北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

1、精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形的证明全章复习与巩固( 提高) 【学习目标】1. 经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明. 2. 结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题. 3. 能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形 . 【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1. 三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定： sss 、 sas 、asa 、aas 、hl. 2. 等腰三角形的判定、性质及推论性质：等

2、腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（即“三线合一” ）3. 等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60；等边三角形的三条精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴 . 判定定理：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形 . 4. 含 30的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

3、要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是32a，面积是234a；含有30的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形1. 勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3. 直角三角形全等的判定定

4、理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（hl）要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成 “两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. 直角三角形的全等判定方法，还有sss,sas,asa,aas,一共有 5 种判定方法 . 要点三、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2. 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3. 如何用尺规作图

5、法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点a、b为圆心，以大于12ab的长为半径作弧，两弧交于点m 、n；作直线 mn ，则直线mn 就是线段ab的垂直平分线. 要点诠释：注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理, 注意二者的应用范围；利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离

6、相等. 3. 如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：注意区分角平分线性质定理和判定定理, 注意二者的应用范围；几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法. 遇到角平分线时，要构造全等三角形 . 【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图， acd和 bce都是等腰直角三角形，acd= bce=90 ， ae交 cd于点 f，bd分别交 ce 、ae于点 g 、 h试猜测线段ae和 bd的数量和位置关系，并说明理由【思路点拨】 由条件可知cd=ac ， bc=ce ， 且可求得 ace= dcb ， 所以 ace dcb ， 即 ae=bd ，cae= cdb ；又因为对顶角afc= d

7、fh ，所以 dhf= acd=90 ，即ae bd【答案与解析】猜测 ae=bd ，ae bd ；理由如下： acd= bce=90 ， acd+ dce= bce+ dce ，即 ace= dcb ，又 acd和 bce都是等腰直角三角形，ac=cd ，ce=cb ，在 ace与 dcb中，,acdcacedcbecbc ace dcb （sas ），ae=bd ，cae= cdb ； afc= dfh ， fac+ afc=90 ， dhf= acd=90 ，ae bd 故线段 ae和 bd的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】 主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对

8、顶角的性质等知识点举一反三：【变式】 将两个全等的直角三角形abc和 dbe按图 1 方式摆放， 其中 acb= deb=90 ， 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用a=d=30 ，点e落在 ab上， de所在直线交ac所在直线于点f（1）求证： af+ef=de ；（2）若将图1 中的 dbe绕点 b 按顺时针方向旋转角，且 0 60，其它条件不变，请在图2 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1 中的 dbe绕点 b 按顺时针方向旋转角，且 60 180，其它条件不变，如图3你认为（ 1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不

9、成立，请写出 af 、ef与 de之间的关系，并说明理由【答案】 （1）证明：连接bf （如下图1）， abc dbe （已知），bc=be ，ac=de acb= deb=90 ， bcf= bef=90 bf=bf ，rtbfc rtbfe cf=ef 又 af+cf=ac ，af+ef=de （2）解：画出正确图形如图2. （1）中的结论af+ef=de 仍然成立；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（3）证明：连接bf， abc dbe ，bc=be ， acb= deb =90， bcf和 bef是直角三角形，在 rtbcf和 rt bef中，,bcbebfbf bcf b

10、ef ，cf=ef ； abc dbe ，ac=de ，af=ac+fc=de+ef类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 a.1 b.2 c.3 d.4 【思路点拨】 根据全等三角形的判定方法及“hl ”定理，判断即可；【答案】 c. 【解析】 a 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；b、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“aas ”；故本选项正确；c、两条直角边对应相

11、等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“sas ”；故精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用本选项正确；d、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“hl ”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“sas ”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3 个故选 c【总结升华】 直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“ hl ”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件3. （2016?南开区一模）问题背景：在 abc中， ab

12、 、bc 、 ac三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1） ，再在网格中画出格点 abc （即 abc三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示 这样不需求abc的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将 abc的面积直接填写在横线上；（2）若 abc三边的长分别为、2（m 0，n0，且mn） ，运用构图法可求出这三角形的面积为【思路点拨】 （1）是直角边长为1，2 的直角三角形的斜边；是直角边长为1， 3 的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合

13、（ 1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m ，4n 的直角三角形的斜边；直角边长为 3m ，2n 的直角三角形的斜边；直角边长为2m ，2n 的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得【答案与解析】解： （1）sabc=33122 313=；（2）构造 abc如图所示，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用sabc=3m 4nm 4n3m 2n2m 2n=5mn 故答案为：（1）3； （2）5mn 【总结升华】 此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角

14、形表示出所求三角形的面积进行解答类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角abc中， ad 、ce分别是 bc、ab边上的高， ad 、ce相交于 f，bf的中点为 p，ac的中点为q，连接 pq 、de （1）求证：直线pq是线段 de的垂直平分线；（2）如果 abc是钝角三角形，bac 90，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明【思路点拨】 （1）只需证明点p、q都在线段de的垂直平分线上即可即证p、q分别到 d、e的距离相等 故连接 pd 、pe 、qd 、qe ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改

15、写原题【答案与解析】（1）证明：连接pd 、pe、qd 、qe ceab ，p是 bf的中点， bef是直角三角形，且pe是 rtbef斜边的中线，pe=12bf又 ad bc ， bdf是直角三角形，且pd是 rtbdf斜边的中线，pd=12bf=pe ，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用点 p在线段 de的垂直平分线上同理可证， qd 、qe分别是 rtadc和 rt aec斜边上的中线，qd=12ac=qe ，点 q也在线段de的垂直平分线上直线 pq垂直平分线段de （2）当 abc为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立如图， abc是钝角三角形，bac 90原题改写为：如图

16、，在钝角abc中， ad 、ce分别是 bc、ab边上的高， da与 ce的延长线交于点 f，bf的中点为p，ac的中点为q ，连接 pq 、de 求证：直线pq垂直且平分线段de 证明：连接pd ， pe ，qd ，qe ，则 pd 、pe分别是 rt bdf和 rtbef的中线，pd=12bf，pe=12bf，pd=pe ，点 p在线段 de的垂直平分线上同理可证qd=qe ，点 q在线段 de的垂直平分线上直线 pq垂直平分线段de 【总结升华】 考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大举一反三：【变式】在

17、abc中， ab=ac ，ab的垂直平分线交ab于 n，交 bc的延长线于m ， a=40度（1）求 m的度数；（2）若将 a的度数改为80，其余条件不变，再求m的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（ 1）中的 a改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】（1） b=12（180 - a）=70m=20 （2）同理得 m=40 （3）规律是：m的大小为 a大小的一半，证明：设 a=，则有 b=12（180 - ）m=90 -12（180 - ）=12. （4）不成立 . 此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与

18、底边相交所成的锐角等于顶角的一半类型四、角平分线5. 如图， abc中， a=60 ， acb的平分线cd和 abc的平分线be交于点 g 求证： ge=gd 【思路点拨】 连接 ag ，过点 g作 gm ab于 m ，gn ac于 n，gf bc于 f由角平分线的性质 及 逆 定 理 可 得gn=gm=gf， ag 是 cab 的 平 分 线 ； 在 四 边 形amgn中 ， 易 得 ngm=180 - 60=120；在bcg中，根据三角形内角和定理，可得cgb=120 ，即egd=120 ， egn= dgm ，证明 rtegn rtdgm （aas ）即可得证ge=gm【答案与解析】解：连接ag ，过点 g作 gm ab于 m ，gn ac于 n，gf bc于