人教版初中数学培优系列八年级下册之第16章二次根式题目和详解(40题)（精编版）

1、第1页（共 28页）人教版初中数学培优系列八年级下册之第 16 章 二次根式题目和详解（ 40 题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。2、本资料仅供优生（百分制下得分80 分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍 资料方能理解其中真谛和得到能力提升。3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容

2、也适用于其它版本的教材的对应章节。4、编者简介 :杨小云，男， 1998 年任教至今。初中一线数学和物理教师，同时一直担任班主任，有丰富的教学经验和教学资源。编有人教版初中数学培优系列和人教版初中物理培优系列 ，值得你收藏并推荐给好友。一选择题（共15 小题）1实数 a、b 在数轴上的位置如图：则化简| ab|+的结果是（）a2ab bb cb d2a+b2若 ab0，则代数式可化简为（）aabacada3若 m0，n0，把代数式 m中的 m 移进根号内结果是（）abcd|4化简的正确结果是（）a （m5）b （5m）cm5d5m5若 m=1，则 m 的取值范围是（）am1 bm1 cm1 d

3、m1第2页（共 28页）6若 0a1，则代数式的值为（）a2 b2 c4 d47如图，数轴上 a、b 两点表示的数分别为1 和，点 b 关于点 a 的对称点为点c ，则点 c所表示的数是（）a1 b1c2d28已知，则=（）abycydy9如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）a5 b1 c13 d194k10若实数 m 满足| m4| =| m3|+ 1，那么下列四个式子中与 （m4）相等的是（）abcd11已知 a 为实数，则代数式的最小值为（）a0 b3 cd912若 0a1，则化简的结果是（）a2a b2a cd13设等式在实数范围内成立，其中a、x、y 是两两不同

4、的实数，则的值是（）a3 bc2 d14计算的值为（）abcd15+ +的整数部分是（）第3页（共 28页）a3 b5 c9 d6二解答题（共25 小题）16的小数部分为 a，的整数部分为 b，则（ a+b）b2的值是多少 .17已知abc的三边 a、b、c 满足 a2+b+=10a+222，求abc的形状18先化简，再求值：（+），其中 x=2+，y=219化简下列二次根式：（1）若 ab=51，ab=，求代数式（ a+1） （b1）的值（2）已知实数 a 满足| 1992a|+=a，求 a19922的值20 （1）已知 a=2+，b=2，求代数式 a2bab2的值（2）当 a=1 时，求的

5、值21已知 a 是的小数部分，求的值22已知a，b，c 为一个三角形的三边长，化简+| bca|+23化简（1）m3 时， （2）3m2 时， （3）m2 时24根据如图所示的2 个直角三角形，化简代数式：| mn| | m1| 25先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n 的值解：因为与可以合并所以即第4页（共 28页）解得问：（1）以上解是否正确？答（2）若以上解法不正确，请给出正确解法26自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“ 求二次根式中实数 a 的取值范围 ” ，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“” ，而是“” ，刘敏说

6、：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a 和 a3 都在根号内试问：刘敏说得对吗？就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？27阅读下列材料：=+=根据上面的解题方法化简：28阅读下面的材料，并解答问题：=1，=，=，第5页（共 28页）=（1）若 n 为正整数，用含n 的等式表示你探索的规律；（2）利用你探索的规律计算：+ +29如果记 y=f（x） ，则 f（）表示当 x=时，y 的值，即 f（）=；f（）表示当 x=时，y 的值，即 f（）=求 f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+ +f（）+f（）的值30观察下列各式及其验证过程：2=；3=?；4=； 第、的验证：2；3?（1）根据上

7、面的结论和验证过程，猜想5的结果并写出验证过程；（2）根据对上述各式规律，直接写出第n 个等式（不要验证）31在进行二次根式化简时， 我们有时会碰上如一样的式子， 其实我 们 还 可 以 将 其 进 一 步 化 简 ：，还 可 以 用 一 下 方 法 化 简 ：=（四）以上这种化简的方法叫做分母有理化（1）请化简=（2）若 a 是的小数部分则=（3）矩形的面积为 3+1，一边长为2，则它的周长为第6页（共 28页）（4）化简+ +32若实数 x，y 满足（ x） （y）=2016（1）求 x，y 之间的数量关系；（2）求 3x22y2+3x3y2017 的值33计算：34阅读下面的解答过程，然

8、后作答：有这样一类题目： 将化简，若你能找到两个数m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=，则 a+2可变为 m2+n2+2mn，即变成（ m+n）2，从而使得化简例如： 5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2=+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）35开放创新：一只乌鸦想喝到瓶子里的水， 可是瓶子很高， 口又小，里面的水也不多，怎么办？它把旁边的小石子一个又一个地衔起来，放到瓶子里，水面慢慢升高了，乌鸦喝到了水这个故事同学们一定都知道，但对我们解数学题的有益启示却未必知道如果题目所提供的信息少，难以入手，或按常规方法来解比较繁难，这时我们不妨向乌鸦学习，借些“ 石子” 来帮我们

9、解题请看下面的例题：化简：解析：此题对我们来说难度很大，好象无能为力，其实化简此式，可借方程为“ 石子” ，设=x因为0，将两边平方，得，即x2=2所以原式 =在平时的学习中你是否用到过此方法来解决数学中的问题呢？请举一例36小明在解决问题：已知a=，求 2a28a+1 的值，他是这样分析与解答的：第7页（共 28页）a=2，a2=，（a2）2=3，a24a+4=3a24a=12a28a+1=2（a24a）+1=2（1）+1=1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求 4a28a3 的值37观察下列各式：=1+=1；=1+=1 ；=1+=1，请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题猜

10、想：=；归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n 为正整数）表示的等式：；应用：计算38小明在解决问题：已知a=，求 2a28a+1 的值他是这样分析与解的：a=2，a2=，（ a2）2=3，a24a+4=3a24a=1，2a28a+1=2（a24a）+1=2（ 1）+1=1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+ +（2）若 a=，求下面式的值 2a28a+1；2a25a+239阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，一样的式子 其实我们还可以将其进一步化简：第8页（共 28页）=： （一）=： （二）=： （三）以上这种化简的步骤叫做分母

11、有理化还可以用以下方法化简：= （四）请解答下列问题：（1）请用不同的方法化简参照（三）式得=；参照（四）式得=；（2）化简：+； （保留过程）（3）猜想：+ +的值 （直接写出结论）40斐波那契（约 11701250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n 为正整数）个数 an可表示为 （）n（）n （1）计算第一个数 a1；（2）计算第二个数 a2；（3）证明连续三个数之间an1，an，an+1存在以下关系： an+1an=an1（n2） ；（4）写出斐波那契数列中的前8 个数第9页（共 28页）人教版初中数学培优系列八年

12、级下册之第 16 章 二次根式题目和详解（ 40 题）参考答案与试题解析一选择题（共15 小题）1【分析】 根据图示，可得： b0a，据此求出化简 | ab|+的结果是多少即可【解答】 解：根据图示，可得： b0a，| ab|+=ab+a=2ab故选： a【点评】 此题主要考查了在数轴上表示数的方法，绝对值、算术平方根的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握2【分析】 二次根式有意义，就隐含条件b0，由 ab0，先判断出 a、b 的符号，再进行化简即可【解答】 解：若 ab0，且代数式有意义；故由 b0，a0；则代数式=| a|=a故选： c

13、【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当 a0 时，=a； 当 a0 时，=a；当 a=0时，=03【分析】 根据二次根式的性质解答第10页（共 28页）【解答】 解： m0，m=故选： c【点评】 将根号外的 a 移到根号内，要注意自身的符号，只有正数平方后可以移到根号里面作因数，是负数的把负号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号4【分析】 先求出 m 的取值范围再把二次根式进行化简即可【解答】 解：有意义，5m0，即 m5，原式 =（5m）故选： b【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键5【分析】把式子化为=m1，再根据二次根式的性质得

14、出m10，求出即可【解答】 解： m=1，=m1，m10，m1，故选： c【点评】本题考查了二次根式的性质的应用， 注意：当 a0 时，=a， 当 a0 时，=a6【分析】 根据 a+=6，0a1，判断出0，再把要求的式子进行配方，即可第11页（共 28页）求出答案【解答】 解： a+=6，0a1，0，则（）2=a2=62=4，=2；故选： b【点评】此题考查了二次根式的化简求值，关键是根据已知条件判断出0，从而得出正确答案7【分析】 首先根据已知条件可以确定线段ab的长度，然后根据点b、点 c关于点 a 对称即可确定点 c所表示的数【解答】 解：设点 c所表示的数为 x，数轴上 a、b两点表

15、示的数分别为1 和，ab=1 +，根据题意，得x+=21，解得 x=2故选： c【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键8【分析】 因为，所以 x0；可得中，y0，根据二次根式的定义解答即可【解答】 解：，x0，又成立，第12页（共 28页）则 y0，则=y故选： b【点评】 此题根据二次根式的性质，确定x、y 的符号是解题的关键9【分析】首先根据三角形的三边关系确定k 的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答【解答】 解：一个三角形的三边长分别为1，k，3，2k4，又4k236k+81=（2k9）2，2k90，2k30，原式

16、 =7（92k）（ 2k3）=1故选： b【点评】本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键10【分析】根据等式可确定m 的取值：m3，则 m40，m30，可知 m4 是负数，化简时，负号留下，所以结果为负数【解答】 解：由 | m4| =| m3|+ 1 得，m3，m40，m30，（m4）=故选： d【点评】 考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定m 的取值 m311【分析】 把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值第13页（共 28页）【解答】 解：原式 =当（ a3）2=0，即 a=3时代数式的值最小，为即 3故选： b【点评】

17、 用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握12【分析】 首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a 的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简【解答】 解：（ a）2+4=a2+2+=（a+）2， （a+）24=a22+=（a）2，原式 =+；0a1，a+0，a=0；原式 =+=a+（a）=，故选 d【点评】 能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键13【分析】 根据根号下的数要是非负数，得到a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，推出 a0，a0，得到 a=0，代入即可求出y=x，把 y=x 代入原式即可求出答案【解答

18、】 解：由于根号下的数要是非负数，a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，a（xa）0 和 xa0 可以得到 a0，第14页（共 28页）a（ya）0 和 ay0 可以得到 a0，所以 a 只能等于 0，代入等式得=0，所以有 x=y，即：y=x，由于 x，y，a 是两两不同的实数，x0，y0将 x=y 代入原式得：原式=故选： b【点评】 本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键14【分析】 需将被开方数变形为完全平方式，完成化简后再进行计算【解答】 解：原式 =+=2

19、=3故选 a【点评】 主要考查了二次根式的化简将被开方数变形为完全平方式，是解题的关键15【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消规律【解答】解：原式=+ +=+ +=+ +=+ +第15页（共 28页）=1=1+10=9故选 c【点评】 关于分母中有二次根式的加减法，在解答时，要先分母有理化后，再找抵消规律，这样可以降低难度二解答题（共25 小题）16【分析】 先利用 “ 夹逼法 ” 求出与的范围，得出 a=1，b=2，再代入（ a+b）b2，计算求出即可【解答】 解： 12，23，a=1，b=2，（a+b）b2=（1+2）22=（+1）4

20、=4+4故答案为： 4+4【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的运算，解此题的关键是求出a、b 的值，题目具有一定的代表性，难度也适中17【分析】 由于 a2+b+|2| =10a+2，等式可以变形为a210a+25+b42+1+|2| =0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解【解答】 解： a2+b+|2| =10a+2，a210a+25+b42+1+|2| =0，即（a5）2+（1）2+|2| =0，根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得 a=5，b=5，c=5故该三角形是等边三角形故答案为：等边三角形第16页（共 28页）【点评】 本题主要考查了非负

21、数的性质，难度适中，解题时利用了：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0注意此题中的变形要充分运用完全平方公式18【分析】 先利用完全平方公式、分母有理化和把除法运算化为乘法运算得到原式=+ ?，约分后通分得到原式 =（+）?，再进行约分得到原式 =，接着分别计算出xy=2，xy=1，然后利用整体代入的方法计算【解答】 解：原式 =+ ?=（+）?=（+）?=，x=2+，y=2，xy=2，xy=1，原式 =【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰19【分析

22、】 （1）先利用多项式乘法把（ a+1） （b1）展开，整理得到ab（ab）1，然后利用整体代入的方法计算；（2）先根据二次根式有意义的条件得到a1993，再把已知条件去绝对值得到a1992+=a，则=1992，然后两边平方即可得到 ?a19922的值第17页（共 28页）【解答】 解： （1） （a+1） （b1）=aba+b1=ab（ab）1，ab=51，ab=，原式 =（51）1=5+11=4；（2）a19930，即 a1993，a1992+=a，=1992，a1993=19922，a19922=1993【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次

23、根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰20【分析】 （1）先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；（2）先化简二次根式，然后代入求值【解答】 解： （1）a2bab2=ab（ab）=（2+） （2） （2+2+）= 22（）2 2=（43）2=2；（2）=| a1| | 1+2a|=|11| | 1+22|=22+1第18页（共 28页）=33【点评】本题考查了二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值21【分析】 应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果【解答】 解：的整数部分是 1，a=1，

24、则=| a|a=1，a0原式 =a=（1）=2【点评】 本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时，=a；a0 时，=a；a=0 时，=022【分析】 根据三角形的三边关系定理得到a+bc，a+cb，b+ca，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简、合并同类项即可【解答】 解： a，b，c 为一个三角形的三边长，a+bc，a+cb，b+ca，+| bca|+=a+b+c+a+bcac+b+b+ca=4b【点评】 本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质=| a| 、三角形的三边关系定理是解题的关键23【分析】 可先利用二次根式的性质把所给代数式化为|m2|+| m+3| ，再分别根据所

25、给的 m 的取值范围去掉绝对值号进行合并即可第19页（共 28页）【解答】 解：=+=| m2|+| m+3| ，（1）当 m3 时，则 m20，m+30，原式 =（m2）（ m+3）=m+2m3=2m1；（2）当 3m2 时，则 m20，m+30，原式 =（m2）+（m+3）=m+2+m+3=5；（3）当 m2 时，则 m20，m+30，原式 =m2+m+3=2m+1【点评】本题主要考查二次函数的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，即=| a| 24【分析】 根据直角三角形的斜边比直角边大得出m3，n2，再根据绝对值和二次根式的性质得出 mn（2n）（ m1） ，去掉括号合并即可【解

26、答】 解：根据两个直角三角形可知：m3，n2，则 mn，所以| mn| | m1|=mn（2n）（ m1）=mn2+nm+1=1【点评】 本题考查了绝对值，直角三角形的性质，二次根式的性质的应用，解此题的关键是能推出原式 =mn（ 2n）（ m1） ，难度不是很大25【分析】 （1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论（2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同【解答】 解： （1）不正确；（2）与可以合并，第20页（共 28页）或，解得或故答案为：不正确【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根

27、式26【分析】 本题需注意的是，被开方数为非负数，按计算，则 a 和 a3 可为同号的两个数，即同为正，或同为负；而按计算，只有同为正的情况【解答】 解：刘敏说得不对，结果不一样按计算，则 a0，a30 或 a0，a30解之得， a3 或 a0；而按计算，则只有 a0，a30解之得， a3【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为 0，是本题确定取值范围的主要依据27【分析】 根据材料将被开方数变形为两个数的和的平方的形式然后开方即可【解答】 解：=；=【点评】本题主要考查的是二次根式的化简、完全平方公式的应用，将被开方数变形为完全平方的形式是解题的关键28第21页（共 28页）【分析】 （

28、1）根据条件可得规律：=；（2）利用探索的规律，先将每一项写成两个二次根式的差的形式，再去括号、合并同类二次根式即可【解答】 解： （1）由题意可知规律为：=；（2）+ +=（1）+（）+（）+ +（）=1=【 点 评 】 本 题 考 查 了 分 母 有 理 化 ， 二 次 根 式 的 计 算 ， 根 据 条 件 得 出 规 律 ：=是解题的关键29【分析】 根据 f（x）+f（）=+=1，原式结合后，计算即可得到结果【解答】 解： f（x）+f（）=+=1，原式 =f（）+ f（）+f（）+ + f（）+f（） =+1+1 +1=99【点评】 此题考查了二次根式的化简求值，根据题意得出规律f

29、（x）+f（）=1是解本题的关键30【分析】 （1）根据已知中二次根式的化简即可得出答案（2）利用（ 1）中计算结果，即可得出二次根式的变化规律，进而得出答案即可【解答】 解： （1）5=第22页（共 28页）5=，=，=，=，=；（2）n=（n 为正整数， n2） 【点评】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出根式内外变化规律是解题关键31【分析】 （1）分子、分母同乘以最简有理化因式，化简即可；（2）由题意可得 a=1，代入分母有理化即可（3）首先求另一边长为：，化简再按矩形的周长公式解答；（4）把各加数分母有理化，再加减即可【解答】 解： （1）=，故答案为：；（2），a 是的小数部

30、分，a=1，故答案为： 3+3；第23页（共 28页）（3）另一边长为：=，周长为： 2（17+72）=30+16，故答案为： 30+16；（4）+ +=+ +=【点评】此题考查分母有理化，分母有理化是化简二次根式的一种重要方法分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法32【分析】 （1）将式子变形后，再分母有理化得式：x=y+，同理得式： x+=y，将两式相加可得结论；（2）将 x=y代入原式或式得： x2=2016，代入所求式子即可【解答】 解： （1）（ x） （y）=2016，x=y+，同理得： x+=y，+得： 2x=2y，x=y，（2）把 x=y代入得： x=x+，x2=2

31、016，则 3x22y2+3x3y2017，=3x22x2+3x3x2017，=x22017，第24页（共 28页）=20162017，=1【点评】本题是二次根式的化简和求值， 有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论33【分析】 把 9899100101+1 化为 98992，再求解即可【解答】 解：9899100101+1=98（98+1）（ 98+2）（ 98+3）+1= 98（98+3） （98+1）（ 98+2）+1=（

32、982+398） （982+398）+2+1=（982+398）2+2（982+398）+1，= （982+398）+12= 98（98+2）+98+12=（98100+99）2=98992所以=9899=4949.5【点评】本题主要考查了二次根式的化简与求值，解题的关键是把9899100101+1化为完全平方的形式34【分析】 （1）利用完全平方公式把4+2化为（ 1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可（2）利用完全平方公式把72化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可【解答】 解： （1）4+2=1+3+2=12+2=（1+）2，=1+；第25页（共 28页）（2）=【点评】本题主要考查了二次根