第4章-2-高斯定理环路定理电势

1、第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第二节第二节第四章第四章 基本内容：基本内容：一、电场线一、电场线 二、电场强度通量二、电场强度通量三、高斯定理三、高斯定理4.2 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理一一. . 电场线：人为引入的假想线电场线：人为引入的假想线 1 1） 曲线上每一点曲线上每一点切线切线方向为该点电场方向方向为该点电场方向, , 2 2） 通过通过垂直垂直于电场方向于电场方向单位面积单位面积电场线的条电场线的条数为该点电场强度的大小数为该点电场强度的大小. .规定规定ESEcEbcaEbEa第二

2、节第二节第四章第四章SNE第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理qq2第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+ + + + + + + + + + + + 第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理电场线的特点电场线的特点 1 1）

3、 始于正电荷始于正电荷, ,止于负电荷止于负电荷( (或来自无穷远或来自无穷远, ,去去向无穷远向无穷远) )，不会在没有电荷处中断不会在没有电荷处中断. . 2 2） 电场线不相交电场线不相交. . 3 3） 静电场的电场线不闭合静电场的电场线不闭合. . 4) 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理ES二二. . 电场强度通量电场强度通量(electric flux) 通过

4、电场中某一个通过电场中某一个任意面任意面的电场线的条数叫做通的电场线的条数叫做通过这个过这个面面的电场强度通量的电场强度通量e. 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均匀电场，均匀电场， 与平面夹角与平面夹角EneSE ,e SSen ES第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理EE 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEdcosdeesSEdeSEddene SdSd 为封闭曲面为封闭曲面SSdEne1dS2dS22E11E第二节第二节第四章第四章022e2d,0201e1d,第七章第七章7-3 7-3 静电场的

5、高斯定理静电场的高斯定理SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEddeESdES规定规定1. 规定闭合曲面法线方向规定闭合曲面法线方向:向外为正！向外为正！2.2.即如果电场线从闭合曲面内向外穿出，则电通即如果电场线从闭合曲面内向外穿出，则电通量为正；反之，电通量为负量为正；反之，电通量为负; ;第二节第二节第四章第四章电通量是一个电通量是一个标量，可正可负标量，可正可负第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理, 0 sdEde, 0 sdEde左半球左半球:电力线穿入电力线穿入, e为负为负右半球右半球:电力线穿出电力线穿出, e为正为正

6、S SEdSdS第二节第二节第四章第四章不难看出：当封闭曲面内没有电荷时，穿过曲不难看出：当封闭曲面内没有电荷时，穿过曲面的电通量为零！面的电通量为零！第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理三三. . 高斯定理高斯定理第二节第二节第四章第四章高斯定理高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间：是关于电场线、电荷分布、空间曲面三者之间的关系；曲面三者之间的关系；高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+Sd 点电荷点电荷q位于球面中心位于球面中心20 4rqESSSr

7、qSEd 4d20e0eq r第二节第二节第四章第四章 对以点电荷对以点电荷q为中心的为中心的任意任意球面来说，通球面来说，通过它们的电通量都等于过它们的电通量都等于q/ 0第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+ 点电荷点电荷q在任意封闭曲面内在任意封闭曲面内cosd 4d20eSrq SdSd第二节第二节第四章第四章 通过任意形状的包围点电通过任意形状的包围点电荷荷q的闭合面的电通量等于的闭合面的电通量等于q/ 0任取两个球面，一任取两个球面，一个包围曲面，另一个包围曲面，另一个在曲面内：则两个在曲面内：则两个球面的电通量都个球面的电通量都为为q/ 0+S SS Su

8、由电场线的性质由电场线的性质可知，通过可知，通过球面球面S的电场线必定全部的电场线必定全部通过通过闭合面闭合面S，因此，因此，通过任意形状的，通过任意形状的包围点电荷包围点电荷q的闭合的闭合面的电通量都等于面的电通量都等于q/0第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理q 点电荷点电荷q在封闭曲面之外在封闭曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSeSE1dS1E第二节第二节第四章第四章 如果闭合面如果闭合面S不包围点电荷不包围点电荷q，则由电场线的连续，则由电场线的连续性可知，由一侧进入性可知，由一侧进入S的电场线条数一定等于从另一侧的电场线条数一定

9、等于从另一侧穿出穿出S的电场线条数，那么净穿出闭合面的电场线条数，那么净穿出闭合面S的电场线总的电场线总条数为零，也即通过条数为零，也即通过S面的电通量为零。面的电通量为零。第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 由点电荷系产生的电场由点电荷系产生的电场iiEEEEqqq2121.,SiiSSESEdde （外）内）iSiiSiSESEdd( 内）（内）(0e1diiiSiqSESdE1qiq2qs0d （外）iSiSE第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理niiSqSE10e1d高斯定理的数学表达式：高斯定理的数学表达式：第

10、二节第二节第四章第四章 高斯定理的含义：高斯定理的含义：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量量, ,等于该曲面所包围的所有电荷电量的代等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和的数和的1/1/ 0 0倍。倍。（电通量与（电通量与面外面外电荷无关，电荷无关， 闭合曲面称为闭合曲面称为高斯面高斯面）第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第二节第二节第四章第四章niiSqSE10e1d高斯定理的数学表达式：高斯定理的数学表达式：积分中的积分中的E是曲面上各点的场强是曲面上各点的场强,它是空间全部电荷它是空间全部电荷(曲面内曲面内外外)共同产

11、生的共同产生的.总电通量只决定于曲面内电荷总电通量只决定于曲面内电荷,曲面外部的电荷对总电通量曲面外部的电荷对总电通量没有贡献没有贡献;闭合曲面内电荷的代数和为零，只说明通过闭合曲面的电闭合曲面内电荷的代数和为零，只说明通过闭合曲面的电通量为零，曲面上各点的电场强度不一定为零通量为零，曲面上各点的电场强度不一定为零;高斯面高斯面为封闭曲面为封闭曲面. .静电场是静电场是有源场有源场. . q0, e0, 说明电场线从封闭面内发出，正电荷是源；说明电场线从封闭面内发出，正电荷是源； q0, e0, 说明电场线向封闭面内汇聚，负电荷是尾；说明电场线向封闭面内汇聚，负电荷是尾； 静电场是静电场是有源

12、场，有源场，正负电荷是正负电荷是场源场源. 1 1）高斯面上的高斯面上的 与哪些电荷有关与哪些电荷有关 ？ Es2 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e思考思考第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理通过闭合曲面的电通量为零通过闭合曲面的电通量为零, ,则说明（则说明（ ）第二节第二节第四章第四章(1)(1)曲面上各点的电场强度一定为零；曲面上各点的电场强度一定为零；(2)(2)闭合曲面内一定没有电荷存在；闭合曲面内一定没有电荷存在；(3)(3)闭合曲面内电荷的代数和一定为零；闭合曲面内电荷的代数和一定为零；(4)(4)闭合曲面内电荷的代数和不

13、一定为零；闭合曲面内电荷的代数和不一定为零；第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三个闭合面个闭合面 求求通过各闭合面的电通量通过各闭合面的电通量 . .,321SSSqq1q2q2qABsP讨论讨论 将将 从从 移到移到 , ,2qABePs点点 的电场强度是否变化的电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有变化有变化？第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理四四 高斯定理的应用高斯定理的应用 其步骤为其步

14、骤为: : 对称性分析；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算应用高斯定理计算. .（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）第二节第二节第四章第四章求电场强度求电场强度E的方法：的方法：. .电场强度叠加原理；电场强度叠加原理；. .高斯定理；高斯定理；1).1).球对称性：带电球面（体）球对称性：带电球面（体）2).2).轴对称性：无限长带电直线轴对称性：无限长带电直线3).3).面对称性：无限大带电平面面对称性：无限大带电平面第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+OR

15、例例4.4 均匀带电球面的电场强度？均匀带电球面的电场强度？04d21rESES0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s 一半径为一半径为 , 均匀带电均匀带电 的薄的薄球壳球壳 . 求球面内外任意点电场强度求球面内外任意点电场强度.RQ20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）第二节第二节第四章第四章推广到：推广到： 均匀带电均匀带电球体球体，半径为，半径为R，均匀带电，均匀带电Q，求球体内外的任意一点的电场强度？，求球体内外的任意一点的电场强度？02dQSES20 4rQE02 4QErRr（1）+R+0332134344d1rRQrESES （2）Rr 030

16、4RQrE第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理+oxyz例例4-74-7：无限长均匀带电细棒的电场强度分布？：无限长均匀带电细棒的电场强度分布？下底）上底）柱侧面）(dd dsssSESESE选取闭合的选取闭合的柱型柱型高斯面高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. .r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd00d(柱侧面）sSEneneneE+r第二节第二节第四章第四章第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理0h

17、rE0 20 2hrhE 柱侧面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r第二节第二节第四章第四章例例4-7,4-7,可推广到可推广到: : 无限长均匀带电的无限长均匀带电的圆柱面圆柱面的电场的电场强度分布？已知沿轴向单位长度的线电荷密度为强度分布？已知沿轴向单位长度的线电荷密度为 +R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +rE0 2Rr（1） （2）Rr 00E+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

18、 + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例4.5 无限大均匀带电平面的电场强度分布？无限大均匀带电平面的电场强度分布？ 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度. .r选取闭合的选取闭合的柱型柱型高斯面高斯面02E对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

19、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 匀强电场！匀强电场！02EEEEExEO)0(000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理4.3 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 一、静电场力所做的功一、静电场力所做的功 电势能电势能 二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理 电势电势 三、电势的计算三、电势的计算 四、等势面四、等势面 电势梯度电势梯度第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章第三节第三节 静电场的

20、环路定理静电场的环路定理 电势电势一一. . 静电场力所作的功静电场力所作的功: :1. 点电荷电场中移动试验电荷点电荷电场中移动试验电荷q0点电荷点电荷q的电场强度为：的电场强度为：2014rqEer正点电荷正点电荷q固定于原点固定于原点O，试验电荷试验电荷q0在在q的电场中，由的电场中，由A点沿任意路径点沿任意路径ACB到达到达B点。点。0qABCorq E第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势020002001411()44dddBABArlrrrABqqWWrrqqrqqrrrcos dddrellr则在则在q0从从A移至移至B点的过程点的过程中，电场力作的总功为：中

21、，电场力作的总功为：002014dddrqqWq Elelrq0移过位移元移过位移元 时，电场力作的元功为：时，电场力作的元功为：dl0qldABCBroArrrdrq E可见：可见：W与与q0所在的始末位置有关，与路径无关。所在的始末位置有关，与路径无关。0011()4ABqqWrr000()dddiillliiWqElqElqEl2. 任意带电体的电场任意带电体的电场 (视为点电荷的组合视为点电荷的组合)iiEE由电场强度叠加原理知：由电场强度叠加原理知： 因为上式中每一项都与路径无关，所以它因为上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和也必然与路径无关。们的代数和也必然与路径无关。第三节

22、第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势结结 论：论：1. 在点电荷在点电荷q的非匀强电场中，电场力对试验电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷q0所所作的功只与起点和终点的位置有关，与所经历的路作的功只与起点和终点的位置有关，与所经历的路径无关。径无关。2. 推广到一般的电场，电场可以是任意带电体的电荷推广到一般的电场，电场可以是任意带电体的电荷产生的电场。产生的电场。电场力对电荷所作的功只与起点和终电场力对电荷所作的功只与起点和终点的位置有关，与所经历的路径无关。点的

23、位置有关，与所经历的路径无关。u说明说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。：静电场力是保守力，静电场是保守场。第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章二二. . 静电场的环路定理静电场的环路定理ab1L2L000 WldEqldEqWll0llEd在静电场中，若将试验电荷在静电场中，若将试验电荷q q0 0沿闭合路径移动沿闭合路径移动一周，电场力所做的功为：一周，电场力所做的功为：表明表明:电场强度沿任一闭合路径的线积分为零！电场强度沿任一闭合路径的线积分为零！第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定

24、理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章0dlE静电场的环路定理：静电场的环路定理： 1. 静电场的电场强度沿任一闭合路径的线积分为零，静电场的电场强度沿任一闭合路径的线积分为零，静电场是保守场。静电场是保守场。2. 静电场中电场强度静电场中电场强度 的环流为零。的环流为零。EE电场强度沿任一闭合路径的线积分电场强度沿任一闭合路径的线积分 的环流；的环流；讨论讨论表征静电场的性质有两个方程表征静电场的性质有两个方程:0iiSqSEd0LlEd第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理

25、 电势电势 第四章第四章三三. .电电 势势 能能l类似于重力场和重力势能，类似于重力场和重力势能，l电荷在静电场中的一定位置上具有一定的电荷在静电场中的一定位置上具有一定的电势能电势能。l静电场力对电荷所做功等于电荷电势能静电场力对电荷所做功等于电荷电势能增量的负值增量的负值 pbpababaabEEl dEql dfW0ab0qE如图示点电荷如图示点电荷q0在场中受力在场中受力Eqf0 电场力作功以减小电势能为代价电场力作功以减小电势能为代价电场力作正功电场力作正功,电势能减少电势能减少paE和pbE分别为分别为q0在静电场中的在静电场中的a点和点和b点的点的电势能电势能；第七章第七章7-

26、3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章势能零点apalEqEd01. 若选若选b点的电势能为参考零点点的电势能为参考零点 则则 a点的电势能：点的电势能：电势能的量纲电势能的量纲(能量的单位能量的单位)：SI制单位：制单位： J (焦耳焦耳);表明：试验电荷表明：试验电荷q0在电场中某点在电场中某点电势能电势能，在数值上，在数值上等于把等于把q0从该点移到零势能点处静电场力所做的功从该点移到零势能点处静电场力所做的功 电势能的电势能的大小大小是是相对相对的，的， 电势能的电势能的差差是是绝对绝对的。的。 电势能是电场和

27、电场中的电荷电势能是电场和电场中的电荷q0共同拥有的。共同拥有的。第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章 bapbpabaVVqEqEldE00na点的电势点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；单位正电荷在该点处的电势能；nVa,Vb与试验电荷无关，反映了电场在与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质两点的性质;na,b两点的电势之差称为两点的电势之差称为a,b两点的两点的电势差电势差或电压或电压Uab四四. . 电势电势 电势差电势差静电场的矢量描述静电场的矢量描述-电场强度电场强度 静电场的标量

28、描述静电场的标量描述-电势电势 00qEVqEVpbbpaabaabVVU第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章 aalEVd1. 若选若选b点的势能为参考零点点的势能为参考零点(一般为无穷远处一般为无穷远处) 2. 则则a点的电势：点的电势：表明：表明：1.电场中某点的电场中某点的电势电势Va，在数值上等于把，在数值上等于把单位正电荷单位正电荷从从A点移到无穷远处（零势能处）时，静电场力所做功；点移到无穷远处（零势能处）时，静电场力所做功；2. 电势是和检验电荷无关的。电势是和检验电荷无关的。电势的电

29、势的相对性相对性第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章 电电势零点的选择势零点的选择( (参考点参考点): ):电势的量纲电势的量纲:SI制：单位制：单位 V (伏特伏特) 1V=1J/C源电荷为有限大小，一般以源电荷为有限大小，一般以无穷远无穷远为电势零点。为电势零点。 实际问题中常选择地球电势为零。实际问题中常选择地球电势为零。无限扩展的源电荷无限扩展的源电荷( (如无限长带电圆柱面如无限长带电圆柱面) )只能选在只能选在有限区域内的任一点为电势零点。有限区域内的任一点为电势零点。实际实际应用中或研

30、究电路问题时取应用中或研究电路问题时取大地大地、仪器、仪器外壳外壳等等第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章 一般情况下，一般情况下，电势是场源电荷和空间位置的函数电势是场源电荷和空间位置的函数，当电势，当电势分布已知时，可以方便地求出电荷分布已知时，可以方便地求出电荷q0在电场中某点的电势能在电场中某点的电势能和在电场中移动电荷和在电场中移动电荷q0时静电场力作的功。时静电场力作的功。 电势差是电势差是绝对绝对的，与电势零点的选择无关；的，与电势零点的选择无关； 电势大小是电势大小是相对相对的，与电势

31、零点的选择有关。的，与电势零点的选择有关。 静电场中静电场中A、B两点电势差两点电势差UAB，在数值上等于把单位正电，在数值上等于把单位正电荷从荷从A点移到点移到B点时，静电场力所作的功。点时，静电场力所作的功。ABABdABUVVEl2. 2. 电势差电势差U UABAB=V=VA A-V-VB B000ABABBAWqVqVqUa0paVqE第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章u点电荷场的电势公式：点电荷场的电势公式：球对称球对称电势是标量电势是标量, , 正、负由正、负由q的正负而定的正负而定（

32、以无限远为电势零点）（以无限远为电势零点）与半径成反比；与半径成反比；rldEdrrqr 204 rqV04 qPrEl d PPl dEVrderqrr420五五. . 电势的电势的计算计算第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章电势的叠加原理电势的叠加原理-标量叠加标量叠加iiiniiiniinrqrqVVVVV0021414.u1.1.点电荷系点电荷系( (q1,q2. qn), ,电场中任一点的电势：电场中任一点的电势：为第为第i个电个电荷到场点荷到场点P的距离的距离ir在点电荷系的电场中，任一点

33、的电势等于各点在点电荷系的电场中，任一点的电势等于各点电荷单独存在时激发的电场在该点电势的代数电荷单独存在时激发的电场在该点电势的代数和。和。 静电场的电势叠加原理静电场的电势叠加原理第七章第七章7-3 7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理第三节第三节 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势 第四章第四章 rqdV041 u 2. 2. 任意形状有限区域任意形状有限区域电荷连续分布电荷连续分布的带电体，的带电体， 在任意场点的电势：在任意场点的电势：r是电荷元是电荷元 到场点的距离到场点的距离qd分割成电荷元分割成电荷元dq, 对带电体进行积分：对带电体进行积分：rqdVd410VQd

34、qp积分是对各电荷元求和：积分是对各电荷元求和：lSVdddqd体体 面面 线线 其步骤为：其步骤为： 将带电体划为许多电荷元将带电体划为许多电荷元dq。 选择无穷远处为电势零点，选择无穷远处为电势零点， 写出电荷元写出电荷元dq在场点的电势在场点的电势dV。 由电势叠加原理求由电势叠加原理求V。1. 1. 利用电势叠加原理求解利用电势叠加原理求解六六. . 电势的计算方法电势的计算方法计算电势常用的方法有两种。计算电势常用的方法有两种。1.1.电势叠加原理电势叠加原理2.2.由电势的定义求由电势的定义求 rqdV041 前提：已知空间电荷的分布；前提：已知空间电荷的分布； 补充例题：补充例题

35、： 点电荷点电荷q1，q2，q3，q4, 各为各为4.0 10-9C，放置在一正方形，放置在一正方形的四个顶角上，各顶角与正方形中心的四个顶角上，各顶角与正方形中心O的距离为的距离为5.0cm,(1).计算计算O点的电势；点的电势；(2).将试验电荷将试验电荷q01.010-9C从无穷远处移到从无穷远处移到O点，电场力点，电场力作功多少？作功多少？(3).电势能改变多少？是增加还是减少？电势能改变多少？是增加还是减少？解解:1).:1).根据电势叠加原理，四个电荷在中心根据电势叠加原理，四个电荷在中心O O点产生的电势点产生的电势相等，且：相等，且：(V)102.7100.5100.4100.

36、9r4qU22990i O O点的总电势：点的总电势：(V)321088210274 .UUi(2).(2).电场力作的功电场力作的功 (J) 6-108821088201001390 .UUqAo(3).(3).电场力作负功，电势能增加；电场力作负功，电势能增加；例例4-12. 正电荷正电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆环上的细圆环上。 求圆环求圆环 轴线上距环心轴线上距环心O为为x处点处点P的电势的电势。解解 在环上取小段在环上取小段dl，电荷元：，电荷元：2dddqqllR0014142PdddqVrq lrR00114242Pdddlllq lqVVlrRrRoxRqxrP

37、dq000044P qqxVxR VRx，2204PqVxR即： 环心和无穷远处的电势环心和无穷远处的电势: :类似于点电荷类似于点电荷2. 2. 由电势的定义求解：由电势的定义求解： 其步骤为：其步骤为： 确定电场强度确定电场强度 的分布。的分布。 选择选择电势零点电势零点和和积分路径积分路径，其原则是使计算尽，其原则是使计算尽量简便。量简便。 由由 (零电势参考点零电势参考点)计算计算VA 。E0AdVAVEl前提：已知空间的电场强度分布；前提：已知空间的电场强度分布；QRreroABArrBrdr令令V=0=0，并沿径向积分。，并沿径向积分。任一点任一点P P的电势的电势VP例例4-10

38、 4-10 求：求：均匀带电球壳在空间的电势分布。均匀带电球壳在空间的电势分布。真空中一半径为真空中一半径为R，带电带电Q的球壳。试求：的球壳。试求：(1)(1)球壳外任意点的电势球壳外任意点的电势? ?(2)(2)球壳内任意点的电势球壳内任意点的电势? ? (3)(3)球壳外两点间的电势差球壳外两点间的电势差? ?(4)(4)球壳内两点间的电势差球壳内两点间的电势差? ?解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：20014rr RQEer Rr2200010444PPPPdddddd RARRrRRrRVE rE rE rrQQrrerrrrQR202001444PPPPPP dddd rAQR

39、rVE rE rerrrrQrQrrr球内是一个等势体球内是一个等势体球壳外任意点：球壳外任意点：球壳内任意点：球壳内任意点： 可见，带电球壳为一等势体，即球壳内各处的可见，带电球壳为一等势体，即球壳内各处的 电势与球壳表面的电势相等。电势与球壳表面的电势相等。均匀带电球壳内、外的电势分布均匀带电球壳内、外的电势分布曲线如图。曲线如图。00(2)044ABAB QQr RUVVRRroV04QRR04Qr球壳外两点间的电势差：球壳外两点间的电势差：000(1)11()444ABABABAB r RQQQUVVrrrr球壳内两点间的电势差：球壳内两点间的电势差：例例4-11 4-11 无限长均匀带电直线。其电荷线密度为无限长均匀带电直线。其电荷线密度为，求：求：P点的电势；点的电势；解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：02rEerPreroBrBrdr取取B B点为零电势