初中数学重点：从一道数学压轴题谈起

1、初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完；还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱.这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式 的求法与应用、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一定

2、难度，绝 大部分学生难以全部完成.1压轴题真的就不能碰吗？下面以2009年东营市压轴题为例谈谈我们的看法.题目：(2009年东营市24题)已知正方形 abcd中，e为对角线bd ±一点，过 e点 作ef±bd交bc于f,连接 df, g为df中点，连接 eg, cg(1) 求证：eg=cg；(2) 将图中厶bef绕b点逆时针旋转450,如图所示，取 df中点g,连接eg, cg.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3) 将图中厶bef绕b点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论

3、？(均不要求证明)bc图ebc图这一压轴题改编自广州市2007年初中学生学业考试数学试题第25题，原题如下:取ec中点m,连结已矢口 rtaabc 中，ab二ac,在 rtaade 中，ad=de,连结 ec,dm 和 bm.(1) 若点d在边ac上，点e在边ab上且与点b不重合，如图，求证：bm=dm且bm丄dm ；(2) 如图中的 ade绕点a逆时针转小于45。的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给逼明.该题主要考查三角形、图形的施特殊四边形等基础稣 考查空间观念、m能力.命题组给出的参考解答及评分有解：(1)证明：在rta fcd中，g断的中点，

4、.cg=丄 fd.2同理，在rmdef中，1eg=_fd 2cg=eg3(2)(1)中结论仍然成立，sg=cg.证法一：连裤，过点作mn丄ad于m,与ef的延长线吏n点.n c在厶dag与dcg中，ad 二cd, z adg cdg , dg 二dg, dag奧 dcg ag = cg 5分在公dmg与公fng中， ndgm 二nfgn, fg=dg, nmdg 二nnfg,dmg 變 fng.b图(一)mg=ng在矩形 aenm中，am=en. 6分 am=en,mg=ng,/. aamgeng ag = eg.eg=cg 8分ag在 rmamg 与 rmeng 中，证法二：延长cg至m,使

5、mg=cg,连爵，me, ec, 4分在厶dcg与fivig中，vfg=dg, nmgf二zcgd, mg二cg, 丄. dcg 奧 fmg .mf二cd, nfmg=ndcg图（二）7分cb图在 rmmfe 与 rmcbe 中,t mf=cb, ef=be, mfe雲aqbe.jvief =xeb :上 mec = 2 mef + z fec = 2 ceb+z cef= 90?mec为直角三角形.mg = cg,1 eg= mc.2 eg cg （3）（1）中的结论仍然成立，即eg=cg其他的结论还有：eg丄cg 10分分析:解答压轴题,除了要具备扎实的数学知识和良好的的题燉卜还要具备较高

6、;特殊的位置的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线 关系，如“ ef丄bd”；特殊的点冲点 g”等；要找准压轴题的“题眼”,“题眼”一般在 于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中.该压轴题由3个小题缱第（1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在 rffcd 和rfdef中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问 是比较简单的，容易上手第（2）题是改变图中 bef的位置，将图中公bef規点逆时錠轴o,如图所 示，取df中点g,连宓，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由.这一问稍难，但仍还属于常规题型，证

7、明的过麴輛线， 通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到eg cg；第（3）题较难，能力要求较高.如果从合情推理的角度出发，可以通过量一量猜猜 的办法解决.在解答时把最容易的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，这样就大大提高了获得数学高分的可能性另外，从评分标准可以看出，一定要重视分段得分一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步因此，对压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题躁2 还有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法:f证法三：过

8、点 g作mn|ad交ab于m,交cd于n, gp丄ad于p,则abivig与adng均是等腰直角三角形，四边形mncb是矩形，四边形 pdng是正方形人所以 mg 二bm二cn.e由于g为df的中点，所以 em=am=dn=gn,图（三）所以 ruemg 奧 rtagng,所以eg =cg证法四：过g作gm|ad交ab于m,bn c图(四)因为 ef|ad,dg=gf,所以 am=me,因为四翅 abcd是正方形,所以ga=ge.所以 ad=cd, gd二gd, zagd二ncgd,所以 agd塁 cgd,所以ag=cg 所以eg cg.3 该压轴题能推吗将试题中“ e为耕郎上一点，过e点作e

9、f±bd交bc于f”变换为“ e为直线bd上一点，过e点作ef±bd交直sc于f”，可得:变我已知正方形 abcd中，e为直即上一点，过 e点作ef±bd交直郎于f,连接df, g为df中点，连接eg, cg.(1) 求证：eg=cg；(2) 将厶bef曉点逆时锭转450,取df中点g,连接eg, cg问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给岀证明；若不成立，请锐團(3)将厶bef晓点旋转任意角度,再连接相应的段问(成立？通过观察你还能得出傑轮fe1)中的结论是否仍然bef晓点顺时锭转将变筑中“将 bef晓点逆时锭转450”变换为将45o”，可得：变戏已知正方形

10、 abcd中，e为直sp上一点，过e点作ef1bd交直sc于f,连接df, g为df中点，连接eg, cg.(1) 求证：eg=cg；(2) 将厶bef晓点顺时能转450,取df中点g,连接eg, cg问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将厶bef绕b点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如果将条件“过 e点作ef丄bd交直线bc于f,连接df , g为df中点，连接eg,cg."变换为“过e点作ef丄bc交直线bc于f,连接de, g为de中点，连接fg, cg." 可得：变式

11、3：已知正方形 abcd中，e为直线bd ±一点，过 e点作ef丄bc交直线bc于f,连接de, g为de中点，连接 fg, cg（1）求证：fg = cg；（2）将厶bef绕b点顺（或逆）时针旋转 450,取de中点g,连接fg, cg问（1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将厶bef绕b点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论?e由证法四，可得4变式4：如图，p是正方形abcd对角线ac ±一动点（p与a、c不重合），点e在射线bc上，且pe=pb .b求证： pe=pd ；pe丄p

12、d.若将条件"知正方形 abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef丄bd交bc于f, 连接df, g为df中点，连接eg, cg. ”变换为“知正方形 abcd中，p为对角线 ac ± 一点，过p点作pe丄bc交bc于e, pf丄cd交cd于f."可得：变式5：pecf的两个顶点连结，使得到的如图1,已知p为正方形abcd的对角线ac ±一点(不与a、c重合)，pe丄bc于点e, pf丄cd于点f.(1) 求证：bp=dp；(2) 如图2,若四边形pecf绕点c旋转任意一个角 度，在旋转过程中是否总有 bp=dp?若是，请给予证明； 若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形abcd的两个顶点，分别与四边形两条线段在四边形 pecf绕点c按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.4能得到什么启示？(1) 回归课本，夯实基础近年来中考数学有许多新题型，多数试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的， 也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源所以，我们要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用(2) 注重过程，发展能力要亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程积极参