微分几何26曲面上的测地线

1、 第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义 给定曲面s： （c）是曲面上的一曲线： 在曲线上一点 p 有： 令 ，则 是两两正交的单位向量且成右手系， 都在 p 点的法面上。),(21uurr)(suunnnrcos n, n, n 定义：曲线（c）在 p 点的曲率向量 上的投影（即在s上p点的切平面上的投影）称为曲线在 p 点的测地曲率。 在kr krkg二、性质 命题1： 222ngkkk 证明：sin)90cos()(),()

2、,()(0kkknknknknknkkkgg2222222sincoskkkkkgn于是, n注意： 都在 p 点的法面上。 测地曲率的几何意义：曲面 s上的曲线（c），它在 p 点的测地曲率绝对值等于（c）在p点的切平面上的正投影曲线 的曲率。)(*c 证明：过（c）的每一点作曲面s在p点的切平面的垂线，于是得到一柱面，这个柱面和s在p点的交线是 ，（c）和 都是柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。)(*c)(*c 取 为柱面上p点的法向量，由于柱面垂直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平行于切平面，又p在切平面上，所以柱面在p的法向量 应在切平面上，而（c）点的切向量 也在切平面上，所

3、以柱面在p的法截面就是切向量 与法向量 所确定的平面，.cosgnkkk 法截面与柱面的交线就是法截线 ，因此柱面在 方向的法曲率 由于 ，其中k为（c）在p点的曲率， 为（c）的主法向量和柱面在p点的法向量 之间的角，即)(*c),)(,*点的曲率在为pckkkkknncoskn)(*c)(c 推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还是直线，所以曲率为0。 习题3。 三、测地曲率的计算公式),(),(),(nrrnknkkg iiiiiivurdsdudsdurdsdurdsdurdsdvrdsdurr2211ndsdudsdulrdsdudsdud

4、sudrdsudrdsdudsdurdsudrdsdudsdurjijiijkkkijjjiikkkkijjjiiiiiiijjji ,2222,22)(kijkkijijnlrr)(),)( ,(),)( ,(),)(,(1,1212222,222211,22nrdsdudsdudsudrdsdunrdsdudsdudsudrdsdunndsdudsdulrdsdudsdudsudrdsdukjijiijjijiijjijiijkkkijjjiikiiig),)(),)( ,(221,12122,222211nrdsdurdsdudsdudsudnrdsdudsdudsudrdsdukjij

5、iijjijiijg),)()(21,12122,22221nrrdsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdukjijiijjijiijg)()(,12122,22221dsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdugkjijiijjijiijggfeggrrrrggrrrrnrr)(1)(1)(),(22212221212121 特别地，当曲面上的坐标网为正交网时，f=0，代入上式并整理得)(2)()(2)(2)()(23222322222dsdvegdsdvdsdueedsdvdsdueedsdvdsduggdsdvdsduggdsdugedsudds

6、dvdsvddsdugkuvuvuvg)()(,12122,22221dsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdugkjijiijjijiijg 这就是测地曲率的一般计算公式。 下面给出一个简单一点的形式。设曲线的切方向与u-线所成的角为 ，则dsdvrdsdurgrerdsrdvuvusincos,sin1,cos1gdsdvedsdudsdveeedsdueeedsdedsdveedsdueedsdedsdvdveddsdudueddsddeddsudvuvu2cos2cossin)21(cos)21(cossin)cos()cos()cos(232322egeeeed

7、sdedsudvu2cossin2cossin2222同理22222sin2cossincosggegggdsdgdsvdvu代入前面的 kg 的计算公式可得,sinln21cosln21sin2cos2ugevegdsdegggeedsdkuvg 这个公式称为刘维尔(liouville)公式。也可写为,sincosvugggkkdsdk其中 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u线和 v 线来说，分别有 ，代入测地曲率的计算公式有vuggkk,0900和.ln21ugekvg,ln21vegkug6、2 曲面上的测地线 一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率 为

8、0，则称为测地线。二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。 2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除 了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。 证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则 但 即 ，所以主法线重合于法线。 反之，若主法线重合于法线，则 ，得 所以曲线是测地线。 , 0, 0gkk或0),(,sinnkkgnn或0)0(, 00sinkkkg 推论：如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，则它也是另一个曲面的测地线。证明：因为这两个曲面沿曲线相切，所以曲面沿曲线的法线 重合，又此曲线的主法线只有一条，所以此曲线的主法 线同时与两个曲

9、面沿此曲线的法线重合，由命题知推论成立。例：球面上的大园一定是测地线，因为大园的主法线 重合于 法线。三、测地线的方程 设（c）为测地线，则它的主法线重合于法线，即但, n00, 0,)2 , 1(,lllllrrrkrrirn 0)(,22ljijiijlkkkijjjiiklrndsdudsdulrrdsdudsdudsudrr 0)(,22kkijjjiikkldsdudsdudsudg 又 g = det(gkl) 不为0，于是得到测地线方程为2 , 1,0,22kdsdudsdudsudjijikijk 特别地，当坐标曲线正交时，由刘维尔公式也得到曲面上测地线的微分方程为, 0sin

10、ln21cosln21ugevegdsd,sin1,cos1gdsdvedsdu 若给出了初始条件： 则有唯一解000000)(,)(,)(svsvusu).(),(),(ssvvsuu例题1，2。四、定理：过曲面上任一点，给定曲面上一个切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。证明：设测地线方程为2 , 1,0,22kdsdudsdudsudjijikijk 满足上述方程的曲线都是测地线，给出了初始条件：s=s0 ，即一个点 和一个切方向由常微分方程理论，方程组有唯一解，即存在唯一一条测地线 （c）：过已知点并切于定方向。)(),(0201susu)( ,)(00dsdudsdukk2 , 1

11、,)(ksuukk6.3 曲面上的半测地坐网一、定义：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是 这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。 极坐标网是它的特例。二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标 网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（c）上的每一点，沿着（c），在切平面上对应于垂直于（c）的方向，存在唯一条测地线 ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且 的正交轨线族中包含了（c）。)(*c)(*c三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网， 有

12、 ，我们现在证明这个结论。222gdvduds首先，由于半测地坐标网是正交的，所以 f=0 ，222gdveduds0,2222dsdudsdudsudjijiij0,2dsdudsdujijiij半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为 u 线，dv =0,即 ， 它满足测地线微分方程常数2u, 02dsdu011211dsdudsdu但, 01dsdu0211由p165，当坐标曲线正交时，即 e 与 v 无关，只与 u 有关，可设, 02211vvege, 0)(ue在曲面上引进新参数 从而第一基本形式变为,)(,duuudu使得.),(2222dvvugudgdveduds6.4

13、曲面上测地线的短程性 定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点 p 、q 则过这两点 在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线。 证明：设（c）是曲面上连结 p，q 的一条测地线，在曲面上选 取半测地坐标网，使曲面上包含（c）在内的一测地线族为u-线， 它的正交轨线为v-线，于是曲面的第一基本形式为 不妨设曲线（c）的方程为 v=0 ，p和q的坐标分别为(u1,0).(u2,0)(u1u2) ，于是沿测地线（c）由p到q的弧长为又在这个小邻域内连结p和q的任意曲线 的方程为 v = v(u) ，于是沿 ，从 p到q的弧长为 222gdvduds,)(12)(uupqsc)(

14、c)(c duggdvdudsgdvdudsdudv22222212121.1122)(uuuucuududuvgs 只有当 时，上式等号才成立，但此时 v 为常数，即为u-线，而且是过p，q 的u-线，即（c），表示此时 重合，所以（c）是连结 p，q的最短线。0 v)(c（c） 由这个定理，我们又称测地线为短程线。注意：定理若不是限制在一个小邻域内则不一定成立。如球面上的大园是测地线，所以球面上不是直径两端的两点，连结它们的大园弧有两段，显然长的不是连结它们两点的最短线，而短的是。6.5 高斯-崩涅 (gauss-bonnet)公式 在平面上，三角形的内角和等于180度，但在曲面上的情形可

15、能不大一样，如图：这一节就是把平面上的结果推广到曲面上去。 在曲面s上给出了一个由k条光滑曲线段所围成的曲线多边形，它围成了一个单连通的曲面域g。多边形的边缘记为 。g 设曲面的高斯曲率和测地曲第分别为 k,kg ，曲面的面积元素和弧长元素为 ，则的下面的高斯-崩涅公式成立。dsd ,2)(1kiigggdskkd其中 是 的第 i 个内角的角度， 是外角的角度。iig 引理：若在曲面上引进半测地坐标网，有 则222gdvdudsdvgdudvgddskug)arctan(证明：由于坐标网正交，f=0，由刘维尔公式,sinln21cosln21ugevegdsdkg,sin121dsggdds

16、kugdudvgdvgdsgdsdvdudsedsdutan,sinsin1coscoscos1又。，dudvg代入即得结论 arctan定理证明： 在曲面上引进半测地坐网并由引理得dvgdudvgddskug)arctan(两边沿边缘积分(*)arctan()(gguggdudvgddvgdsk对第二个积分用格林公式dudvvpuqdvvuqduvupgg),(),(令gguuuududvgdvggqp)()(,)(, 0又面积元素并由第五节习题6（5）（p144）知dudvgdudvfegd2gkgggkuuuu)(因此第二个积分为ggguuukddudvgdvg)()( 对于（*）式中的

17、第三个积分，可设 的切向量 和u-线所成的角为 ，且由于 ，所以为单位向量， g1uurre dudvgdsdvgdsdvgdsdugdvdudsdsdudsfdvedudsdvrdurrdsdrrrdsduvuuuutan1cos1sin1cos2222222 其中正负号的产生是由沿边界积分时有两种不同的方向，如果我们采用逆时针方向时，可只取正号，即dudvgdudvgarctantan 这时第三个积分变为（*）式变为ggddudvgd)arctan(ggggddkdsk 当 绕转一周后， 的增量是 ，即边界曲线的切向量转过了 ，它等于 （即分段曲线所转过的角之和）加上所有外角。即g22gd

18、2)()()(21kgdkiigd1)(2于是（*）式变成了2)(1kiigggdkdsk2dkdskggg 推论1：如果 为一条光滑的曲线，则外角为0，有g,)()(32)()()(2321321skdg其中 表示三角形的内角和。321)(s故当0)(00000skdkg 特别地，当曲面为平面，k=0 ，多边形的边界为直线（平面上的测地线）所组成时，得到平面上的多边形的外角和公式为kii12)(推论2：如果 是一个测地三角形，即三条边由三条测地线组成 的三角形，则有g 对于平面上的三角形有即三角形内角和为,2)()()(321.)(321s6.6 曲面上向量的平行移动 在前面我们看到曲面上的

19、测地线相当于平面上的直线，这里简单对比一下： 平面直线1）曲率为0；2）两点间最短距离是直线段；3）给定一个方向和一点决定一条直线； 曲面上的测地线1）测地曲率为0；2）两点间（小范围）最短距离是测地线； 3）给定一个方向和一点决定一条测地线； 但直线还有一个性质就是直线上任一点处的切向量都是平行的，这个性质是否也可以推广到测地线上去呢？另一个问题是，欧氏空间中的平移具有两条基本的性质：保持线性关系和保持内积，我们希望曲面上的平移至少保持两个性质。这一节就讨论这个问题。一、曲面上的向量及平行移动1 、曲面上的向量：曲面上给定点处切于该曲面的向量，也就 是给定点的切平面上的向量。2 、绝对微分及

20、勒维-基维塔平移 设曲面上一曲线（c）：沿它上面的点m，给出一向量它在点 m 处切于曲面，且沿此曲线给出一向量场。2 , 1,)(ituuii)(ta微分 ，从点 m 引 ，一般来说，这个向量不在点 m 的切平面上，因此它不再是曲面在m点的切向量，现在分解它为切平面和沿曲面的法向量 方向上的两个分量。adadan当 从m 点按通常意义下的移动到邻近点 时，得一增量，其主要部分等到于)(tamadaadaammn)(c 沿法线方向的分量为 ，则 为 在 方向上的射影，且为单位向量，所以它就是它们的内积，nnadannadnnadnannadann)()(adanadnadat)()(nadnad

21、aadat)()(即设切线分量为tada)(am 这实际上就是 到点 m 的切平面上的投影向量。 我们称点 m 处的向量 和向量 的差为向量 从点 m 沿曲线（c）移动到 的绝对微分，记为 ，即：adatada)(aadnadnadaadaadt)()(adaadaammn)(cad 当向量从点 m 沿曲线移动到 时， 等到于把它的通常微分 投影到点m 处的切平面上的部分，因此还是曲面上的向量。madad 当 时，表示向量 从点 m 沿（c）的方向移动到点 时，微分 沿法线 的方向，换言之，把向量投影到点m 的切平面时，我们得到向量 ，这时称向量是向量 从 m 点沿（c）的方向到邻近点 经过平

22、行移动而得到的向量。0adamadaadnaadaam 这样定义的平移概念与所取的曲线 有关，因此与 称为沿曲线在勒维基维塔意义下的平行向量，即称向量 与 沿曲线 是勒维基维塔平行移动。)(tuuii)(tuuiiadaadaaa 特别地，在平面上向量的勒维基维塔平行移动和通常意义下的平移一致，这是由于在平面上 ，所以勒维基维塔平行移动是平面上通常平移在曲面上的推广。adad3、绝对微分及平行移动的分析表达式 沿曲线（c）上的每个点，由于 为切向量，在这个切平面上，以 为基向量建立坐标系，并设 的坐标为a21,rr)(),(21tata)(taiirtartartata)()()()(2211

23、)()()()(22212122221211111122221111durdurardadurdurardardardardardaadnrduadarduadanduaduaduaduadarduaduaduaduadarndurdurardadurdurardaadkkkkkkkkkkkk(*)()(*)()(*)()(2,221,1122222122212112112112222122121212111211111112221212222121111112kijkkijijnlrr,nadnadaadaadt)()(由于从式中可看出，只要在上面的式子中去掉法线分量就得到 ，如果它的坐标用

24、 来表示，则ad21,dada2211rdardaad 这就是绝对微分的表达式。,22,11duadaduada,222,111duadadaduadada 特别地，若向量 作平行移动，则 ，即从而得到向量 由点 m 沿方向 作平行移动到邻近一点 的分析表达式：aa0ad021 dada),(21dudum即在平移下， 的坐标微分 可用坐标微分 来表达。a21,dudu21,dada4、绝对微分的运算性质 设 是沿曲线（c）的向量场，f 是定义在（c）上的数量函数，则有ba,bdabadbadbfdadfafdbdadbad)()3()()2()() 1 (证明：（1）（2）直接验证。)()()()(,dubdbrrarbduadardubdbrabduadarbda