第七章间接平差

1、第七章第七章间接平差间接平差7-1 间接平差原理间接平差原理7-2 误差方程误差方程7-3 非线性误差方程的线性化非线性误差方程的线性化7-4 精度评定精度评定第七章第七章 间接平差间接平差第七章第七章间接平差间接平差第七章第七章间接平差间接平差 7-1 间接平差原理间接平差原理1、函数模型间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为式中：且nntnnnndLdLdLlxxxxtbatbatbaBvvvV22112122211121,111nttnnlxBVtBrk)(111nttnndXBL第七章第七章间接平差间接平差2、随机模型间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即3、基础方程及其

2、解 误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t n。所以误差方程有无穷组解。而满足 解只有一组。由于向量V是向量 的函数，按数学上求自由极值的方法有：nnnnLLnnLLPQD12020minPVVTx 022PBVxVPVxVVPVVxPVVTTTT第七章第七章间接平差间接平差转置后得：将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得因为 ，所以上式有唯一解。令则0PVBT0PlBxPBBTTlxBVPVBT0tBrkPBBrkT)()(PlBWPBBNTTBB,WNxBB1第七章第七章间接

3、平差间接平差由上式解出参数 后，代入误差方程可得到改正数V。进而可求得观测值的平差值：间接平差的计算步骤间接平差的计算步骤1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数；2、列出误差方程；3、组成法方程；4、解算法方程；5、计算改正数V；6、计算观测值的平差值x VLLVLL教材：教材：71，72习题：习题：7.1.04第七章第七章间接平差间接平差7-2 误差方程误差方程 间接平差的关键是列误差方程，而列误差方程的关键是选择待估参数（未知数）。1、未知数的个数、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。2、未知数的选择未知数的选择 选择原则：选择原则：a、所选取t个待估参数

4、必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。第七章第七章间接平差间接平差不同情况下的误差方程1、水准网误差方程2、方位角误差方程 测方向坐标平差函数模型 测角网函数模型3、测边网误差方程4、GPS网误差方程第七章第七章间接平差间接平差3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立（1）、）、水准网水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选 FEHXHX,21第七章第七章间接平差间接平差于是有：DCBAHhXvHhXvhXXvHhXv

5、HhXv5254243213212111，则有令iiixXX05254243213212111lxvlxvlxxvlxvlxv0255024402013301220111,XHhlXHhlXXhlXHhlXHhlDCBA其中：第七章第七章间接平差间接平差例：水准网如右图所示，已知 =5.000m， =3.953m， =7.650m。各点的近似高程为：观测值见下表，试列出误差方程。(m)ih(m) 12345670.0501.1002.3980.2001.0003.4043.452AHBHCHm450. 7m452. 8m053. 5407020321hHHhHHhHHCABppp第七章第七章间

6、接平差间接平差解：设于是误差方程为：052010327216325343131211xvxxvxxvxvxxvxvxv321,321pppHXHXHX00ipiHX习题：习题：7.2.15第七章第七章间接平差间接平差（2）、）、GPS网三维无约束平差网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点在WGS84系下的三维坐标 、 、 可看作已知数据，其余各点作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数为 ，因此，可选 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 已知，则t个参数为

7、：iXiYiZ) 1(3mt1mAAAZYX,DDDCCCBBBZXYXXXZXYXXXZXYXXX,987654321第七章第七章间接平差间接平差于是，误差方程为：CDZADAZCDYADAYCDXADAXBDZACAZBDYACAYBDXACAXBCZABAZBCYABAYBCXABAXZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvCDADCDADCDADBDACBDACBDACBCABBCABBCAB969858747936825714633522411第七章第七章间接平差间接平差（3）、三

8、角网）、三角网 在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 地，角度观测值可由右图 表示，于是有： LikjhijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctan教材：教材：74习题：习题：7.2.14第七章第七章间接平差间接平差 例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选：DDCCYXXXYXXX,4321第七章第七章间接平差间接平差于是，误差方程为：8348712347612126512132454314234433434323412

9、21121arctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanLXXYXXXYYvLXXYXXXYXvLXXXYXXXYvLXXXYXXXXvLXXXXXXXYvLXXXYXXXYvLXXYXXXYXvLXXYXXXYYvBBBABABDBABBBBBDBCBBAACBCAAACACDBBDCDBBBAADBDAAAAAADACAAABABACAB第七章第七章间接平差间接平差（4）、三边网）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个待定点的坐

10、标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是有：SijkijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章间接平差间接平差例如在下图，我们选DDCCYXXXYXXX,4321第七章第七章间接平差间接平差 于是，误差方程为：52221542221432422313224232124231)()()()()()()()()()(LXYXXvLXYXXvLXXXXvLXYXXvLXYXXvBBAABBAA教材：教材：75习题：习题：7.2.16第七章第七章间接平差间接平差根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：1 1、闭合导线、闭

11、合导线第七章第七章间接平差间接平差根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：2 2、附合导线、附合导线第七章第七章间接平差间接平差根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：根据测区的情况要求，导线可布设成以下三种：3 3、支导线、支导线第七章第七章间接平差间接平差 导线测量的最终目的是要获得各导线点的平面直角坐导线测量的最终目的是要获得各导线点的平面直角坐标，因此外业工作结束后就要进行内业计算，以求得导线标，因此外业工作结束后就要进行内业计算，以求得导线点的坐标。点的坐标。 一、坐标计算的基本公式一、坐标计算的基本公式 1根据已知点的坐标及已知边长和坐

12、标方位角计算根据已知点的坐标及已知边长和坐标方位角计算未知点的坐标，即坐标的正算。未知点的坐标，即坐标的正算。 ABABABABABABsincos DYYDXX第七章第七章间接平差间接平差 一、坐标计算的基本公式一、坐标计算的基本公式 2由两个已知点的坐标反算其坐标方位角和边长，即由两个已知点的坐标反算其坐标方位角和边长，即坐标的反算。坐标的反算。ABAB1ABtanXY 2AB2ABAB)()(YXD 第七章第七章间接平差间接平差 一、坐标计算的基本公式一、坐标计算的基本公式 2由两个已知点的坐标反算其坐标方位角和边长，即坐由两个已知点的坐标反算其坐标方位角和边长，即坐标的反算标的反算 。

13、 需要指出的是：按坐标反算公式计算出来的坐标方位角需要指出的是：按坐标反算公式计算出来的坐标方位角是有正负号的，因此，还应按坐标增量是有正负号的，因此，还应按坐标增量X和和Y的正负号最后的正负号最后确定确定AB边的坐标方位角。边的坐标方位角。 也就是当也就是当 X时，时， ABAB为负号时为负号时, ,应给应给 ABAB加加360360 ；当当 X时，应给时，应给 AB加加180 才是所求才是所求AB边的坐标边的坐标方位角方位角 AB 。 ABABABarctanXY 第七章第七章间接平差间接平差 二、坐标方位角的推算二、坐标方位角的推算 为了计算导线点的坐标，首先应推算出导线各边的坐标方为了

14、计算导线点的坐标，首先应推算出导线各边的坐标方位角（以下简称方位角）。位角（以下简称方位角）。 左左右右后后前前 180 180前的正负号取用前的正负号取用：是当：是当后后180时，用时，用“+”号；号；当当后后180时，用时，用“”号。导线的转折角是左角号。导线的转折角是左角(左左)就加上；就加上；右角右角(右右)就减去。就减去。 第七章第七章间接平差间接平差单一附合导线条件平差单一附合导线条件平差 第七章第七章间接平差间接平差如图上图所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一

15、条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) t = 3。也就是说，在单一附合导线中，不管有几个待定点，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。第七章第七章间接平差间接平差设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(xb,yb)或者(x1, y1)，C点坐标的已知值为(xc , yc )、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。

16、 方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即01CDnTT01Cnxx01Cnyy第七章第七章间接平差间接平差1.方位角附合条件式则方位角附合条件式可写为整理得 其中180)1(180)1(1101101nvTnTTninini0180) 1(1101CDniCDnTnvTTTi011Tnwvi)180) 1(110CDniTTnTw第七章第七章间接平差间接平差2.纵坐标附合条件式终点C坐标平差值表示为而第i边的坐标增量为 式中niBnxxx11iiiTSxcos iSiivSSiii

17、jiijijiTviTvivTiTTjjj10111010180180180第七章第七章间接平差间接平差其中Ti是第i边的近似坐标方位角则上式可表示为上式按泰勒级数展开，取至一次项，得其中 ，为由观测值计算出的近似坐标增量。 18001iTTiji)cos()(1iiSiiTvvSxjiiiSiiijivyvTxx1cos iiiTSxcos第七章第七章间接平差间接平差上式代入，整理得上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式： ninnSinniiSiiBCiijivyyvTxvyvTxxx11111)(1coscos 0)(1cos111 CnninnSixxvyyvTii0)(1cos1

18、11 xninnSiwvyyvTii)(1Cnxxxw第七章第七章间接平差间接平差3.横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程，写出横坐标条件式 为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、v以厘米为单位， 0)(1sin111 yninnSiwvxxvTii)(1Cnyyyw0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii第七章第七章间接平差间接平差单一闭合导线条件平差单一闭合导线条件平差第七章第七章间接平差间接平差1.多边形内角和闭合条件由于导线网构成了多边形，其n+1个转折角的平

19、差值应满足多边形内角和条件 写成转折角改正数条件方程形式 其中0180)2(12nni012wvni 180)2(12nwni第七章第七章间接平差间接平差2.坐标增量闭合条件参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式：如果S、x、y以米为单位，w、vS、v以厘米为单位，则 0)(1cos1111 xniinniSiwvyyvT0)(1sin1111 yniinniSiwvxxvT)(1Bnxxxw)(1Bnyyyw0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii第七章第七章间接

20、平差间接平差边角权的确定及单位权中误差边角权的确定及单位权中误差 取角度观测值的权及中误差为：p、；取边长观测值的权及中误差为：pS、；取常数 ，则角度及边长观测值的权为 一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取 ，则有0220p220SSp01p22SSp第七章第七章间接平差间接平差由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算： 如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即m0 = m），所以在算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：rvvpvvprpvvSSS0i

21、iSSp10第七章第七章间接平差间接平差（5）、导线网）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类。可以先列角度误差方程： 再列边长误差方程。iijijikikijikiLXXYYXXYYvarctanarctanijijiiLYYXXv22)()(第七章第七章间接平差间接平差（6）、拟合模型）、拟合模型 a、曲线拟合曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。设此曲线为：332210iiiixaxaxaay第七章第七章间接平差间接平差 由于观测值 y 有误差，故由上式

22、可得曲线拟合的误差方程为： b、曲面拟合曲面拟合 曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且可用多项式表达为： 由于观测值H有误差，故由上式可得曲面拟合的误差方程为：iiiiiyxaxaxaav332210iiiiiiiyxayaxayaxaaH52423210iiiiiiiiHyxayaxayaxaav52423210第七章第七章间接平差间接平差 c、标准曲线拟合标准曲线拟合 对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程为：式中： 为圆心坐标，R为半径，这三个参

23、数是圆的基本参数， 为第i点矢径的方位角。所以确定一条圆曲线 的必要观测数为t=3+m。在圆周上观测了n=2m个点的坐标，则r=m-3（ ）。于是误差方程为： ),(00yxiiiiRYYRXXsincos00iiiyiixyRYvxRXviisincos003m第七章第七章间接平差间接平差（7）、坐标变换）、坐标变换 不论是GPS， 还是GIS，还是 RS，都会经常用 到坐标变换。测 量中的坐标变换， 一般采用如图所 示的相似变换。efigyyqhikxxii00第七章第七章间接平差间接平差 由于两坐标系不是用同一个长度基准定义的，所以长度基准不一定严格相等，即两坐标系的单位长度之比可能为：

24、 于是坐标系 中的长度变换到坐标系 中时应乘以尺度比m。于是： 式中， 为待定参数。由于坐标观测值有误差，于是坐标变换的误差方程可写为：1mSSyoxxoysincossincos00iiiiiixmymyyymxmxx,00myxiiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossincos00第七章第七章间接平差间接平差上图表示某相机在空中对地面进行摄影，uvw为相机本身的坐标系，XYZ为地面坐标系，S为相机镜头中心，SM为相机成像面中心与镜头中心连线。成像数学关系可以用下式表示：第七章第七章间接平差间接平差)()()()()()()()()()()()(333222333111

25、ssssssssssssZZcYYbXXaZZcYYbXXafyZZcYYbXXaZZcYYbXXafx摄影测量的核心共线方程摄影测量的核心共线方程coscoscossincossinsinsinsincoscossinsincoscossincoscossincossinsinsincossinsinsincoscos321321321cccbbbaaaR标在影像上的对应像点坐），为地面某点（为相机的焦距，的方向，向量下的位置和在地面坐标系为摄影中心其中ZYXyxfSMXYZZYXSSS,S,第七章第七章间接平差间接平差影像点坐标地面点坐标x(mm)y(mm)X(m)Y(m)Z(m)1-86

26、.150-68.99036589.4125273.322195.172-53.40082.21037631.0831324.51728.693-14.780-76.63039100.9724934.982386.50410.46064.43040426.5430319.81757.31已知4对点的影像坐标和地面坐标：f=153.24mm，试编程求参数 的最小二乘解,SSSZYXXs，Ys近似值取地面点重心，Zs近似值取7500m,近似值均取零第七章第七章间接平差间接平差7-3 非线性误差方程的线性化非线性误差方程的线性化 由以上所列误差方程知，角度观测值的误差方程： 边长观测值的误差方程： 圆

27、曲线的误差方程： 以及坐标变换的误差方程都是非线性误差方程。都必须线性化。下面介绍线性化的方法。iiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossincos00iiyiixyRYvxRXviisincos00ijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctanijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章间接平差间接平差1、变量代换法对于坐标变换的误差方程：令则有：上式即为坐标变换的线性误差方程。iiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossincos00sin, cos,00mdmcybxaiiiyiiixydxcybvxdycxavii第七

28、章第七章间接平差间接平差2、线性近似 对于角度观测值的误差方程、边长观测值的误差方程和圆曲线的误差方程一般都是采用线性近似的方法线性化。角度观测值的误差方程：令：将hhhkkkjjjhhhkkkjjjyYYyYYyYYxXXxXXxXX,000000ijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctan第七章第七章间接平差间接平差在按台劳级数展开，取至一次项，得式中：ihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()()()(2002002002002002002002000

29、0000000arctanarctanjhjhjkjkiiXXYYXXYYLl第七章第七章间接平差间接平差注意：上式是相对与右图中三点均为代定点导出的。1、当图中j点为已知点时，由于已知点的改正数为零，即于是，误差方程变为：2、当h、k两点为已知点时，由于Likjh0,0jjyxihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkilySXxSYySXxSYv )()()()(2002002002000hhkkyxyx第七章第七章间接平差间接平差则误差方程变为：3、当h或k点为已知点时，误差方程变为：ijjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXSXxSYSYv )()()()(20020020020

30、0ikjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()(200200200200200200第七章第七章间接平差间接平差或边长观测值的误差方程：令：将ihjhjhhjhjhjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()(200200200200200200kkkjjjkkkjjjyYYyYYxXXxXX,0000ijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章间接平差间接平差按台劳级数展开，取至一次项，得式中：注意：1、若j点为已知点，则上式变为：2、若k点为已知点，则：20

31、020000)()(,jkjkjkjkiiYYXXSSSlikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilySYxSXySYxSXv00000000ikjkjkkjkjkilySYxSXv0000ikjjkjkjjkjkilySYxSXv0000第七章第七章间接平差间接平差圆曲线的误差方程令将按台劳级数展开，取至一次项，得式中iiyiixyRYvxRXviisincos000000000000000,iirRRyYYxXXiiiiyiiyxiixlryvlRrxv 0000000cossinsincos000000000000sin,cos,iiiiyiiiixRYYYYlRXXXXlii第七章

32、第七章间接平差间接平差例：水准网如下图，观测高差和路线长度为 ：已知点高程分别为：用间接平差求 、点高程平差值。标准答案: kmSSkmSSmhmhmhmh2,1505. 0,503. 0,501. 0,003. 132414321mHmHmHCBA008.12500.11000.111P2PmHmH5083.12,0047.1221习题：习题：7.2.24， 7.2.25第七章第七章间接平差间接平差7-4 精度评定精度评定1、单位权方差的估值2、 的计算直接计算：用常数项计算： PVVT2222211nnTvpvpvpPVVxWPlllxBPlPVlPVBxPVlxBPVVTTTTTTTT)()(rPVVT20第七章第七章间接平差间接平差3、基本向量的协因数矩阵间接平差中，基本向量为观测向量L，参数向量 ，改正数向量V和观测值的平差值向量 。令 =XLLVX