导数及其求法（大学）

1、.导数及其求法在学习过极限概念的基础上，现在来我们学习微积分的基本问题中非常重要的一个部分微分学. 在这一部分将给出导数（微分）的概念、法则、定理及其主要求法.§1一元函数导数及求法【知识点】 一、基本概念1、 导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，自变量在处取得一增量（仍在邻域内），函数相应取得增量，如果极限 存在，则称此极限值为函数在点的导数，记为 此时也称函数在点处可导，若上式不存在，则称函数在点处不可导或导数不存在.2、 左导数与右导数定义：设函数在点的左侧（右侧）包含某一邻域内有定义，在处给增量（），仍在邻域内，函数相应取得增量，如果极限 （） 存在，则称此极限值为函数在

2、点的左（右）导数，记为（） （）3、 可导的充分必要条件：函数在一点可导的充分必要条件是在点处的左、右导数存在且相等，即4、导数的几何意义：函数在点处导数表示曲线在点（，）处切线的斜率. 曲线在点（，）处的切线方程为，法线方程为.（）若函数在点处导数为无穷大，则曲线在点（，）处的切线垂直于轴，切线方程为，法线方程为.5、导函数：若函数在区间上每一点处可导，则任一有导数值，由此定义了一个新函数，称为的导函数，简称导函数，记为 6、可导与连续关系：在点处.7、导数的四则运算法则与导数公式见教材.8、高阶导数的概念：若函数的导数 存在，该导数称为的二阶导数，记为. 类推有三阶、四阶阶导数，记为.9、

3、微分的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果对自变量在点处的改变量（仍在邻域内），函数的改变量 可以表示为 其中A与无关，则称函数在点处的可微，并称为函数在点处的微分，记为注： 称函数的微分是改变量的主要部分，或称为线性主部. 几何意义是曲线在点（，）处的切线，当取得增量时，纵坐标对应的增量.10、微分与导数的关系：可微可导.（充要条件）11、微分的四则运算法则与微分公式见教材.12、一阶微分形式不变性：设函数，构成复合函数，若关于可微，关于可微，则复合函数关于的微分有 ：其中是关于的微分. （无论是自变量还是中间变量，总有）二、定理 定理1、（反函数求导法则）若函数在某区间内单调、可导且，

4、则它的本义反函数在对应区间内也可导，且 定理2、（复合函数求导公式）若函数在处有导数，函数在的对应点处有导数，则复合函数在处可导，且 即： 【方法与例题】一元函数的导数（微分）计算问题，只要熟练掌握求导（微分）公式，以及若干常规方法都可顺利解决.求导（微）方法除了从定义出发直接求函数导数外（解题时几乎不用），一般可归纳为以下几种. 1、公式法：利用导数（微分）公式及法则，求函数的导数（微分）. 2、复合函数求导法（连锁规则）：利用复合函数求导公式及常用的导数公式求函数的导数.（涉及到中间变量的选择） 3、隐函数求导法：由方程确定的隐函数，将带入方程得恒等式，利用复合函数求导法，对上式两边同时求

5、导，求导时把视为中间变量，解出得表达式.4、对数求导法：对函数两边取对数，再利用隐函数求导法求出导数.5、一阶微分形式不变性：利用微分形式不变性及微分公式求导数（微分）.6、高阶导数求法：利用导数公式，数学归纳法或递推 注：要求熟记导数（微分）公式，熟练掌握求导（微）方法，并能综合运用. 例题选讲：例1、 设 求导数解：（公式法）例2、 设 求导数解：（公式法） 例3、 设 求导数解：（公式法）例4、 设 求导数解：（复合函数求导法）设，则 注： 在熟练了之后，计算时不必将中间变量写出 连锁规则是非常重要的法则，必须熟练掌握.例5、 设 求导数 解：（复合函数求导法）例6、 设 求导数解：（复

6、合函数求导法） 例7、 设 求导数解：（复合函数求导法）注：为防止计算过程中出错误，最好是一层一层的求导. 注意选择好中间变量，他关系到计算得是否成功与繁简. 复合函数求导法是重点和难点，要多多练习.例8、 设 求导数解：（复合函数求导法） 例9、 设 求由方程确定的隐函数的导数解：（隐函数求导法）利用隐函数求导法，两端对求导 解出 （导数中可含有）例10、 设 ， 求由方程确定的隐函数在其曲线点（2，2）上的导数值.解：（隐函数求导法）利用隐函数求导法，求出导数后带入该点值. 将方程两边对求导有 解出得 例11、 设 ， 求导数.解：（对数求导法）两端取对数有 两边对求导有例12、 设 ，

7、求导数.解：（对数求导法）两端取对数有两边对求导有例13、 设 ， 求导数.解：（对数求导法）两端取对数有两边对求导有 注：对数求导法往往能化简求导的计算或者能解决常用求导公式无法解决的问题，因而大家要熟练掌握.例14、 设 ， 求导数.解：（一阶微分形式不变性） 注：也可以用其它方法求之如直接求导.例15、 设 ，求导数.解：（一阶微分形式不变性）直接对方程微分有 例16、 设 ， 求导数.解：（高阶导数求法）逐次求导，运用归纳方法 一般的有 例17、 设 ， 求导数.解：求解这类问题要注意这是分段函数.把握这一特点，就可以逐段、逐点求导，从而解决求导函数的问题. 当当同理 故可得 注：求解

8、这类问题要细心，在处理分段点时要运用可导的充分必要条件.【思考练习题】1、求导数 （公式法）2、求导数 （公式法）3、求导数 （公式法）4、求导数 （复合函数求导法）6、求导数 （复合函数求导法）7、求导数 （复合函数求导法）8、求导数 （复合函数求导法）9、求导数 （复合函数求导法）10、求导数 （复合函数求导法）11、求下列隐函数的导数 （隐函数求导法）12、求隐函数的导数 （隐函数求导法） 13、求函数的导数 （对数求导法）14、求函数的导数 （对数求导法）15、利用一阶微分形式不变性，求函数的导数16、利用一阶微分形式不变性，求的导数.17、求函数的高阶导数 18、求函数的高阶导数 &

9、#167;2二元函数偏导数及求法【知识点】一、基本概念1、偏增量：，全增量： 2、定义：设函数在P0（x0，y0）的某邻域内有定义.固定不变，如果一元函数在处可导，即存在，则称此极限值为函数在P0（x0，y0）点关于的偏导数. 记为：、或者、，即：=同理：=3、偏导(函)数：如果函数在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、为的两个偏导(函)数.4、几何意义：表示：曲面与平面y=y0相交的曲线Cx，在平面y=y0内在x=x0处的切线斜率.其中：，如图所示： 5、高阶偏导数定义：设有函数，称，为函数的二阶纯偏导数，而称，为函数的二阶混合偏导数.注：一般情况下 ，6、全微分定义 ：设在P（x，y）

10、的某邻域U内有定义，如果函数在点（，）处的全增量可以表示为，其中，A，B为与仅点（，）有关，而与，无关的常数，则称在P（x，y）点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为，且.在这里仍规定，即：.二、定理与法则定理1：若函数的两个混合偏导数在区域D内连续，则两者相等.定理2：可微函数一定连续.（不连续的函数一定不可微.）定理3：可微函数的偏导数一定存在，且定理4：若函数的偏导数连续，则函数可微分.定理5：设，在点x处可导，在x对应的点（u，v）处有连续的偏导数.则一元函数在点x处可导，称其为全导数.且 （）公式（A）称公式（A）为全导数公式.定理6：（复合函数微分法）设函数， ，

11、在点（x，y）处有偏导数，函数在其对应的点处有连续的偏导数，则在点（x，y）处有对关于x和y的偏导数，且有下列公式：公式（B）记忆方法：如图注：连线相乘，分线相加. 公式（B）推广到多个中间变量的情形.三、几个概念的相互关系： 函数在（x，y）点的关系【方法与例题】 偏导数的计算与一元函数的求导是基本类似的，很容易把一元函数的求导方法移植过来.只是在求偏导数时，要将y（或x）视为常数，对x（或y）求导数.要多做练习提高熟练运用复合函数微分法的能力,同时要注意求偏导数与求一元函数导数的区别.（另：注意偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx.）一、求在P0（x0，y0）的偏导数的方法：

12、方法1：先求出偏导函数，后代入该点的坐标值（x0，y0）.方法2：先代入，得到，再对x求导数得，再代入. （或先代入 ，得到，再对y求导数得，再代入.）二、求多元函数偏导函数的方法：1、 复合函数微分法：主要是运用复合函数微分法求二元函数的偏导数，注意中间变量的选取.2、 隐函数求导法：构造一个方程，对方程两边求偏导数，解出偏导数. 由 得3、 高阶偏导数求法：它与一元函数求高阶导数类似，但要注意混合偏导数的计算.三、例题选讲：1、设，则求， 解：， 视y为常数，则； 又，视z为常数，则； 又，视x为常数，则.2、设，求它在点（1，2）处的偏导数 ，解： ；3、设，.求在（0，0）处的偏导数.解：因为函数是分段函数，在整个定义域内表达形式不一样；所以必须根据偏导数定义来求解.=4、设，求，.解：将函数变形 ，.=；.5、设 ，求.解：由全导数公式，（A）公式.， 且：， 6、设 ，求解： 由复合函数微分法，（B）公式.7、设求 解：由复合函数微分法，（B）公式.同理有8、求有方程所确定的函数的偏导数.解：由隐函数求导法构造函数方程，【思考练习题】1、设，而，