力的三角形法

1、力三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有f=o ，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段 )依次恰好能首尾相接当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。三力平衡的

2、力三角形判断通常有三类情况一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定例 1如图 1 所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，例 2则拉力和墙壁对球的支持力的变化情况如何？分析与解以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，如图 2，取点作表示重力的有向线段，从该箭头的端点作支持力的作用线所在射线 , 作从射线任意点指向点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头表示变化趋势，从图中容易分析

3、图 1 图 2绳子拉力不断增大， 墙壁对球的支持力也不断增大， 因上升的过程中图中角度 在不断增大例 2 如图 3 装置， ab为一轻杆在 b处用铰链固定于竖墙壁上，ac为不可伸长的轻质拉索，重物可在ab杆上滑行。试分析当重物w从 a端向 b端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对ab杆作用力的变化情况。分析与解以 ab杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确ac拉索中的拉力变化情况，但不易确定墙对 ab杆作用力的情况。 我们考虑到 ab杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定

4、力，与上题类似。如图 4，取 o点作表示重物对 ab杆拉力的有向线段，过o点作绳索拉力的作用线所在射线，从箭头端点作指向射线上任意点的有向线段，则就是墙对ab杆的作用力 . 用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从 a端向 b端移动的过程中，、的夹角逐渐减小，所以绳索的拉力不断减小，墙对ab杆的作用力先减小后增大。图 4 图 3 综上所述，类型一问题的作图方法是： 以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从确定力矢量箭头作指向射线上的点的有向线段），勾画出一簇闭合的矢量

5、三角形，用曲箭头标明动态趋势由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势二、三力中有一个力确定即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定例 3 如图 5 所示，在“验证力的平行四边形定则实验中，用两只弹簧秤a、b把像皮条上的结点拉到某一位置 0，这时两绳套 ao 、b0的夹角 aob90现保持弹簧秤 a的示数不变而改变其拉力方向使 a 角减小，那么要使结点仍在位置o处不动，就应调整弹簧秤 b的拉力大小及 角，则下列调整方法中可行的是 ( ) a增大弹簧秤 b的拉力、增大 角 b增大弹簧秤 b的拉力、 角不变 c增大弹簧秤 b的拉力、减小 角 d弹簧秤 b的拉力大

6、小不变、增大 角分析与解本题中我们考察结点o ，使之处于平衡的三个力中，一个力(橡皮条上的拉力 f)大小方向均确定，一个力( 弹簧秤 a的拉力 fa)大小确定，需判断第三个力 ( 弹簧秤 b的拉力 fb)的变化情况如图 6 所示，取 o点为起始点，先作力f的有向线段，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力 fa的线段长为半径作一圆，该圆的每条矢径均为力fa矢量，从该圆周上各点指向 0 点的各有向线段便是弹簧秤b的拉力fb矢量这样我们勾画出表示可能的三力关系的三角形集合图图 5 图 6 如图 6 所示，若初始状态三力关系如0o a，在 a 角减小的前提下，线段变长，即 fb增大，而角 减小（刚开始，

7、 fa、fb二力互相垂直），故正确答案为选项 c例 4 如图 7 所示，质量为 m的小球，用一细线悬挂在点0 处现用一大小恒定的外力f(fmg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少? 分析与解本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止， 静止时小球所受重力、 细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同现在来作出这样的三角形簇：如图 8 所示，取点 0 为起始点，作确定不变的重力矢量，以其箭头端点为圆心，表示外力f大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径均可为已知

8、大小的力矢量，该圆周上各点指向 0点并封闭形成三角形的有向线段便是第三个力即细线拉力矢量这样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集 , 由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段与线段间的夹角最大为 =arcsingf(线段作为圆的切线时 ) ，细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsingf通常类型二问题的一般作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，画出一簇闭合的矢量三角形 由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势三、三力中有一个力大小方向确定，另二力方向变化有依

9、据。判断二力大小变化情况图 7 图 8 例 5 如图 9所示, 固定在水平面上的光滑半球，球心0 的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上的a点，另一端绕过定滑轮， 如图所示，现缓慢拉绳，使球沿半球面上升，小球对半球的压力fn的大小，细线对小球拉力f 的大小随绳的拉动而变化的情况如何？分折与解小球在任意位置处于三力平衡状态，其中小球的重力为确定力，其余两力大小不定方向变化， 但两力的方向变化有依据： 绳的拉力总沿绳收缩的方向，半球对小球的支持力总沿着半径的方向。我们如图作力的矢量三角形图：以 o为起始端点，连接 oo ，以此有向线段表示确定力小球的重力连接o 与小球所在位置 a点

10、，则此有向线段表示球面对小球的支持力， 最后连接 ao两点，则此有向线段表示绳子的拉力。当小球往上运动时，动态变化趋势如图10 所示可以清楚地看出有向线段的长度始终等于球的半径长度，说明球面对小球的支持力大小应不变，而绳子的拉力在不断减小. 例 6 如图 11 所示，将一带电小球 a用绝缘棒固定于水平地面上的某处在它的正上方l 处有一悬点 o 。通过长度也为 l 的绝缘细线悬吊一个与a球带同性电荷的小球b。于是悬线与竖直方向成某一夹角， 现设法增大 a球电量，则悬线 0b对 b球的拉力 f的大小将如何变化？（两球可看作质点）分折与解小球 b受三个力作用而平衡，重力，库仑力及细绳对球b的拉力，其

11、中重力为确定力， 另两个力的大小不定， 方向变化， 但我们知道绳的拉力总沿着绳指向绳收缩的方向，库仑力总沿着两质点的连线。因此可归为类型三图 10 图 11 图 9 我们可如图 12作力的矢量三角形图： 以 o为起始端点，连接 oa ，以此有向线段表示确定力小球b的重力，以 a小球为起点，连接 a与小球 b，则此有向线段表示小球 b受到的库仑力，最后连接bo两点，则此有向线段表示绳子的拉力。容易判断当小球a电量增加时， 小球 b被库仑力排斥而往上运动，动态变化趋势如图一簇闭合的矢量三角形所示可以清楚地看出有向线段的长度始终等于绳长，由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大小不变， 有向线段长度在不断

12、增加，说明库仑力在不断增大综上所述，类型三问题的作图方法是： 以确定力矢量为力三角形系的基准边，将另二力按实际位置方向依据来确定，力矢量依次首尾相接， 勾画出闭合的矢量三角形，通过力三角形与物体在空间移动的约束条件比照，由此来判断各个力的大小和方向的变化趋势。实际上，当物体受三力作用而处于平衡时，三力合力为零，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段 )依次恰好能首尾相接 , 其本质即为学生在数学中所学的向量相加运算，因此向学生讲授三力关系的矢量图并不增加教学的难度和学生的负担。另一资料：在静力学中， 若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量构成一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用例 4 一球重 g，置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为，挡板与斜面的夹角为 ，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力n1和挡板对球的作用力 n2若不变而 可以改变，问 为何值时， n2最小？解析 如图 7，球受三力作用：重力 g、弹力 n1与 n2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得图 12 从 n2的表达式可知，当=90时， n2取极小值例 5 （选择题）如图 9 所示，绳 oa、ob 等长， a 点固定不动，在手持 b 点沿圆弧向 c 点运动的过程中，绳ob 中的张力将 a由大变小；b由小变