脉冲与数字电路第2章

1、东北石油大学东北石油大学脉冲与数字电路脉冲与数字电路东北石油大学东北石油大学第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础东北石油大学东北石油大学逻辑运算：逻辑运算：逻辑函数：逻辑函数： 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出。那么当输入变量的取值确定之后，输为输出。那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值随之而定。因此，输入输出之间是一出的取值随之而定。因此，输入输出之间是一种函数关系，写作：种函数关系，写作：,.),(CBAFY 逻辑变量按照指定的某种因果关系进行的逻辑变量按照指定的某种因果关系进行的推理运算。推理运算。东北石油大学东北石油大学逻辑与：逻辑与

2、： BAY输输 入入输出输出A BY0 00 11 01 10001与逻辑符号与逻辑符号 真值表真值表 V112 V R11kLED1S1Key = SpaceS2Key = Space12345有有0出出0，全，全1出出1基本逻辑：基本逻辑：U1A7408JABY东北石油大学东北石油大学逻辑或：逻辑或： 或逻辑符号 输输 入入输出输出A BY0 00 11 01 10111真值表真值表 BAYV112 V R11kLED1S1Key = SpaceS2Key = Space1234有有1出出1，全，全0出出0U2A7432NABY东北石油大学东北石油大学 逻辑非：逻辑非： AY非逻辑符号 输

3、入输入输出输出A Y0110真值表真值表 V112 V R11kLED1S1Key = Space231U3A7406NYA东北石油大学东北石油大学复合逻辑：复合逻辑： )(BAY与非：与非： 或非：或非： A BY0 00 11 01 11110A BY0 00 11 01 11000U2A7402NYABU3A7400NYAB有有0出出1，全，全1出出0有有1出出0，全，全0出出1)(BAY东北石油大学东北石油大学)(DCBAY与或非：与或非： A B C DY0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01

4、0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 11110111011100000CDYAB东北石油大学东北石油大学 异或：异或： 同或：同或： A BY0 00 11 01 10110A BY0 00 11 01 11001U4A4070BT_5VABYU5A4077BD_5VABYBABABAYY=A B=AB+AB 输入相异，输出为输入相异，输出为1输入相同，输出为输入相同，输出为1东北石油大学东北石油大学AA 000 AAA 1逻辑代数的基本公式：逻辑代数的基本公式：0-1律律:11 A01 10 东北石油大学东北石油大学ABBACBACBA

5、)()(CABACBA)(交换律：交换律：ABBA结合律：结合律：CBACBA)()(分配律：分配律：)()()(CABACBA东北石油大学东北石油大学AAA0 AAAA)(互补律：互补律：1 AA重叠律：重叠律：AAA还原律：还原律：东北石油大学东北石油大学BABA)(反演律（摩根定理）：反演律（摩根定理）：BABA)(东北石油大学东北石油大学ABAABABAAABABAABAA)(逻辑代数的常用公式：逻辑代数的常用公式： 吸收律：吸收律：ABBAA)(ABABA)(东北石油大学东北石油大学CABACBCABACABADCBCABABABAA)(ABAA)(无名律：无名律：冗余律（多余项定理

6、）：冗余律（多余项定理）：东北石油大学东北石油大学逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 代入定理：代入定理： 在任何一个包含变量在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式成立。的位置，则等式成立。例：用代入定理证明摩根定理也适用于多变量的情况。例：用代入定理证明摩根定理也适用于多变量的情况。 BABA)(CBACBA)(由由证明证明东北石油大学东北石油大学反演定理：反演定理：Y换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“ ”“ ”，0换成换成1，1换成换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到结果，原变量换成

7、反变量，反变量换成原变量，则得到结果就是就是 ，这个规律就是反演定理。这个规律就是反演定理。对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有，若将其中所有“ “ ”使用反演定理的规则：使用反演定理的规则：（1）运算顺序不变。）运算顺序不变。（2）不属于单个变量上反号应保留不变。）不属于单个变量上反号应保留不变。 CDCBAY)(Y例例2 2：已知：已知，求，求例例3 3：已知：已知EDCBAY)(，求，求Y例例1 1：利用反演定理证明同或与异或互为反函数。：利用反演定理证明同或与异或互为反函数。东北石油大学东北石油大学YDYY若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对

8、偶式也相等。 中“ ” 换成“+”，“+”换成“ ”，0换成1，1换成0得到与 互为对偶式DY对偶定理：对偶定理：例：试利用对偶定理求证：例：试利用对偶定理求证：)(CABABCA 使用对偶定理的规则：使用对偶定理的规则：（1）运算顺序不变。）运算顺序不变。（2）所有反号均应保留不变。）所有反号均应保留不变。 东北石油大学东北石油大学逻辑功能的表示法：逻辑功能的表示法：3、逻辑函数式、逻辑函数式2、逻辑真值表、逻辑真值表4、逻辑图、逻辑图1、文字描述、文字描述5、时序波形图、时序波形图6、卡诺图、卡诺图例：设计一个三人表决器，若两人或两人以上同意，例：设计一个三人表决器，若两人或两人以上同意，

9、 则决议通过。则决议通过。东北石油大学东北石油大学A0tB0tC0tY0tA B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111东北石油大学东北石油大学3333ABCYY=ABC+ ABC+ ABC+ ABC 东北石油大学东北石油大学123123123YA B CYY=ABC+ ABC+ ABC+ ABC =AB+AC+BC东北石油大学东北石油大学逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式最小项和最小项标准表达式最小项和最小项标准表达式最小项：最小项： mi 在一个逻辑函数中，包含全部变量的全部变量的“乘积项乘积项”为最小项。乘积项中的变

10、量只能以原变量或反变量的形式出现出现 一次一次。性质：性质：（1）唯一对应关系（2）（3）（4）相邻项之“和”等于相同项之“积”1im0jimm最小项标准表达式：最小项标准表达式： 最小项组成的与或逻辑表达式，即最小项之“和”。 东北石油大学东北石油大学最大项和最大项标准表达式最大项和最大项标准表达式最大项：最大项：Mi 在一个逻辑函数中，包含全部变量的全部变量的“和和”为最大项。和项中的变量只能以原变量或反变量的形式出现出现 一次一次。性质：性质：（1）唯一对应关系（2）（3）（4）相邻项之“积”等于相同量之“和”最大项标准表达式：最大项标准表达式： 最大项组成的或与逻辑表达式，即最大项之积

11、。 1jiMM0iM 例：求例：求 Y=AB+AC 的两种标准表达式。的两种标准表达式。东北石油大学东北石油大学输入变量输入变量最小项最小项最大项最大项A B C表达式表达式编号编号表达式表达式编号编号0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7M0M1M2M3M4M5M6M7CBACBACBABCACBACBA CAB ABCCBACBACBACBACBACBACBACBA三变量三变量A、B、C的最小项与最大项的最小项与最大项最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系东北石油大学东北石油大学逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换

12、与非与非-与非表达式与非表达式方法：方法：（1）化为最简与或式（2）两次取非例：用与非门实现以下逻辑函数功能例：用与非门实现以下逻辑函数功能 CBABAY)(AC ABY东北石油大学东北石油大学或非或非-或非表达式或非表达式方法：方法：（1）化为最简或与式 原函数最简与或式反函数最简与或式 反函数最简与或式原函数最简或与式 或或 原函数最简与或式对偶式最简与或式 原函数最简或与式原函数最简或与式（2）两次取非例：用或非门实现以下逻辑函数功能例：用或非门实现以下逻辑函数功能 CBBAY东北石油大学东北石油大学例：实现三人表决电路的设计：例：实现三人表决电路的设计： (1) 试用两种标准表达式分别

13、表示试用两种标准表达式分别表示 (2) 分别用与非门和或非门实现电路分别用与非门和或非门实现电路东北石油大学东北石油大学逻辑函数的化简方法：逻辑函数的化简方法：与或式最简标准：与或式最简标准：1、与项最少、与项最少2、每项中变量最少、每项中变量最少化简方法：化简方法：1、公式法化简、公式法化简2、卡诺图化简、卡诺图化简东北石油大学东北石油大学公式法化简公式法化简1、基本及常用公式、基本及常用公式 吸收律、反演律、冗余定律2、配项法、配项法 A+A=A ； A+A=1例：用公式法化简下列逻辑函数。例：用公式法化简下列逻辑函数。)()()(CBBAACYBBCAABYBCDACBBCAAYCBCA

14、CBAY（东北石油大学东北石油大学)()()()()()()()(CDDCBCBACDABABABAYFECACBDABAAYCDBAABCDBABAY东北石油大学东北石油大学卡诺图化简法卡诺图化简法010m0m11m2m3AB00 01 11 100 m0m1m3m21 m4m5m7m6ABC卡诺图表示法卡诺图表示法2变量变量3变量变量4变量变量0001111000 m0m1m3m201 m4m5m7m611 m12m13m15m1410 m8m9m11m10ABCD东北石油大学东北石油大学用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数方法：方法：（1）将逻辑函数化为最小项之和的形式）将逻辑函数化

15、为最小项之和的形式（2）最小项对应位置填入）最小项对应位置填入1，其余填入，其余填入0例：将以下逻辑函数用卡诺图表示。例：将以下逻辑函数用卡诺图表示。CBCBAABY00 01 11 100 00011 0111ABC)7 , 6 , 5 , 2(m东北石油大学东北石油大学用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数依据：依据：合并最小项规则。合并最小项规则。（4）选取化简后的最小项。）选取化简后的最小项。卡诺图化简的步骤卡诺图化简的步骤（1）将函数化为最小项之和的形式。）将函数化为最小项之和的形式。（2）画出表示逻辑函数的卡诺图。）画出表示逻辑函数的卡诺图。（3）找出可以合并的最小项。）找出可以

16、合并的最小项。东北石油大学东北石油大学基本原理：基本原理： 具有相邻性的最小项可以合并，并消去不具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。合并的每组最小项个数应为同的因子。合并的每组最小项个数应为2N个。个。基本原则：基本原则： （1）变量最少原则）变量最少原则-圈尽量大圈尽量大 （2）与项最少原则）与项最少原则-圈尽量少圈尽量少 （3）卡诺圈涵盖函数式中所有最小项，即）卡诺圈涵盖函数式中所有最小项，即 所有所有“1”在圈中。在圈中。 （4）每个卡诺圈至少包含一个其他圈不包含）每个卡诺圈至少包含一个其他圈不包含 的的“1”东北石油大学东北石油大学100111001010110100ABC1

17、11111000010110100ABC1111ABCD00 01 11 1000 01 11 101111111111ABCD00 01 11 1000 01 11 10CY BCAYDBY BCAADDBABY东北石油大学东北石油大学例：用卡诺图化简下列逻辑函数例：用卡诺图化简下列逻辑函数)15,12, 6 , 4 , 2 , 1 ()15,13,11,10, 7 , 6 , 3 , 1 ()12,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 2 , 0(MYmYmY东北石油大学东北石油大学CBCBCACAYDCBCACBABAYDCACBADCDCAABDABCY)()()()(CBBAACY

18、BBCAABYCBCACBAY东北石油大学东北石油大学例：将下列逻辑函数式化成最简与非式例：将下列逻辑函数式化成最简与非式 和最简或非式的形式。和最简或非式的形式。)5 , 4 , 3 , 1 , 0(),(mCBAY用卡诺图求与非用卡诺图求与非-与非式的方法：与非式的方法：用卡诺图求或非用卡诺图求或非-或非式的方法：或非式的方法：（1）化简为最简与或式）化简为最简与或式（2）两次取非）两次取非（1）化简为反函数的最简与或式）化简为反函数的最简与或式（2）取非得原函数的最简或与式）取非得原函数的最简或与式（3）两次取非）两次取非东北石油大学东北石油大学约束项、任意项、无关项约束项、任意项、无关项约束项：约束项：不允许出现的项、不可能出现的项。不允许出现的项、不可能出现的项。任意项：任意项：出不出现均无用的项。出不出现均无用的项。无关项：无关项：约束项和任意项。约束项和任意项。带无关项的化简方法带无关项的化简方法（1）满足卡诺图化简的基本原则）满足卡诺图化简的基本原则（2）无关项可参与化简，划入圈中的作）无关项可参与化简，划入圈中的作