初中几何一对一第02讲——全等三角形,简单但很重要

1、第二讲全等三角形简单但很重要关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中, 去说明“相等的边（角）所在的三角形全等，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相 等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.（3）有公共边的，

2、公共边常是对应边.（4）有公共角的，公共角常是对应角.（5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或 最小角）是对应边（或对应角）要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（sas）:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（2）角边角定理（asa）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（3）边边边定理（sss）:三边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边定理（aas）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边定理（hl）:斜边和一条

3、直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证 明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.特殊三角形一一等腰三角形和等边三角形1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3、等腰三角形的性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（3）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合4、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三

4、角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形5、等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°6、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形7、等腰直角三角形的性质：顶角等于90° ,底角等于45° ,两直角边相等等腰直角三角形的判定：（1）顶角为90°的等腰三角形（2）底角为45°的等腰三角形8、含30°角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边

5、等于斜边的一半基础题例【例1】（06年北京屮考题）已知abc屮，za = 60 , bd、ce分别平分zabc和 bd、ce交于点0,试判断be、cd、3c的数量关系，并加以证明.【例2如图，2abc为等边三角形，延长bc到d,又延长ba到e,使ae=bd,连接ce,de,求证：acde为等腰三角形能力提升1、己知 rt/xabc 中，ac = bc, zc = 90°, d 为 ab 边的中点，zedf = 90°,zedf绕d点旋转,它的两边分别交ac. cb （或它们的延长线）于e、f.（1）当zedf绕d点旋转到de丄ac于e时（如图1 ）,易证s'def

6、+ sgef（2）当zedf绕d点旋转到dewac不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，sref、s、cef、肚又有怎样 的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2. (2009*常德)如图1,若zkabc和zkade为等边三角形，m, n分别eb, cd的屮点，易 证：cd二be, a amn是等边三角形.图12图3(1) 当把aade绕a点旋转到图2的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立，请证明，若 不成立，请说明理由；(2) 当4ade绕a点旋转到图3的位置时，aamn是否还是等边三角形？若是，请给出证 明，并求出当ab=2ad时，aade与

7、 abc及 amn的面积之比；若不是，请说明理由.3.如图，四边形abcd是正方形，aabe是等边三角形，m为对角线bd (不含b点)上任意 一点,将bm绕点b逆时针旋转60°得到bn,连接en、am、cm.(1)求证：zsamb竺enb；当h点在何处时，am+cm的值最小；当m点在何处时，am+bm+cm的值最小，并说明理由； 当am + bm+cm的最小值为篙+ 1时，求正方形的边长.4. （2011*沈阳）已知，aabc为等边三角形，点d为直线bc上一动点（点d不与b、c重 合）.以ad为边作菱形adef,使zdaf=60°,连接cf.（1）如图1,当点d在边bc上吋

8、，求证：zadb=zafc；请直接判断结论zafc=zacb+zdac是否成立；（2）如图2,当点d在边bc的延长线上时，其他条件不变，结论zafc=zacb+zdac是 否成立？请写出zafc、zacb、zdacz间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3,当点d在边cb的延长线上时，且点a、f分别在直线bc的异侧，其他条件 不变，请补全图形，并直接写出zafc、zacb、zdac之间存在的等量关系.zcad=zcbd=15°, e 为 ad 延5. (2011»fi照)如图，已知点d为等腰直角aabc内一点, 长线上的一点,且ce=ca.(1)求证：de平分zbdc

9、；6. (2011*棊江县)如图，等边aabc屮，a0是zbac的角平分线，d为a0 ±一点、,以cd 为一边且在cd下方作等边acde,连接be.(1) 求证： acdabce；(2) 延长be至q, p为bq上一点，连接cp、cq使cp=cq=5,若bc=8时，求pq的长ad7. （2011>宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题:（1）根据“奇异三角形的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形 是真命题还是假命题？（2）在 rta abc 屮，zc=90°, ab=c, ac=b, bc=a,且 b>a,若 rta abc 是奇异三角形，

10、 求 a： b： c；（3）如图，ab是oo的直径，c是o0上一点（不与点a、b重合），d是半圆adb的中点，c、d在直径ab的两侧，若在g>0内存在点e,使ae=ad, cb=ce 求证： ace是奇异三角形； 当aace是直角三角形时，求zaoc的度数.d8. （2010*顺义区）在a abc 中,ac=bc, zacb=90°,点 d 为 ac 的中点.（1）如图1, e为线段dc上任意一点，将线段de绕点d逆时针旋转90。得到线段df,连 接cf,过点f作fh丄fc,交直线ab于点h.判断fh与fc的数量关系并加以证明；（2）如图2,若e为线段dc的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中 得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.9. （2011*山西）如图（1）, rta abc 屮，zacb=90°, cd±ab,垂足为 d. af 平分zcab, 交cd于点e,交cb于点f（1）求证：ce=cf.（2）将图（1）中的zkade沿ab向右平移到zade啲位置，使点&落在bc边上，其它条 件不变，如图（2）所示.试猜想：bf与cf有怎样的数量关系？请证明你的结论.补充1.如下左图，八bc是边长为1的正三角形，abdc是顶角为