初中数学解题方法之旋转

1、初中数学解题方法之旋转【摘要】初中图形变换包含平移、翻折和旋转， 我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质, 在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.【关键词】解题方法；几何变换；旋转在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保 持，但改变其位置，使其转化成新的有利于我们论证的几何 图形.一、三角形角度问题（旋转构成直角三角形）例1如图1,点0是等边三角形abc内一点，0a二3, 0b = 4, 0c = 5,试证明以下结论：zaob = 150° .分析 这里待证结论与题目的已知条件看似风马牛不相 及，但是已知条件特征明确，有等边三角形，即可以产生60°

2、的角，而oa = 3, ob = 4, oc = 5的线段虽没法直接运用, 但是很容易使人联想到勾股数，因此如果能将其放到某一个 三角形中，便可以应用勾股定理逆定理得到90。的直角，再 看结论，恰好是要证明的150。角，正好是60°与90°之和, 如果突破这里，问题便迎刃而解了.解 将线段bo绕点b逆时针旋转60°到:bd的位置（如 图2）（或将bc0绕点b逆时针旋转至abad的位置，使得 bc 与 ba 重合），则 z0bd = zcba = 60° ,且 ad = 0c = 5, 从而得abod为边长是3的等边三角形，0d = 4且zbod二 60&

3、#176; .而在aaod中，由勾股定理逆定理得aaod为直角三 角形，且za0d = 90° ,从而zaob= zaod+ zbod = 150° . 小结这是一个关于旋转的典型题目，较好地体现了图形在 旋转动态过程中对应边、对应角不变的性质，结合图形的几 何特征，融合勾股定理逆定理、等边三角形等性质，对提升 学生几何思维，经由发现问题、分析问题、综合应用数学知 识来解决问题的过程，较好地锻炼和提升了学生的数学素养.二、面积问题（旋转面积之和）分析aaob中只知道oa, 0b两条边，求它的面积就需 要求出其中某个边上的高，由例1我们知道za0b =150° ,

4、延长a0,过点b作ee丄a0延长线于点e,则rtaboe中， 0b = 4, zboe = 30° ,由三角函数可以求得be的长，从 而aaob的面积可求用同样的方法能否求得aaoc的面积 呢？请读者一试.下面我们利用旋转构造新的图形来求.小结这里所求的是一个凹四边形的面积，可将其分割 开来求，由前面方法的铺垫，aaob的面积易求，但是aaoc 的面积就显得不是很容易求得，通过旋转后，将待求的四边 形转化为常规几何图形，化繁为易，值得推敲.三、证明线段的和差关系（截长或补短问题）例3探究问题：（1）方法感悟：如图5,在正方形abcd中，点e, f分别为dc, bc边上 的点，且满足z

5、eaf二45° ,连接ef,求证：de + bf二ef.感悟解题方法，并完成下列填空：将aade绕点a顺时针旋转90。得到abg,此时ab与 ad重合，由旋转可得：ab = ad, bg 二 de, zl = z2, zabg = zd = 90° , zabg + zabf 二 90°+ 90° 二 180° ,因此，点g, b, f在同一条直线上.t zeaf 二 45。，i z2 + z3 = zbad zeaf = 90° 45°= 45° .t zl = z2, zl + z3 = 45° 即

6、zgaf 二.又 ag = ae, af = af, /. agaf二 ef,故 de + bf 二 ef.(2) 方法迁移：(答案：de + bf = ef.)(3) 问题拓展：小结线段和差的转化是依据图形的特征，应用旋转的 方法达到目的，该类型的题目需要利用旋转解决，特别注意 旋转以后必须要证共线，想想为什么.由于题目具有很强的 几何特征，比如有相等的边、互补的角等，同时依据旋转后 图形的固有性质不变，牢牢把握这类性质是解决此类题目的关键.四、正方形中的周长定值问题例4如图8,在平面直角坐标系中，等腰三角形aob的 顶点在第一象限，底边0b在x轴的正半轴上，且0a = ab = 10厘米，

7、0b=12厘米，动点c从点a出发，沿a0边向点0 运动（点c不与点0重合），运动速度为1厘米/秒，运动 时间为t秒.过点c作cd0b交ae于点d,以cd为边，在 点a的下方作正方形cdef （如图8）.（1）当t为何值时，ef在0b ±?（2）当边ef在0b边上时（如图9）,连接正方形cdef 的对角线ce,将zdce绕点c按顺时针方向旋转（0。 小结在动态过程中，结合图形的位置是不断发生变化的， 但是作为图形的一种整体运动，实质上保持了图形本身的内 在属性，边相等，或角相等，或边角都相等，或边角同时都 以某种规律增大或减小，而其相对性质保持稳定，这时候我 们便可以借助这些属性加以求

8、解.此题巧妙地借助旋转，利 用转化思想及截长补短的方法，证明了图形在动态过程中的 某些属性的不变性.五、存在性问题分析affg作为一个整体元素进行旋转，在旋转过程中 eg所在直线与射线ad、射线fb有交点，这里首先需要弄清 楚在旋转的初始位置时，点g和点e在哪，与要求的射线ad、 射线fb又有怎样的位置关系这里通过计算可以得到刚开始 旋转时，af二3，点e与点b重合，而点g恰好在射线ad 上.当aefg绕点f逆时针旋转时，则点g就会到射线ad左 上方，同时点e会到zmon内部；当aefg绕点f顺时针旋 转，则点g会到zmon内部，同时点e到射线fb下方，随着 旋转角的增大，点g, f都有可能转

9、到射线fb下方.解要使aamn为等腰三角形，则分别满足以下情况：(2) an 二 mn 时，如图 13, za = zamn = 30° ,则 zmnb = zfne = 60° ,而zxefg是边长为3的等边三角形, 所以zfen = 60°，且fe二3,从而可得zfen是边长为3 的等边三角形，即点g与点n重合，fn = 3, an二af + fn 二 3 + 3 二 6.(3) am二an时， 如果位置如图14所示，则zanm = zamn = 75° , zxefg 是等边三角形，则zfeg二 60。，zfen =120° ,此时在zxnef 中，zfn