2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷

1、2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 1 / 10第 1 页 共 20 页第 2 页 共 20 页2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ? = ?|?2- 7? 0，? 为虚数单位，?(?+ ?) 的实部与虚部互为相反数，则?= ( )a.4b.3c.2d.13. 已知cos?sin?= 3cos(2? + ?) ，|?| 0, |?| 0,? 0)的焦点且垂直于? 轴的直线与双曲线交于? ，? 两点， ? 为虚轴上的一个端点，且 ?为钝角

2、三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）a.(1,? 2)b.( 2,?2 + 2)c.( 2, ?2)d.(1,? 2) (2 + 2,?+ )精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 2 / 10第 3 页 共 20 页第 4 页 共 20 页12. 已知函数 ?(?) = ?4?-1,?

3、(?) =12+ ln(2?)，若 ?(?)= ?(?) 成立，则 ?- ?的最小值为 ()a.1-ln24b.1+2ln23c.2ln2-13d.1+ln24二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_14. 如图，长方体?-?1?1?1?1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线 ?1与 ?1的夹角的余弦值是 _15. 两位同学分 4本不同的书，每人至少分1本， 4本书都分完，则不同的分发方式共有_种16. 在?中，角 ? ，? ，? 的对边分别是? ，? ，? ，sin?:sin?= 1: 3，若 ? = 2cos?= 3，

4、则 ?的周长为 _三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60 分. 17. 已知正项数列 ?满足 ?1= 1，?2+ ?= ?+12- ?+1，数列 ?的前 ? 项和 ?满足 ?= ?2+ ?（ 1）求数列 ?，?的通项公式；（ 2）求数列 1?+1?的前 ? 项和 ?18. 4月23日是 “ 世界读书日 ” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查各

5、组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数91263（ 1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（ 2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用? 表示抽得甲组学生的人数，求 ? 的分布列和数学期望19. 如图，在四棱锥?-?中，四边形 ?是菱形， ? ?，平面 ? 平面 ?， ? = 4，? = ? ，?在棱 ? 上运动（ 1）当 ?在何处时， ?/?平面 ?；（2）当 ?/?平面 ?时，求直线 ? 与平面 ?所成角的弦值20. 已知椭圆?2?2+?2?2= 1(? ? 0) 的左右焦点分别为?1，?2，上顶点为 ?，若直线

6、 ?1的斜率为 1，且与椭圆的另一个交点为? ，?2? 的周长为 4 2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 ?1的直线 ? （直线 ? 的斜率不为 1）与椭圆交于? ，? 两点，点 ? 在点 ? 的上方，若 ?1?=23?1?，求直线 ? 的斜率21. 已知函数 ?(?) = ?(ln? - ?)，(?) （1）若 ?= 0时，求函数 ?(?) 的最小值；（2）若函数 ?(?) 既有极大值又有极小值，求实数? 的取值范围选考题：共10 分.请考生在22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 ：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系?中，曲线 ?1的参数方程为

7、 ?= cos?= 1 + sin?（?为参数），曲线 ?2的参数方程为?= 2cos?= sin?（?为参数）（1）将 ?1，?2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以? 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线? 的极坐标方程为?(cos? -2sin?)4，若 ?1上的点 ? 对应的参数为?=?2，点 ? 上在 ?2，点 ?为?的中点，求点?到直线 ? 距离的最小值选修 4-5 ：不等式选讲 23. 已知 ?(?) |?- ?2| + |?+ 2?+ 3|（1）证明： ?(?) 2；（2）若 ?(-32) 3，求实数 ? 的取值范围精品学习资料 可选择

8、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 3 / 10第 5 页 共 20 页第 6 页 共 20 页参考答案与试题解析2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 【答案】c 【考点】交

9、集及其运算【解析】化简集合 ?、根据交集的定义写出? 【解答】集合 ?= ?|?2- 7? 0 = ?|0 ? 0，?= 13. 【答案】c 【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知可求 sin? 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos? 的值，根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解【解答】|?| 0,|?| ?2)的最小正周期为6? ，则： ?=2?6?=13，则： ?(?) = sin(13?+ ?)，将函数的图象向右平移2?3等个单位后得到：?(?) = sin13(?-2?3) + ?= sin13? ，即： ?=2?910. 【答案】b 【考点】由三视图求面积、体积【解析】由三视图还

10、原原几何体，可知该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为 2的等腰直角三角形，则体积可求【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形，原几何体的体积?= 23-12?2?2?1= 6精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -2

11、018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 5 / 10第 9 页 共 20 页第 10 页 共 20 页11. 【答案】d 【考点】双曲线的性质【解析】设出双曲线的左焦点，令?= -?，代入双曲线的方程，解得? ，? 的坐标，讨论?为钝角，可得? 0，或 ?为钝角，可得? 0,? 0) 的左焦点 ?1(-?, ?0) ，令 ? = -?，可得? = ?2?2- 1 = ?2?，可得 ?(-?,?2?)，?(-?,?-?2?)，又设 ?(0,?) ，可得?= (?, ? -?2?)，?= (0,?-2?2?)，?= (-?,?-? -?2?)，由 ?为钝角三角形，可能?为钝角，可得? 0

12、，即为 0 -2?2?(?-?2?) ? ，即有 ?2 ?2= ?2- ?2，可得 ?2 2?2，即 ? =? 1，可得 1 ? 2，可能 ?中， ?为钝角，可得? 0，即为 ?2-(?2?+ ?)(?2?- ?) 0，由 ? =?，可得 ?4-4?2+ 2 0，又 ? 1，可得?2 + 2综上可得， ? 的范围为(1,? 2) (2 + 2+)12. 【答案】d 【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据 ?(?)= ?(?) = ? 得到 ?，? 的关系，利用消元法转化为关于? 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【解答】解：不妨设 ?(?)= ?(?) = ?

13、 ，?4?-1=12+ ln(2?) = ? ，(? 0)4?- 1 = ln? ，即?=14(1 + ln?) ，?=12?-12，故? -? =12?-12-14(1 + ln?) ，(? 0)令?(?)=12?-12-14(1 + ln?) ，(? 0) ，? (?)=12?-12-14?，易知 ?(?)在(0,?+ ) 上是增函数，且?(12) = 0，当? 12时， ?(?) 0，当0 ? 12时， ?(?) 0，?+1-?= 1，数列 ?是以 1为首项，以 1为公差的等差数列，?= 1 + ?- 1 = ? ，?= ?2+ ?= ?2+ ? ，当?= 1时， ?1= ?1= 2，当

14、?2时， ?-1= (?- 1)2+ ?-1， ，由 - 可得 ?= 2? ，当?= 1时，也成立，?= 2? ，1?+1?=1(?+1)?2?=12(1?-1?+1) ，?=12(1 -12+12-13+. +1?-1?+1) =12(1 -1?+1) =?2?+2【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）?2+ ?= ?+12- ?+1可得 ?+1- ?= 1，即数列 ?是以 1为首项，以 1为公差的等差数列，即可求出?= ? ，再根据 ?= ?2+ ? ，即可求出 ?= 2? ，（2）由1?+1?=1(?+1)?2?=12(1?-1?+1) ，根据裂项求和即可求出【解答】由?2+ ?=

15、?+12- ?+1，?+1+ ?= ?+12-?2= (?+1+ ?)(?+1- ?)，? 0，?+1-?= 1，数列 ?是以 1为首项，以 1为公差的等差数列，?= 1 + ?- 1 = ? ，?= ?2+ ?= ?2+ ? ，当?= 1时， ?1= ?1= 2，当?2时， ?-1= (?- 1)2+ ?-1， ，由 - 可得 ?= 2? ，当?= 1时，也成立，?= 2? ，1?+1?=1(?+1)?2?=12(1?-1?+1) ，?=12(1 -12+12-13+. +1?-1?+1) =12(1 -1?+1) =?2?+218. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

16、- - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 7 / 10第 13 页 共 20 页第 14 页 共 20 页【答案】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4， 2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有?102= 45种，这两名学生来自同一小组的取法共有?32+ ?42+ ?22= 10，所以这两名学生来自同一个小组的

17、概率?=1045=29由（ 1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2? 的可能取值为 0，1，2，?(? = 0) =?22?52=110，?(? = 1) =?31?21?52=35，?(? = 2) =?32?52=310? 的分布列为：?012?11035310?(?)= 0 110+ 1 35+ 2 310=65【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（ 1）从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有?102= 45 种，这两名学生来自同一小组的取法共有?32+ ?42+

18、?22= 10，由此能求出这两名学生来自同一个小组的概率（ 2）在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2? 的可能取值为0，1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出? 的分布列和数学期望【解答】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4， 2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有?102= 45种，这两名学生来自同一小组的取法共有?32+ ?42+ ?22= 10，所以这两名学生来自同一个小组的概率?=1045=29由（ 1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2? 的可能取值为 0，1，2，?(?

19、 = 0) =?22?52=110，?(? = 1) =?31?21?52=35，?(? = 2) =?32?52=310? 的分布列为：?012?11035310?(?)= 0 110+ 1 35+ 2 310=6519. 【答案】证明：当 ?为? 中点时， ?/?平面 ?设? ? = ? ，在 ?中， ? 为中位线，即 ?/?，又? 平面 ?， ?平面 ?，?/?平面 ?四边形 ?是菱形， ? ? ?，? = ? ，?，?均为等边三角形取? 的中点 ? ，平面 ? 平面 ?，? 平面 ?以 ? 为坐标原点，射线? ，? ，? 分别为?，?，?轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则?(0

20、,?0,?0)，?(2,?0,?0)，?(0,2 3, 0)，?(-4,2 3, 0)， ?(-2, ?0,?0) ， ?(0,0,2 3)，?(-1,0, 3)?= (-6,2 3, 0)，?= (-3,0, 3)，?= (-4,2 3, -2 3)设平面 ?的法向量为?= (?,?, ?)，则由?，?，得? ?= -6? + 2 3?= 0? ?= -3? + 3?= 0，取 ?= 3，得?= (3, 3,3)记直线 ? 与平面 ?所成角为 ? ，则 sin?=?|?|?|=-4 3+2 33+(-2 3) 316+12+12 3+9+9=7035【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角【

21、解析】（1）证明 ?/?，然后证明 ?/?平面 ?（2）说明 ?，?均为等边三角形以? 为坐标原点，射线? ，? ，? 分别为 ? ，? ，? 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面?的法向量，记直线? 与平面 ?所成角为 ? ，利用空间向量的数量积求解即可【解答】证明：当 ?为? 中点时， ?/?平面 ?设? ? = ? ，在 ?中， ? 为中位线，即 ?/?，又? 平面 ?， ?平面 ?，?/?平面 ?四边形 ?是菱形， ? ? ?，? = ? ，?，?均为等边三角形取? 的中点 ? ，平面 ? 平面 ?，? 平面 ?以 ? 为坐标原点，射线? ，? ，? 分别精品学习资料 可选

22、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 8 / 10第 15 页 共 20 页第 16 页 共 20 页为 ? ，? ，? 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则?(0,?0,?0)，?(2,?0,?0)，?(0,2 3, 0)，?(-4,2 3,0)，?(-2, ?0,?0)，?(0,0,2 3)， ?

23、(-1,0, 3)?= (-6,2 3, 0)，?= (-3,0, 3)，?= (-4,2 3, -2 3)设平面 ?的法向量为?= (?,?, ?)，则由?，?，得 ? ?= -6? + 2 3?= 0? ?= -3? + 3?= 0，取 ?= 3，得?= ( 3,3,3)记直线 ?与平面 ?所成角为 ? ，则 sin?=?|?|?|=-4 3+2 33+(-2 3) 3 16+12+12 3+9+9= 703520. 【答案】根据题意，因为?1? 的周长为 4 2，所以 4?= 4 2，即 ?= 2，由直线 ?1的斜率 1，得?= 1，因为 ?2= ?2+ ?2，所以 ?= 1，? = 1

24、，所以椭圆的标准方程为?22+ ?2= 1由题意可得直线?1方程为 ?= ? + 1，联立得 ?= ?+ 1?22+ ?2= 1，解得 ?(-43,?-13) ，所以|?1|?1|=13，因为 ?1?=23?1?，即12|?1|?1|sin ?1?=23(12|?1| ? |?1|sin ?1?)，所以 |?1| = 2|?1|，当直线 ? 的斜率为 0时，不符合题意，故设直线 ? 的方程为 ?= ? - 1，?(?1,?1)，?(?2,?2)，由点 ? 在点 ? 的上方，且 |?2| = |2?1|，则有 ?2= -2?1，联立 ?= ? - 1?22+ ?2= 1，所以 (?2+ 2)?2

25、- 2? - 1 = 0，所以 ?1+ ?2=2?2+2,?1?2=-1?2+2，消去 ?2得?1=-2?2+22?12=1?2+2，所以8?2(?2+2)2=1?2+2，得 ?2=27,? = 147，又由画图可知 ?=147不符合题意，所以?= - 147，故直线 ? 的斜率为1?= - 142【考点】椭圆的性质【解析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得4?= 4 2，又由直线的斜率分析可得? 、? 的值，将 ? 、? 的值代入椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，解可得? 的坐标，由 ?1?=23?1?分析可得 |?1| = 2|?1|，按直线的斜率存在与否分2种情

26、况讨论，分析求出?的值，综合即可得答案【解答】根据题意，因为?1? 的周长为 4 2，所以 4?= 4 2，即 ?= 2，由直线 ?1的斜率 1，得?= 1，因为 ?2= ?2+ ?2，所以 ?= 1，?= 1，所以椭圆的标准方程为?22+ ?2= 1由题意可得直线?1方程为 ? = ? + 1，联立得 ? = ?+ 1?22+ ?2= 1，解得 ?(-43,?-13)，所以|?1|?1|=13，因为 ?1?=23?1?，即12|?1|?1|sin ?1?=23(12|?1| ? |?1|sin ?1?)，所以 |?1| = 2|?1|，当直线 ? 的斜率为 0时，不符合题意，故设直线 ? 的

27、方程为 ?= ? - 1，?(?1,?1)，?(?2,?2)，由点 ? 在点 ? 的上方，且 |?2| = |2?1|，则有 ?2= -2?1，联立 ?= ? -1?22+ ?2= 1，所以 (?2+ 2)?2- 2? - 1 = 0，所以 ?1+ ?2=2?2+2,?1?2=-1?2+2，消去 ?2得 ?1=-2?2+22?12=1?2+2，所以8?2(?2+2)2=1?2+2，得?2=27,?= 147，又由画图可知 ?=147不符合题意，所以?= - 147，故直线 ? 的斜率为1?= - 14221. 【答案】当?= 0时， ?(?) = ?ln?，定义域为 (0,?+ ) ?(?)=

28、 ln?+ 1，令 ?(?)= 0，可得 ?=1?列表：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -2018 年陕西省榆林市高考数学二模试卷(理科 ) 9 / 10第 17 页 共 20 页第 18 页 共 20 页?(0,1?)1?(1?,+)?(?)- 0+ ?(?)极小值所以，函数 ?(?) 的最小值为 ?(1?) = -1?(?) = ?

29、(ln? -?)，定义域为 (0,?+)，?(?)= ln?- 2? + 1记 ?(?)= ?(?)= ln?-2? + 1，?(0,?+)， ?(?)=1?-2? ， 当?0时， ?(?) 0，?(?)= ?(?) 在 (0,?+)上单调递增，故 ?(?) 在(0,?+)上至多有一个零点，此时，函数 ?(?) 在 (0,?+ ) 上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； 当? 0时，令 ?(?)= 0，可得 ?=12?，列表：?(0,12?)12?(12?,+)?(?)+ 0- ?(?)极大值若 ?(12?) 0，即 ?12，?(?) ?(12?) 0，即 ?(?)0，故函数 ?(?)

30、 在(0,?+ ) 上单调递减，函数?(?) 在(0,?+ ) 上不存在极值，与题意不符，若 ?(12?) 0，即 0 ? 1 1?，且 ?(1?) = ln1?-2?+ 1 = -2? 0，故存在 ?1(1?,12?)，使得 ?(?)= 0，即 ?(?)= 0，且当 ?(0,?1)时， ?(?) 0，函数 ?(?) 在(0,?1)上单调递增，函数?(?) 在?= ?1处取极小值由于12?1?2，且 ?(1?2) = ln1?2-2?+ 1 = -2ln? -2?+ 1 0，故 ?(?) 在(0, ?1)上单调递增，所以?(?) ?(1)= -1 0，函数 ?(?) 在(12?,?2) 上单调

31、递增；当 ? (?2,?+ ) 时， ?(?) 0，函数 ?(?) 在(?2,?+ )上单调递减，函数?(?) 在?= ?2处取极大值综上所述，当0 ? 0时，求解导函数的符号，函数的单调性以及函数的极值，推出当 0 ? 0， ?(?)= ?(?)在(0,?+)上单调递增，故?(?)在(0,?+)上至多有一个零点，此时，函数 ?(?) 在(0,?+ ) 上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； 当? 0时，令 ?(?)= 0，可得 ?=12?，列表：?(0,12?)12?(12?,+)?(?)+ 0- ?(?)极大值若?(12?) 0，即 ?12，?(?) ?(12?) 0，即 ?(?)

32、0，故函数 ?(?) 在(0,?+ ) 上单调递减，函数?(?) 在(0,?+ ) 上不存在极值，与题意不符，若?(12?) 0，即 0 ? 1 1?，且 ?(1?) = ln1?-2?+ 1 = -2? 0，故存在 ?1(1?,12?) ，使得 ?(?)= 0，即 ?(?)= 0，且当 ?(0,?1)时， ?(?) 0，函数 ?(?) 在 (0,?1) 上单调递增，函数?(?) 在?= ?1处取极小值由于12?1?2，且?(1?2) = ln1?2-2?+ 1 = -2ln? -2?+ 1 0，故 ?(?) 在(0, ?1)上单调递增，所以?(?) ?(1)= -1 0，函数 ?(?) 在(

33、12?,?2) 上单调递增；当 ? (?2,?+ ) 时， ?(?) 0，函数 ?(?) 在(?2,?+ )上单调递减，函数?(?) 在?= ?2处取极大值综上所述，当0 ?12时，函数 ?(?) 在(0,?+ ) 上既有极大值又有极小值选考题：共10 分.请考生在22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 ：坐标系与参数方程 22. 【答案】曲线 ?1的参数方程为?= cos?= 1 + sin?（?为参数），曲线 ?1消去参数 ? ，得到 ?1的普通方程为?2+ (?- 1)21，它表示以 (0, ?1)为圆心， 1为半径的圆，曲线 ?2的参数方程为 ?= 2cos?= sin?（?为参数），曲线 ?2消去参数 ? ，能求出 ?2的普通方程为?24+ ?2= 1，它表示中心在原点，焦点在? 轴上的椭圆由已知得 ?(0,?2)，设 ?(2cos?, ?sin?) ，则 ?(cos?,1 +12sin?)，直线 ?: ? -2?- 40，点 ?到直线 ? 的距离为?=|cos?-sin?-6| 5=| 2sin(?+?4)-6| 5，所以6 5- 105? 10+6 56，故 ?到直线 ? 的距离的最小值为6 5- 105【考点】参数方程化成普通方程【解析】（ 1）曲线