05_平面向量、解三角形(共39页)

1、第五编平面向量、解三角形5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测1. 下列等式正确的是（填序号） . a+0=aa+b=b+aab+ba0ac=dc+ab+bd答案2. 如图所示，在平行四边行abcd 中，下列结论中正确的是 . ab=dcad+ab=acab-ad=bdad+cb=0 答案3. （20082广东理，8）在平行四边形abcd中, ac与 bd交于点 o , e是线段 od的中点 , ae的延长线与cd交于点 f. 若ac=a,bd=b, 则af= . 答案32a+31b4. 若 abcd 是正方形， e是 dc边的中点，且ab=a，ad=b，则be= . 答案b-21a5. 设

2、四边形 abcd 中，有dc=21ab，且 |ad|=|bc| ，则这个四边形是 . 答案等腰梯形例 1给出下列命题向量ab的长度与向量ba的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量ab与向量cd是共线向量，则点a、b、c、d必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 .答案 4 例 2 如图所示，若四边形abcd 是一个等腰梯形，abdc ，m 、n 分别是 dc 、ab的中点，已知ab=a，a bc d ad=b，dc=c，试用 a、b、c

3、表示bc，mn，dn+cn. 解bc=ba+ad+dc=- a+b+c，mn=md+da+an，md=-21dc,da=-ad,an=21ab, mn=21a-b-21c. dn+cn=dm+mn+cm+mn=2mn=a-2 b-c. 例 3设两个非零向量a 与 b 不共线，（1）若ab=a+b,bc=2a+8b,cd=3( a- b) ，求证： a 、b、d三点共线；（2）试确定实数k，使 ka+b 和 a+kb 共线 . （1）证明ab=a+b,bc=2a+8b,cd=3( a- b), bd=bc+cd=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5ab. ab、b

4、d共线，又它们有公共点b ，a 、b、d三点共线 . （2）解 ka+b 与 a+kb 共线，存在实数，使 ka+b=( a+kb), 即 ka+b=a+kb. (k-) a=(k-1) b. a、b 是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0 ， k2-1=0. k=1. 例 4（14 分）如图所示，在abo中，oc=41oa, od=21ob, ad与 bc相交于点 m ，设oa=a，ob=b. 试用 a 和 b 表示向量om. 解设om=m a+nb，则am=om-oa=m a+nb- a=(m -1) a+nb. ad=od-oa=21ob-oa=- a+21b. 又 a、m 、d三点共

5、线，am与ad共线 . 存在实数t , 使得am=tad，即(m -1) a+nb=t (- a+21b). 4分(m -1) a+nb=-t a+21t b. 21tntm，消去 t 得： m -1=-2 n. 即 m +2n=1. 6分又cm=om-oc=m a+nb-41a=( m -41) a+nb. cb=ob-oc=b-41a=-41a+b. 又 c、m 、b三点共线，cm与cb共线 . 10分存在实数t1, 使得cm=t1cb, (m -41) a+nb=t141, 114141tntm，消去 t1得,4 m +n=1 12分由得 m =71, n=73, om=71a+73b.

6、 14分1. 下列命题中真命题的个数为 . 若 | a|=| b| ，则 a=b 或 a=-b; 若ab=dc，则 a、b 、c、d是一个平行四边形的四个顶点；若 a=b, b=c, 则 a=c; 若 ab, bc, 则 ac. 答案1 2. 在 oab 中，延长ba到 c，使 ac =ba ，在 ob上取点 d ，使 db =31ob .dc与 oa交于 e，设oa=a，ob=b，用 a, b 表示向量oc，dc. 解因为 a是 bc的中点，所以oa=21(ob+oc) ，即oc=2oa-ob=2a- b；dc=oc-od=oc-32ob=2a- b-32b=2a-35b. 3. 若 a，b

7、 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当t 为何值时， a,t b,31(a+b) 三向量的终点在同一条直线上？解设oa=a，ob=tb，oc=31( a+b) ，a bac=oc-oa=-32a+31b，ab=ob-oa=t b- a. 要使 a、b、c三点共线，只需ac=ab即-32a+31b=t b-a有t3132，2132t当 t =21时，三向量终点在同一直线上. 4. 如图所示，在 abc中，点 m是 bc的中点，点n在 ac上，且 an =2nc ，am与 bn相交于点 p ，求 ap pm的值 . 解方法一设 e1=bm, e2=cn, 则am=ac+cm=-3e2

8、-e1，bn=bc+cn=2e1+e2. 因为 a、p、m 和 b、p、n 分别共线，所以存在实数、，使ap=am=-3e2-e1，bp=bn=2e1+e2，ba=bp-ap=（+2）e1+（3+）e2，另外ba=bc+ca=2e1+3e2，3322，5354，ap=54am,bp=53bn, appm =41. 方法二设ap=am，am=21（ab+ac）=21ab+43an，ap=2ab+43an. b、p、n三点共线，ap-ab=t (ab-an), ap=(1+t )ab- tantt43122+43=1，=54， appm =41. 一、填空题1. 下列算式中正确的是（填序号） .

9、ab+bc+ca=0 ab-ac=bc02ab=0 （a）=22 a答案2. （20082全国理）在 abc中，ab=c，ac=b，若点 d 满足bd=2dc，则ad= （用 b, c 表示） . 答案32b+31c3. 若ab=3e1，cd=-5e1，且 |ad|=|bc| ，则四边形abcd 是 . 答案等腰梯形4. 如图所示，平面内的两条相交直线op1和 op2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若op=aop1+bop2，且点 p落在第部分，则实数a，b 满足a 0, b 0.( 用“” , “”或“ =”填空 ) 答案 5. 设ob=xoa+yoc，且 a、b、c三点共线（该直线

10、不过端点o ） ，则 x+y= . 答案 1 6. 已知平面内有一点p及一个 abc ，若pa+pb+pc=ab，则点 p在线段上. 答案ac7. 在 abc中，ca=a，cb=b，m是 cb的中点， n是 ab的中点，且cn 、am交于点 p，则ap可用 a、b 表示为 .答案 -32a+31b8. 在 abc 中，已知d是 ab边上一点，若ad=2db,cd=31ca+cb, 则= . 答案32二、解答题9. 如图所示， abc 中，ad=32ab，debc交 ac于 e，am是 bc边上中线，交de于 n. 设ab=a，ac=b，用 a, b 分别表示向量ae，bc，de，dn，am，a

11、n. 解abadbcde32/ae=32ac=32b. bc=ac-ab=b- a. 由 ade abc ，得de=32bc=32( b- a). 由 am是abc的中线，debc ，得dn=21de=31(b- a). 而且am=ab+bm=a+21bc=a+21( b- a) =21( a+b). abadabmadn32an=32am=31(a+b). 10. 如图所示，在 abc中， d 、f 分别是 bc 、ac的中点，ae=32ad，ab=a，ac=b. （1）用 a、b 表示向量ad、ae、af、be、bf；（2）求证： b、e、f三点共线 . （1）解延长ad到 g ，使ad=

12、21ag，连接 bg 、cg ，得到abgc ，所以ag=a+b, ad=21ag=21( a+b), ae=32ad=31(a+b). af=21ac=21b, be=ae-ab=31(a+b)- a=31( b-2 a). bf=af-ab=21b- a=21( b-2a). (2) 证明由(1) 可知be=32bf, 所以 b、e、f 三点共线 . 11. 已知：任意四边形abcd 中， e、f 分别是 ad 、bc的中点，求证：ef=21(ab+dc). 证明方法一如图，e、f 分别是 ad 、bc的中点，ea+ed=0，fb+fc=0，又ab+bf+fe+ea=0，ef=ab+bf+

13、ea同理ef=ed+dc+cf由 +得，2ef=ab+dc+（ea+ed）+（bf+cf）=ab+dc. ef=21(ab+dc). 方法二连结eb，ec，则ec=ed+dc，eb=ea+ab，ef=21(ec+eb) =21(ed+dc+ea+ab) =21(ab+dc). 12. 已知点 g为abc的重心，过g作直线与 ab 、ac两边分别交于m 、n 两点，且am=xab，an=yac，求x1+y1的值 . 解根据题意 g为三角形的重心，故ag=31(ab+ac)，mg=ag-am=31(ab+ac)- xab=(31- x)ab+31ac, gn=an-ag=yac-ag=yac-31

14、(ab+ac) =（y-31）ac-31ab, 由于mg与gn共线，根据共线向量基本定理知mg=gn(31- x)ab+31ac=abacy31)31(，)31(313131yx3131x=3131yx+y-3 xy=0 两边同除以xy 得x1+y1=3. 5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测1. 已知平面向量a=（1，1） ，b=(1,-1),则向量21a-23b= . 答案 (-1,2) 2.（20082安徽理）在平行四边形abcd中，ac为一条对角线， 若ab=(2，4) ，ac=(1，3) ， 则bd= . 答案 （-3 ，-5 ）3. 若向量 a=(1,1) ，b=(1,-1)

15、,c=(-2,1),则 c= （用 a,b 表示） . 答案 -21a-23b4. 已知向量 a=x21,8,b=( x，1) ，其中 x0，若 ( a-2b） (2 a+b) ，则 x 的值为 . 答案 4 5. 设 a=43,sin x，b=x，cos2131，且 ab，则锐角 x 为 . 答案4例 1设两个非零向量e1和 e2不共线 . （1）如果ab=e1-e2，bc=3e1+2e2，cd=-8e1-2e2，求证： a、c、d三点共线；（2）如果ab=e1+e2，bc=2e1-3e2，cd=2e1- ke2，且 a、c、d三点共线，求k 的值 . （1）证明ab=e1- e2，bc=3

16、e1+2e2, cd=-8 e1-2e2, ac=ab+bc=4e1+e2=-21(-8 e1-2e2)=-21cd, ac与cd共线，又ac与cd有公共点 c，a、c、d三点共线 . （2）解ac=ab+bc=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，a、c、d三点共线，ac与cd共线，从而存在实数使得ac=cd, 即 3e1-2 e2=(2 e1- ke2) ，由平面向量的基本定理，得k223，解之得=32，k=34. 例 2 已知点 a（1，0） 、b （0，2） 、c（-1 ，-2 ） ，求以 a 、b、c为顶点的平行四边形的第四个顶点d 的坐标 . 解设 d的坐标为（ x,

17、 y）. (1)abcd ，则由ab=dc得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x, y), 即(-1,2)=(-1-x,-2- y), 2211yx, x=0，y=-4. d点的坐标为（ 0，-4） （如图中的d1）. （2adbc ，则由ad=cb得（x，y）- （1，0）=（0，2）- （-1 ，-2 ） ，即( x-1, y)=(1,4).解得 x=2, y=4. d点坐标为（ 2，4） （如图中的d2）. （3abdc ，则由ab=cd得（0，2）- （1，0）=（x, y）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1, y+2). 解得 x=-2, y=0. d点的坐标为（

18、-2，0） （如图中的d3）. 综上所述，以a、b、c为顶点的平行四边形的第四个顶点d的坐标为（ 0，-4）或（ 2，4）或（ -2 ，0）. 例 3 （14分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（ a+kc） (2b- a) ，求实数 k; (2) 设 d=(x, y) 满足 ( d-c) ( a+b) 且| d- c|=1, 求 d. 解 （1）（ a+kc）（ 2b- a） ，又 a+kc=(3+4k,2+ k),2 b- a=(-5,2), 2分23 (3+4 k)-(-5)3 (2+ k)=0, 4分k=-1316. 6分（2）

19、 d-c=( x-4, y-1), a+b=(2,4), 又( d- c) (a+b)且| d- c|=1, 1140124422yxyx， 10分解得5521554yx或5521554yx. 12分d=55255520，或 d=55255520，. 14分1. 如图所示，在平行四边形abcd 中，m ，n分别为 dc ，bc的中点，已知am=c，an=d，试用 c，d 表示ab，ad. 解方法一设ab=a，ad=b，则 a=an+nb=d+b21b=am+md=c+a21将代入得a=d+21ac21a=d34-32c, 代入得 b=c+21cd323434c-32d即ab=34d-32c，a

20、d=34c-32d方法二设ab=a，ad=b. 因 m ，n分别为 cd ，bc的中点，所以bn=21b，dm=21a，因而badabc2121)2(32)2(32dcbcda, 即ab=32(2d- c), ad=32(2 c-d). 2. 已知 a（-2 ，4） 、b（3，-1） 、c （-3 ，-4 ）且cm=3ca，cn=2cb，求点 m 、n 及mn的坐标 . 解a（-2 ，4） 、b（3，-1 ） 、c（-3 ，-4 ） ，ca=（1，8） ，cb=（6，3） ，cm=3ca=（3，24） ，cn=2cb=（12，6). 设 m （x，y） ，则有cm=（x+3，y+4） ，244

21、33yx，200yx, m点的坐标为（ 0，20）. 同理可求得n点坐标为（ 9，2） ，因此mn=（9，-18） ，故所求点 m 、n 的坐标分别为（ 0，20） 、 （9，2） ，mn的坐标为（ 9，-18 ）. 3. 已知 a、b、c三点的坐标分别为（-1 ，0） 、 （3，-1 ） 、 （1，2） ，并且ae=31ac，bf=31bc. 求证：efab. 证明设 e、f两点的坐标分别为（x1，y1） 、 （x2，y2） ，则依题意，得ac=（2，2） ，bc=（-2，3） ，ab=（4，-1）. ae=31ac=32,32,bf=31bc=1 ,32ae=(x1, y1)-(-1,0)

22、= 32,32, bf=(x2, y2)-(3,-1)= 1 ,32. bc一、填空题1. 已知向量 a=(2,3),b=(-1,2)，若 m a+nb 与 a-2b 共线，则nm= . 答案 -212. 设 a、b 是不共线的两个非零向量，已知ab=2a+pb，bc=a+b，cd=a-2 b.若 a、b 、d三点共线，则p 的值为 . 答案 -1 3. 已知向量om=(3,-2),on=(-5,-1),则21mn= . 答案214，4. （20072北京文）已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b( a+b) ，则实数的值是 . 答案 -3 5. （20082辽宁文）已知四边形

23、abcd 的顶点 a（0，2） 、b （ -1，-2 ） 、c（3，1） ，且bc=2ad，则顶点 d 的坐标为 . 答案272，6. 设 02，已知两个向量1op=（cos，sin） ，2op=（2+sin，2-cos） ，则向量21pp长度的最大值是 . 答案 327. （20082全国文）设向量 a=(1,2),b=(2,3) ，若向量a+b 与向量 c=(-4,-7)共线，则= . 答案 2 8. （20082菏泽模拟）已知向量 m =(a-2,-2),n=(-2, b-2), m n ( a0, b0) ，则 ab 的最小值是 . 答案 16 二、解答题9. 已知 a（-2 ，4）

24、，b（3，-1） ，c （-3 ，-4 ）. 设ab=a，bc=b，ca=c，且cm=3c，cn=-2 b，（1）求： 3a+b-3c；（2）求满足 a=m b+nc 的实数 m ，n. 解由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3 a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). efef.abab（2） mb +nc=（-6 m +n，-3m +8n） ，58356nmnm，解得11nm. 10. 若 a, b 为非零向量且ab,1,2r, 且120. 求证：1a+2b 与1a-2b 为共线向

25、量 . 证明设 a=( x1, y1), b=(x2,y2). ab, b0, a0, 存在实数m , 使得 a=m b, 即 a=( x1, y1)=( mx2, my2), 1a+2b=( m1+2) x2,( m1+2) y2) =(m1+2)( x2, y2) 同理1a-2b=(m1-2)( x2, y2), (1a+2b) (1a-2b) b, 而 b0, (1a+2b) (1a-2b). 11.abcd 中， a（1，1） ，ab=（6，0） ，点 m是线段 ab的中点，线段cm与 bd交于点 p. （1）若ad=（3，5） ，求点 c的坐标；（2）当 |ab|=|ad| 时，求点

26、 p的轨迹 . 解 （1）设点 c坐标为（ x0，y0）, 又ac=ad+ab=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（ x0-1, y0-1 ）=（9，5） ，x0=10，y0=6，即点 c （10，6）. （2）由三角形相似，不难得出pc=2mp设 p （x,y） ，则bp=ap-ab=（x-1，y-1 ）- （6，0）=（x-7 ，y-1 ）, ac=am+mc=21ab+3mp=21ab+3（ap-21ab）=3ap-ab=（3（x-1 ） ，3（y-1 ） ）- （6，0）=（3x-9 ，3y-3 ） ，|ab|=|ad|abcd 为菱形，ac bd ，acbp，即（ x-7 ，y

27、-1） 2（3x-9，3y-3 ）=0. （x-7 ） （3x-9）+（y-1） （3y-3）=0，x2+y2-10 x-2 y+22=0（y1）. （ x-5 ）2+（y-1）2=4（y1）. 故点 p的轨迹是以（ 5，1）为圆心， 2 为半径的圆去掉与直线y=1 的两个交点 . 12. a(2,3),b (5,4),c(7,10),ap=ab+ac. 当为何值时，（1）点 p在第一、三象限的角平分线上；（2）点 p到两坐标轴的距离相等？解（1）由已知ab=（3，1） ，ac=（5，7） ，则ab+ac=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）. 设 p （x，y） ，则ap=（x-2，y

28、-3 ） ，713532yx，7455yx. 点 p在第一、三象限的角平分线上，x=y，即 5+5=4+7, =21. (2）若点 p到两坐标轴的距离相等，则| x|=| y|, 即|5+5|=|4+7|, =21或=-43. 1. 已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 . 答案5652. 在边长为 1 的正三角形abc中，设bc=a，ab=c，ac=b，则 a2 b+b2 c+c2 a= . 答案213. 向量 a=(cos15 ,sin15 ), b=(-sin15,-cos15 ), 则| a-b| 的值是 . 答案34. （20092常州市武进区四校高

29、三联考）已知向量 a=(2,1),b=(3,) (0), 若(2a- b) b, 则= . 答案 3 5. (2008 2浙江理) 已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（ a- c） 2（b-c）=0，则 | c| 的最大值是 . 答案2例 1已知向量 a=xx23sin,23cosb=2sin,2cosxx且 x4,3. （1）求 a2 b 及| a+b|; (2) 若 f ( x)= a2 b-| a+b| ，求 f ( x) 的最大值和最小值. 解 （1）a2 b=cos23xcos2x-sin23xsin2x=cos2x, a+b=2sin23sin2cos23

30、cosxx，xx(2) 由（1）可得 f (x)=cos2 x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 当 cosx=21时， f ( x)取得最小值为 -23；当 cosx=1 时， f ( x) 取得最大值为 -1. 例 2已知 a=(cos,sin), b=(cos,sin)(0 ). (1) 求证： a+b 与 a- b 互相垂直；（2）若 ka+b 与 a- kb 的模相等，求-.( 其中 k 为非零实数 ) （1）证明 (a+b) 2 ( a-b)= a2- b2=| a|2-| b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0, a+b 与 a- b 互相垂直 .

31、 （2）解ka+b=( kcos+cos, ksin+sin) , a- kb=(cos- kcos,sin- ksin), bak=,1)cos(22kkbak=.)cos(212kkbak=bak, ).cos(2)cos(2kk又 k0,cos()=0. 而 0,-=2. 例 3（14 分）设两个向量e1, e2满足 | e1|=2,|e2|=1, e1与 e2的夹角为3, 若向量 2t e1+7e2与 e1+t e2的夹角为钝角，求实数t 的范围 . 解由向量 2t e1+7e2与 e1+te2的夹角为钝角，得21212127272eeeeeee0, 3分即(2 te1+7e2) 2

32、( e1+t e2) 0, 化简即得： 2t2+15t +70, 解得 -7t -21, 7分当夹角为时，也有 (2te1+7e2) 2 ( e1+te2) 0, 但此时夹角不是钝角，2t e1+7e2与 e1+te2反向 . 9分设 2t e1+7e2=( e1+t e2),0, 可求得072tt，21414t 12分所求实数t 的范围是2147,21,214. 14分t e1ttt1. 向量 a=(cos23 ,cos67 ), 向量 b=(cos68 ,cos22 ). (1) 求 a2 b；（2）若向量 b 与向量 m共线， u=a+m ,求 u 的模的最小值 . 解（1）a2 b=c

33、os232 cos68+cos672 cos22=cos232 sin22 +sin23 2 cos22=sin45 =22. （2）由向量 b 与向量 m共线，得 m =b(r） ，u=a+m =a+b=(cos23 +cos68,cos67 +cos22) =（cos23+sin22 ， sin23 +cos22） ，| u|2=(cos23 +sin22 )2+(sin23 +cos22)2=2+2+1=222 +21，当=-22时， | u| 有最小值为22. 2. 已知平面向量a=23,21, b=(-3,-1). (1) 证明： ab; (2 ）若存在不同时为零的实数k、t , 使

34、 x=a+( t2-2) b, y=- ka+t2b, 且 xy，试把 k 表示为 t 的函数 . (1) 证明a2 b=23,2121,3=213 (-3)+233 (-1)=0, ab. (2) 解xy, x2 y=0, 即 a+(t2-2) b 2（-ka+t2b）=0. 展开得 -ka2+t2-k( t2-2) a2 b+t2( t2-2) b2=0, a2 b=0,a2=| a|2=1, b2=| b|2=4, -k+4t2( t2-2)=0, k=f ( t )=4 t2 ( t2-2). 3. 设 a=(cos，sin) ，b=(cos，sin) ，且 a 与 b 具有关系 |

35、ka+b|=3| a- kb|( k0). （1）用 k 表示 a2 b；（2）求 a2 b 的最小值，并求此时a 与 b 的夹角 . 解 （1） | ka+b|=3| a- kb| ，( ka+b)2=3( a- kb)2，且 | a|=| b|=1 ，即 k2+1+2ka2 b=3(1+k2-2ka2 b) ，4ka2 b=k2+1. a2 b=kk412( k0）. （2）由（ 1）知： k0 a2 b=kkkk1241414 =21. a2 b 的最小值为21( 当且仅当 k=1 时等号成立 ) 设 a、b 的夹角为，此时 cos=baba =21. 0, =3. 故 a2 b 的最小

36、值为21，此时向量a 与 b 的夹角为3. 一、填空题1. 点 o是三角形 abc所在平面内的一点，满足oa2ob=ob2oc=oc2oa，则点 o是 abc的心. 答案垂2. 若向量 a, b 满足| a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为 60, 则 a2 b+b2 b 的值为 . 答案 5 3. 已知向量 a, b 满足 | a|=1,| b|=4, 且 a2 b=2,则 a 与 b 的夹角为 . 答案34. 若 a 与 b- c 都是非零向量，则“a2 b=a2 c”是“ a（ b- c） ”的条件 . 答案充要5. 已知 a，b 是非零向量，且满足（a-2 b） a， （b-2

37、a） b，则 a 与 b 的夹角是 . 答案36. （20092成化高级中学高三期中）已知 3a+4b+5c=0, 且| a|=| b|=| c|=1, 则 a2 ( b+c)= . 答案537. （20082天津理，14）如图所示，在平行四边形abcd 中，ac=（1，2） ，bd=（-3 ，2） ，则ad2ac= . 答案 3 8. （20082江西理， 13）直角坐标平面内三点a（1，2） 、b（3，-2 ） 、c（9，7） ，若 e、f为线段 bc的三等分点，则ae2af= . 答案 22 二、解答题9. 已知平面上三个向量a、b、c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为120. (1

38、) 求证：（a- b） c; (2) 若| ka+b+c| 1 ( kr)，求 k 的取值范围 . （1）证明（a- b） 2 c=a2 c-b2 c=| a| 2 | c| 2 cos120-| b| 2 | c| 2 cos120=0, （ a- b） c. （2）解 |ka+b+c| 1| ka+b+c|21, k2a2+b2+c2+2ka2 b+2ka2 c+2b2 c1. | a|=| b|=| c|=1 ，且 a、b、c 的夹角均为120, a2=b2=c2=1，a2 b=b2 c=a2 c=-21，k2+1-2 k1, 即 k2-2 k0, k2 或 k0. 10. 已知 a=3

39、2cos,32sin,34cos,34sinb, 且30,. （1）求baba的最值；（2）若 | ka+b|=3| a- kb| (kr), 求 k 的取值范围 . 解 （1）a2 b=-sin342 sin32+cos342 cos32=cos2，| a+b|2=| a|2+| b|2+2a2 b=2+2cos2=4cos2. 3,0， cos1 ,21， | a+b|=2cos. baba= cos22cos=cos-cos21. 令 t=cos, 则21t1,tt21=1+221t0, t -t21在 t121，上为增函数 . -21t -t2121，即所求式子的最大值为21，最小值为

40、 -21. （2）由题设可得 | ka+b|2=3| a- kb|2, ( ka+b)2=3(a- kb)2又| a|=| b|=1, a2 b=cos2， cos2=kk412. 由30 ,，得-21cos21. -21kk4121. 解得 k 2-3， 2+3-1. 11. 设 n 和 m是两个单位向量，其夹角是60，求向量 a=2m +n 与 b=2n-3 m的夹角 . 解由| m |=1 ，| n|=1 ，夹角为 60，得 m 2 n=21. 则有 | a|=|2 m +n|=2)2(nm=2244nnmm=7. | b|=2)32(mn=229124mnmn=7. 而 a2 b=（2

41、m +n） 2（2n-3m ）=m 2 n-6 m2+2n2=-27，设 a 与 b 的夹角为，则 cos=baba=727=-21. 故 a，b 夹角为 120. 12. 已知向量 a=222323xsin，xcos,xsin，xcosb, x20，. 若函数 f (x)= a2b-21| a+b| 的最小值为 -23，求实数的值 . 解| a|=1 ，| b|=1 ，x20，a2 b=cos23xcos2x-sin23 xsin2x=cos2x，| a+b|=2)(ba=222bbaa=x2cos22=2xcos=2cosx. f （x）=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1

42、=224cos x -82-1 ，cosx 0，1. 当0 时，取 cosx=0,此时 f ( x) 取得最小值，并且 f ( x)min=-1 -23,不合题意 . 当 04 时，取 cos x=4, 此时 f ( x）取得最小值，并且 f ( x)min=-82-1=-23, 解得=2. 当4 时，取 cosx=1,此时 f ( x) 取得最小值，并且 f ( x)min=1-=-23, 解得=25, 不符合4 舍去 , =2. 5.4 正弦定理和余弦定理1. （20082陕西理，3）abc的内角 a 、 b、c的对边分别为a、b、c，若 c=2，b=6，b=120, 则a= . 答案22

43、. （20082福建理，10）在abc中, 角 a、b 、c的对边分别为a、b、c，若（ a2+c2- b2）tan b=3ac，则角 b的值为 . 答案3或323. 下列判断中不正确的结论的序号是 . abc 中， a=7，b=14，a =30, 有两解 abc 中， a=30, b=25, a=150，有一解 abc 中， a=6,b=9，a=45，有两解 abc 中， b=9,c=10, b=60,无解答案4. 在 abc 中， a=60， ab=5，bc =7，则 abc的面积为 . 答案 1035. （20082浙江理，13）在 abc中，角a、b、c 所对的边分别为a、b、c. 若

44、（3b- c）cosa=acos c ，则cosa= . 答案33例 1 在abc中，已知 a=3, b=2, b=45, 求 a、c 和 c. 解b=45 90且 asin b ba, abc有两解 . 由正弦定理得sin a=bba sin=245sin3=23, 则 a为 60或 120. 当 a =60时， c=180-( a+b)=75 , c=bcbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226. 当 a =120时， c=180-( a +b)=15 , c=bcbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226. 故在

45、abc 中， a=60, c =75, c=226或a=120, c=15,c=226. 例 2在abc中， a、b、c 分别是角 a，b，c的对边，且cbcoscos=-cab2. （1）求角 b 的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求 abc的面积 . 解（1）由余弦定理知：cosb=acbca2222，cosc=abcba2222. 将上式代入cbcoscos=-cab2得: acbca222222222cbaab=-cab2整理得 :a2+c2- b2=- accosb=acbca2222=acac2 =-21b为三角形的内角，b=32. （2）将 b=13, a+c=4, b=3

46、2代入b2=a2+c2-2 accosb, 得 b2=(a+c)2-2ac-2accosbb2=16-2 ac211, ac=3. s abc=21acsin b=433. 例 3（14 分） abc中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，且 b2+c2- a2+bc=0. （1）求角 a 的大小；（2）若 a=3，求 bc 的最大值；（3）求cbca)30sin(的值 . 解（1）cosa=bcacb2222=bcbc2=-21, 2分又 a（ 0， 180） ， a=120. 4分（2）由 a=3, 得 b2+c2=3-bc, 又 b2+c22bc（当且仅当c=b 时取等号），3- b

47、c2bc( 当且仅当 c=b 时取等号） . 6分即当且仅当c=b=1 时， bc 取得最大值为1. 8分（3）由正弦定理得：ccbbaasinsinsin2r, crbrcarcbcasin2sin2)30sin(sin2)30sin(10 分=cbcasinsin)30sin(sin 11分=ccccsin)60sin()sin23cos21(23 12分=ccccsin23cos23)sin43cos43 13分=21. 14分例 4在abc中， a、b、c 分别表示三个内角a、b、c的对边，如果（ a2+b2）sin （a - b）= （a2- b2）sin （a+b） ，判断三角形的

48、形状. 解方法一已知等式可化为a2sin （a - b）-sin （a+b） =b2-sin （a+b）-sin(a-b) 2a2cosasin b=2b2cosbsin a由正弦定理可知上式可化为：sin2acosasin b=sin2bcosbsin asin asin b(sin a cos a-sin bcosb)=0 sin2 a =sin2 b, 由 02a ,2 b2得 2a =2b或 2a =-2 b , 即 a=b 或 a=2- b, abc为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a2cosasin b=2b2sin acosb由正、余弦定理 , 可得a2bbcacb222

49、2= b2aacbca2222a2(b2+c2- a2)= b2( a2+c2-b2) 即( a2- b2)( a2+b2- c2)=0 a=b 或 a2+b2=c2 abc为等腰或直角三角形. 1. （1） abc中， a=8, b =60, c=75, 求 b; (2) abc中， b=30,b=4,c=8,求 c、a 、a. 解 （1）由正弦定理得bbaasinsin. b=60,c=75, a=45, b=45sin60sin8sinsinaba=46. (2) 由正弦定理得sin c =430sin8sinbbc=1. 又 30 c150, c=90. a=180-( b+c)=60

50、 , a=22bc=43. 2. 已知 abc中，三个内角a，b，c 的对边分别为a, b, c, 若 abc的面积为s，且 2s=（a+b）2- c2，求 tan c的值 . 解依题意得 absin c=a2+b2- c2+2ab, 由余弦定理知 ,a2+b2- c2=2abcos c . 所以 ,absin c=2ab(1+cos c), 即 sin c=2+2cosc, 所以 2sin2ccos2c =4cos22c化简得： tan2c=2. 从而 tan c=2tan12tan22cc=-34. 3. （20082辽宁理，17）在abc中，内角 a、b、c对边的边长分别是a、b、c.

51、已知 c=2,c=3. （1）若 abc的面积等于3，求 a、b 的值；（2）若 sin c+sin( b- a)=2sin2 a, 求 abc的面积 . 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2- ab=4. 又因为 abc 的面积等于3，所以21absin c=3，所以 ab=4. 联立方程组,4,422ababba解得22ba. （2）由题意得sin( b+a )+sin(b- a)=4sin acosa, 即 sin bcosa=2sin acosa, 当 cosa=0 时，a=2，b=6，a=334，b=332. 当 cosa0 时，得 sin b=2sin a,由正弦定理得b=

52、2a, 联立方程组,2,422ababba解得.334332b，a所以 abc的面积 s=21absin c=332. 4. 已知 abc的三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等差数列，且2cos2b-8cos b+5=0, 求角 b的大小并判断 abc的形状 . 解方法一2cos2b-8cos b+5=0, 2(2cos2b-1)-8cos b+5=0. 4cos2b -8cos b+3=0, 即(2cos b-1)(2cos b-3)=0. 解得 cosb=21或 cosb=23（舍去） . cosb=21. 0b,b=3. a，b，c 成等差数列， a+c=2b.

53、 cosb=acbca2222=accaca2)2(222=21，化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c. 又 b =3， abc是等边三角形 . 方法二2cos2b-8cos b+5=0，2（2cos2b-1）-8cos b+5=0. 4cos2b -8cos b+3=0，即(2cos b-1)(2cos b-3)=0. 解得 cosb=21或 cosb=23（舍去） . cosb=21, 0b,b=3, a, b, c 成等差数列，a+c=2b. 由正弦定理得sin a+sin c=2sin b =2sin3=3. sin a+sina32=3，sin a+sinacos32-cos

54、asin32=3. 化简得23sin a+23cosa=3, sin6a =1. a+6=2, a=3, c=3, abc为等边三角形 . 一、填空题1. 在 abc 中，若 2cosbsin a=sin c, 则 abc一定是三角形 . 答案等腰2. 在 abc 中， a=120,ab=5, bc =7，则cbsinsin的值为 . 答案533. 已知 abc的三边长分别为a, b, c, 且面积 s abc=41（b2+c2- a2） ，则 a= . 答案454. 在 abc 中， bc =2，b=3，若 abc的面积为23，则 tan c为 . 答案335. 在 abc 中， a2- c

55、2+b2=ab, 则 c= . 答案 60 6. abc中，若 a4+b4+c4=2c2( a2+b2), 则 c= . 答案 45 或 1357. 在 abc 中，角 a，b，c所对的边分别为a,b, c，若 a=1,b=7, c=3, 则 b= . 答案658. 某人向正东方向走了x 千米，他右转150，然后朝新方向走了3 千米，结果他离出发点恰好3千米，那么 x 的值是 . 答案3或 23二、解答题9. 在 abc 中，角 a，b，c所对的边分别为a,b, c，并且 a2=b( b+c). （1）求证： a=2b；（2）若 a=3b, 判断 abc的形状 . （1）证明因为 a2=b(b

56、+c)，即 a2=b2+bc, 所以在 abc 中，由余弦定理可得, cosb=acbca2222=acbcc22=acb2=aba22=ba2=basin2sin, 所以 sin a=sin2 b,故 a=2b. （2）解因为 a=3b, 所以ba=3, 由 a2=b( b+c) 可得 c=2b, cosb=acbca2222=22223443bbbb=23, 所以 b=30,a=2b =60, c=90. 所以 abc为直角三角形 . 10. （20082全国理，17）在 abc中， cosb=-135，cos c =54. （1）求 sin a的值；（2） abc的面积 sabc=233

57、，求 bc的长 . 解 (1)由 cosb=-135, 得 sin b=1312, 由 cosc=54, 得 sin c=53. 所以 sin a=sin( b+c)=sin bcosc+cosb sin c =6533. (2) 由 s abc=233, 得213 ab3 ac 3 sin a =233. 由(1) 知 sin a =6533,故 ab3 ac =65. 又 ac =cbabsinsin=1320ab , 故1320ab2=65, ab =213. 所以 bc =caabsinsin=211. 11. 已知 a、b、c 是 abc的三边长， 关于 x 的方程 ax2-222b

58、c x - b=0 ( acb) 的两根之差的平方等于4，abc的面积 s =103，c=7. （1）求角 c；（2）求 a，b 的值 . 解 （1）设 x1、x2为方程 ax2-222bcx- b=0 的两根，则 x1+x2=abc222，x12 x2=-ab. ( x1- x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=222)(4abc+ab4=4. a2+b2- c2=ab. 又 cos c =abcba2222=abab2=21, 又 c(0 ,180 ), c=60. (2) 由 s =21absin c=103， ab=40. 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosc, 即 c2=(

59、a+b)2-2 ab(1+cos60 ). 72=( a+b)2-2 3 403211. a+b=13. 又ab由，得a=8, b=5. 12. （20082广东五校联考）在 abc中，角a、b、c 的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22ba-cos2 c=27. (1) 求角 c 的大小；（2）求 abc的面积 . 解 （1） a+b +c=180, 由 4sin22ba-cos2 c=27, 得 4cos22c-cos2 c=27, 422cos1c-(2cos2c-1)=27, 整理 ,得 4cos2c -4cos c+1=0, 解得 cosc=21, 0 c18

60、0, c=60. (2) 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosc, 即 7=a2+b2- ab, 7=( a+b)2-3ab，由条件 a+b=5, 得 7=25-3 ab, ab=6, sabc=21absin c =213 6323=233. 5.5 正弦定理、余弦定理的应用1. 在某次测量中，在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60, c点的俯角为70，则 bac = . 答案 130 2. 从 a处望 b处的仰角为，从 b处望 a处的俯角为，则、的大小关系为 . 答案=3. 在 abc 中，若 ( a+b+c)( a+b- c)=3ab, 且 sin c=2sin acosb,则