法四、分离变量法u理论基础理论基础u惟一性定理惟一性定理u分离变量法的分离变量法的主要步骤主要步骤 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。分方程的通解，其中含有待定常数。 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足利用给定的边界条件，确

20、定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。边界条件的特解。1.1.直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法u 本征方程的求解本征方程的求解(1)(1)当当 时时22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1 d ( )0( )d( ) dX xY yX xxY yyu 本征函数本征函数2221d( )( )dxX xkX xx2221d( )( )dyY ykY yy220 xykk0 xykk01020( )XxA xA01020( )YyB yB110201020( , )()()x yA xAB yBu 本征方程本征

21、方程u 本征值本征值212121( , )(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)(2)当当 时，设时，设20 xk(1,2,)xmkkmjj12( )eemmk xk xmmmXxAA12( )eemmk yk ymmmYyBB或或222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy220 xykk由由ymkjk本征方程为：本征方程为：则：则：1212( )cossin( )coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y312121( , )(coshsinh)(coss

22、in)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y12( )eemmk xk xmmmXxAAjj12( )eemmk yk ymmmYyBB1212( )coshsinh( )cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)(3)当当 时，设时，设20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由由ymkk222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy 本征方程为：本征方程为：或或则：则：u应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解通解102010201

23、212112121( , )()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn 三种解的特点：三种解的特点：第一种解中，第一种解中，X(x)和和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；只有一个零点；第二种解中，第二种解中， X(x)为三角函数，有多个零点，为三角函数，有多个零点， Y(y)为双曲函为双曲函数，最多只有一个零点；数，最多只有一个零点；第三种解中，第三种解中， X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而为双曲

24、函数，最多有一个零点，而Y(y)为为三角函数，有多个零点。三角函数，有多个零点。解解: : 选直角坐标系，电位函数满足选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 边界条件：边界条件： 例：例：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。，求槽内电位分布。22220(1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa设设 ，代入式，代入式(1) (1) 中得中得: :( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 220 xykk( )sinmmX xAk xsin0mk a(1,2, )mmkma根据边界条件根据边界条件(2)与与(3)可知，函数可知，函数X(x)沿沿x方向有方向有两个零点两个零点，因因此此X(x)应为应