《二次函数抛物线的性质》知识点整理

1、二次函数抛物线的性质知识点整理二次函数抛物线的性质知识点整理1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 p。特别地， 当b=0 时， 抛物线的对称轴是 y轴 （即直线 x=0）2.抛物线有一个顶点 p，坐标为 p/4a)当-b/2a=0 时，p 在 y 轴上；当=b2-4ac=0 时，p 在 x轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即ab0） ，对称轴在y

2、 轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于 0， 也就是-b/2a<0,所以 b/2a要大于 0，所以 a、b 要同号当 a 与 b 异号时（即ab0） ，对称轴在y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于 0， 也就是-b/2a>0,所以 b/2a要小于 0，所以 a、b 要异号可简单记忆为左同右异， 即当 a与b同号时 （即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y轴右。事实上，b 有其自身的几何意义：抛物线与 y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式 （一次函数） 的斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。5.常数项 c

3、 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c）6.抛物线与 x 轴交点个数 =b2;-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 =b2;-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。_ =b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点。x 的取值是虚数（x=-bb24ac 的值的相反数，乘上虚数 i，整个式子除以 2a）当 a>0 时 ， 函 数 在 x=-b/2a 处 取 得 最 小 值f=4ac-b?/4a ； 在 x|x<-b/2a 上 是 减 函 数 ， 在x|x>-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4

4、ac-b2/4a相反不变当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 y=ax2+c7.特殊值的形式当 x=时 y=a+b+c当 x=-1 时 y=a-b+c当 x=2 时 y=4a+2b+c当 x=-2 时 y=4a-2b+c8.定义域：r值域： （对应解析式，且只讨论a 大于 0 的情况，a 小于0 的情况请读者自行推断） /4a， 正无穷） ； t， 正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：y=ax2+bx+c一般式a0a0， 则抛物线开口朝上； a0， 则抛物线开口朝下；极值点： （-b/2a，/4a） ； =b2-4ac, 0，图象与 x 轴交于两点：（-b- /2a，0）和（-b+ /2a，0） ； 0，图象与 x 轴交于一点：（-b/2a，0） ； 0，图象与 x 轴无交点；y=a2+k顶点式此时，对应极值点为（h，k） ，其中 h=-b/2a，k=/4a；y=a交点式（双根式）（a0）对称轴 x=/2 当 a>0 且 x/2 时，y 随 x 的增大而增大，当 a>0 且 x（x1+x2