第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分

1、二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 3.3 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则 第三章第三章 1. 基本初等函数的导数基本初等函数的导数 )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx21

2、1x )(arctan x211x )cot(arcx211x一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则 定理定理1 如果函数如果函数u =u(x) 及及v =v(x)均在点均在点 x 可导可导，则函数则函数u =u(x) 及及v =v(x)的和、差、积、商的和、差、积、商 (除分母为除分母为 0 的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导，且，且 , )()( )()() 1 (xvxuxvxu, )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu),( )(xucxuc（c 为常数），为常数），,)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu. 0)(xv下面证明

3、（下面证明（2） 证证: 设设, )()()(xvxuxf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.),()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv注意注意: )(wvuwvuwvuwvu公式公式 (1)，(2)可以推广到可以推广到有限个有限个的情形的情形. 如如 ,)(wvuwvu例例1. 解解:xsin4, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx

4、1(21)1sin1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx证证: : .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx例例2.求证求证（八）复合函数求导法则（八）复合函数求导法则 在点在点 x 可导可导,定理定理)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导，可导， 则复合函数则复合函数 fy )

5、(xg而且而且).()(xgufyxux在点在点 x 可导可导,30)21 (xy课本课本118页例页例6 求函数求函数的导数的导数.解：解：设设,30uy ,21xu则由复合函数求导法则则由复合函数求导法则 )(30uy)21 (x292960230uu29)21 (60 x解：解：设设,sin,lnxuuy由复合函数求导法则由复合函数求导法则xysinln课本课本118页例页例7 求函数求函数的导数的导数. )(lnuy)(sinxxucos1xxxcotcossin1推广：复合函数法则推广：复合函数法则可推广到可推广到多个中间变量多个中间变量的情形的情形.例如例如,)(, )(, )(x

6、vvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构由外向内逐层求导搞清复合函数结构由外向内逐层求导.)cos(ln的导数的导数求求xey 解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee补充例题补充例题. 求下列导数求下列导数:.)()2(;)() 1 (xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2) 1, 0(,)()3(aaax)()(lnaxxeaaxeln)ln(axxaaln解解: 练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf求求可导可导其

7、中其中思考思考: 若若)(uf 存在存在 ，如何求，如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同这两个记号含义不同例例 设设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx 11212xx2112x112xx1122xxx课本习题选讲课本习题选讲 21题（题（139页）页）)1 (log2xya（8）解解 )1 (log2xyaaxxln)1 (22)lg(22axxy（21）解解 y10ln)(122axx)(22axx10ln)(122axx22211 (ax )(22ax10ln)(122ax

8、x)1 (22axx10ln)(122axx2222axxax22lgaxe )( xf定理定理2. 在在y 的某邻域内的某邻域内单调可导单调可导, 证证: 在在 x 处给增量处给增量由由反函数的单调性反函数的单调性知知 且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此,)()(1的反函数的反函数为为设设yfxxfy)(1yf0 )(1yf且且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf1111（九）反函数的求导法则（九）反函数的求导法则 )(1yf1解解: 1) 设设,arcsin xy 则则,sin

9、yx ,2,2y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用, 0cosy则则（十）反三角函数及指数函数的导数（十）反三角函数及指数函数的导数 2) 设设, )1,0(aaayx则则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,（十

10、一）隐函数导数（十一）隐函数导数 第三章第三章 若由方程若由方程0),(yxf可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ，则，则 称此函数称此函数 y 为为隐函数隐函数 .由由)(xfy 表示的函数表示的函数 ，称为称为显函数显函数 .隐函数隐函数求导方法求导方法: 确定确定 y 是是 x 的函数的函数并且可导，并且可导， 设方程设方程f(x, y)=0利用利用复合函数求导公式复合函数求导公式可以求出隐函数可以求出隐函数 y 对对x的导数的导数. 具体求法：具体求法：含有含有导数导数y解含导数解含导数 的方程得的方程得y遇到遇到 y 时利用时利用 0),(yxf对方程对方程两边关于两边关于 x

11、 求导求导，复合函数求导公式，先对复合函数求导公式，先对 y 求导，再对求导，再对 x 求导，得到求导，得到 的方程，的方程，注：注：隐函数求导的结果中可以含有隐函数求导的结果中可以含有 y . 例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)323,2(处的切线方程处的切线

12、方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx) 1, 0(aaayx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 ，化为隐函数形式化为隐函数形式（取对数法取对数法）例例3. 求求axylnln两边对两边对 x 求导求导ayyln1aaayxxln)(即即ayyln（十六）综合杂例（十六）综合杂例 例例26 xyyxarctanln22确定确定y 是是 x 的函数，求的函数，求.y解：解： xyyxarctan)ln(2122)(2122yx x2()2yy 21

13、1xyxy22yxyyx222yxx2xyxy于是得于是得 .yxyxy,2, 42121, 110,20, 1)(2xxxxxxxxxf).(xf 求求解解 )(xf,2,2121,210, 20, 1xxxxx在在2, 1, 0 x处根据处根据 3.2例例9的结果有：的结果有：),0(f , 2) 1 ( f不存在，不存在，)2(f 例例27 从而有从而有 2,2121,210, 20, 1)(xxxxxxf由此可见：导函数的定义域由此可见：导函数的定义域不超过不超过函数定义域函数定义域.课本课本128页页 例例28 已知函数已知函数 f (u)可导，求可导，求 ,)(, )(lnnaxf

14、xf,)(naxf其中其中a为常数为常数.解：解： )(lnxf)(lnxf )(lnx)(ln1xfx)(naxf)(naxf)(nax)()(1nnaxfaxn)(naxf1)(naxfn)(axf例例29 求导求导 解解)(2xfey )(2xfey )(2xf )(2xf)(2xfe)(xf 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb baxaxxbbaybalnxaxb二、高阶导数的运算法则二

15、、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 第三章第三章 3.4 高阶导数高阶导数 )(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd),dd(ddtst即即)( sa引例：引例：变速直线运动变速直线运动一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念 定义定义 若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导，则可导，则称称或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy)(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为类似地类似地 , 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数 ,(n-1)阶导数的导数称为阶导数的导数称为

16、 n 阶导数阶导数 ,依次类推依次类推 ,分别记作分别记作,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,二阶导数以及二阶导数以上二阶导数以及二阶导数以上的导数称为的导数称为高阶导数高阶导数 ,解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann233xa,2210nnxaxaxaay求求.)(ny例例1 设设依次类推依次类推 , 可得可得nnany!)(nx)1 ( 解解:! ) 1( n例例2 设设, )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,例例3 设设,sin xy 求

17、求.)(ny解解: xycos)2sin(x)2cos( xy)22sin(x)22sin(x)22cos( xy)23sin(x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证类似可证:)2nxxncos()(cos)()2n二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念一、微分的概念 3.5 函数的微分函数的微分 第三章第三章 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x

18、 , 面积为面积为 a , 则则,2xa 0 xx面积的增量为面积的增量为220)(xxxa20)(2xxxxx 020 xa xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxa02称为称为函数在函数在 的微分的微分0 x当当 x 在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其一、微分的概念一、微分的概念的的微分微分,定义定义3.3 若函数若函数)(xfy 在点在点 的的增量增量可表示为可表示为0 x)()(00 xfxxfy( a 为为不依赖于不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xa在在)

19、(xf0 x点记作记作yd,df或即即xayd定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfa且)0()(xxoxa即即xxfy)(d0在点在点0 x可微可微,证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy)( xoxa)(limlim00 xxoaxyxxa故故axf)(0)(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性

20、主部 即即xxfy)(d0在点在点 的可导的可导,0 x)0)(0时 xf则则说明说明: :0)(0 xf时时 ,xxfy)(d0),()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00当当xyxfx00lim)(11所以所以0 x时时yyd很小时很小时, 有近似公式有近似公式xyyd与与是是等价无穷小等价无穷小, 故当故当微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xtan当当 很小时很小时,xyyd时，当xy 则有则有xxfyd)(d从而从而)(ddxfxy导数也叫作导数也叫作微商微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作记作xdxyxd记记x

21、x0 xyo)(xfy 0 xyyd设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uc(c 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式的微分形式的不变性不变性. 5. 复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数vudd ucdvuuvdd 2ddvvuuv二、二、 微分运算法则微分运算法则 若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的之间的)(, )(tt可导可导, 且且,0 )(

22、)(22tt则则0)( t时，有时，有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )函数关系函数关系,（十四）由参数方程确定的函数的导数（十四）由参数方程确定的函数的导数 例例1. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxt

23、yddtxdd若上述参数方程中若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得2. 设设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , )0(y解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0yxyyey再对再对 x 求导求导, 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, 1y

24、故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y （八）复合函数求导法则（八）复合函数求导法则 在点在点 x 可导可导,定理定理)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导，可导，则复合函数则复合函数 fy )(xg而且而且)()(xgufyxux在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导,故故)(lim0ufuyu,)(uuufy（当（当 时时 )0u0故有故有)0(,)(xxuxuufxy所以，所以，,)(ufuy lim0 xxuxuuf)(xyyx0lim)()(xguf第三章课本习题选讲第三章课本习题选讲求导数求导数1 习题习题2

25、9（2）xxy)(ln)(lnxxy )(lnlnxxexxelnln)lnln(xxxxelnln xxln(lnxln1xx)(ln)1xxln(ln)ln1x2 习题习题29（3）xxeexxexexy22)()()()(22xxeexxexexy解解解解)()(ln22xxxex)ln(2ln2xxexx)1ln2(2ln2xxxxexx)1ln2(2xxxx)1ln2(12xxx)()(lnxeexxex)ln(lnxeexxex)1ln(lnxexeexxxexxexxxxex) 1ln()()()()(22xxeexxexexy)1ln2(12xxx22xexxexxxxex)

26、1ln(1xee3 习题习题29（4）,)()(xfxeefy 可导可导其中其中)(xf)()(xfxxeeefy)()()(xfeefxfxxfy1arcsinxfy1arcsinx1arcsinxf1arcsin2111x21x解解4 习题习题29（5）解解32 设设axxf 2)(，其中为，其中为a常数，求常数，求)(xf 解解axxf2)(axaxxaax,2,2)(xf, 2ln2ax, 2ln2xaax ax 当当x = a 时，时，axlimaxax12ttt12lim02lnaxlimaxxa12ttt12lim02ln所以函数在点所以函数在点x=a不可导不可导.课本课本34

27、设设1,1, 1)(2xbaxxxxf 在点在点 x =1处可导，处可导， 求求 a, b的值的值.解解 由于函数在由于函数在 x =1 连续，所以连续，所以babaxx)(lim10) 1 (f 又由于函数在点又由于函数在点 x =1处可导，所以处可导，所以10lim1xbaxx101lim21xxx2) 1(lim1xx210lim1xbaxx12)2(lim1xaxax1) 1)(2(lim1xxax. 2a, 02 a课本课本36 设函数在点设函数在点 x =a 处可导，证明：处可导，证明：)()()()(limafaafaxxfaafxaxaxxfaafxax)()(limaxafa

28、afaxfaafxax)()()()(limaxafxfaax)()(limaxafaxax)()(lim)()(afaaf证明：证明：,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分别用分别用对数微分法对数微分法求求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx补例补例1 设设补例补例2. 求求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx补例补例3 设设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxl

29、n1axaaaxaln求求.yaaxln补例补例4 求求解解: :,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构由外向内逐层求导搞清复合函数结构由外向内逐层求导. ,1111ln411arctan21222xxxy补例补例5 设设.y求求,)11ln() 11ln(411arctan21222xxxy解解: : y22)1(1121x21xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x23

30、1)2(1xxx补例补例6 设设, )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(x

31、xx!99)0(f补例补例7 设设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x补例补例9 设设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中其中)(xf可导可导, 求求.y求求.y补例补例8 设设若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的之间的)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )函数关系函数关系,（十四）由参数方程确定的函数的导数（十四）由参数方程确定的函数的导数 例例1. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy