《线性代数》第1.2节

1、11.4 可逆矩阵可逆矩阵/* Invertible Matrix */ 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质 2一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念 可逆矩阵的定义 可逆矩阵的幂运算 例13 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念问题第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵AXB 对于给定的矩阵 和 ，是否存在 矩阵 使得矩阵方程XAB有解？如果有解，又该如何求出这样的解？4 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念1.可逆矩阵的定义(P16)第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵ABBAE1BA 定义 设 是方阵，若存在方阵 使得AB则称 是可逆的，或称 为可

2、逆方（矩）阵，AA并称 是 的逆（矩）阵，记为 ，即AB1A A、B、E必为同阶方阵。 (1)(1)只有方阵才有可能存在逆阵，但并非每个方阵只有方阵才有可能存在逆阵，但并非每个方阵 都有逆阵。都有逆阵。 (2)(2)逆阵的唯一性：即逆阵的唯一性：即11,BA CAB C注注意意5 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念2.可逆矩阵的幂运算第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵EA 0kkAA)(1 有了逆阵的概念就可以定义方阵的负指数幂：当 可逆时，定义A其中 为正整数。k 注意注意：若 不可逆，则 的零次幂零次幂和负指数幂负指数幂无意义。 AA6 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念例子1(2

3、).非零对角矩阵可逆，1EE (1).单位阵 可逆，且E第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵1111A (3).已知矩阵求A的逆阵 。1A),(21naaadiagA 若若).,(111121 naaadiagA则则7第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵由矩阵的相等，可求得 解：设 一、可逆矩阵的概念一、可逆矩阵的概念，则12134xxABxxEAB 100142314231xxxxxxxx即111111122ABA1111A8二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质 可逆矩阵的运算规律 例2 矩阵乘法消去律成立的条件 9 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质1.可逆矩阵的运算规律(P17)第

4、第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵11()AA11()()TTAA 性质1 若 可逆，则 的逆阵也可逆。且AA 性质3 若 可逆，则 的转置也可逆。且AA111()(0)kAAkk 性质2 若 可逆，则 也可逆，且 Ak A10 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质1.可逆矩阵的运算规律(P16)第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵 1111122121kkkA AAAAAAAA（若 ， ， ，为同阶阵）可逆矩，则111()ABB A 性质4 若方阵 、 可逆，则 也可逆。且ABAB可推广：可推广：注意：注意： 可逆阵的和差不一定可逆，即使可逆，一般地 111()ABAB11 二、可逆矩阵

5、的性质二、可逆矩阵的性质1.可逆矩阵的运算规律第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵 性质5 若分块对角方阵 mAAAA21112111mAAAA中，方阵 均可逆，), 2, 1(miAi则 亦可逆，且 A12例2（P19例1.8） 设第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵110110003A应用矩阵分块法求 。1A 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质13第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵所以 解：将 表示为分块矩阵 A 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质) 3(1A11112A21AAA ，其中2121021210003112111AAA)31(11A则2121212112A14 二、可逆矩阵的性质二、可逆矩阵的性质2.矩阵乘法消去律成立的条件第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵 若AB=AC，且A可逆，则B=C。 注意：注意：一般矩阵不具有消去律。 定理：15三、习题选解与作业三、习题选解与作业 第第 13 题题 作业作业(P33)：第第 13 题题. 罗桂生罗桂生 等：等： 线性代数教程线性代数教程16第13题(P34)第第1.21.2节节 可逆矩阵可逆矩阵 三、习题选解与作业三、习题选