矩阵初等变换的若干问题.doc

1、前 言众所周知，初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法，它贯穿于高等代数教材体系的始终。这种思想方法的实质是将问题化繁为简、化大为小、化多为少,并且保持事物的某些性质不变。矩阵的初等变换起源于解线性方程组的三类同解变换:即交换两个方程的位置;给某一个方程乘以一个非零常数；给某一方程乘以某常数后加到另一个方程上。我们知道,一个线性方程组与它的增广矩阵唯一对应,因此当矩阵初等变换这一概念提出来以后，解一个线性方程组就等价于利用矩阵的初等变换来化简一个增广矩阵.至此，矩阵的初等变换似乎已经完成了它所要承担的“任务” 。但事实远非如此,随着矩阵理论的发展，新概念不断产生,新问题

2、也随之产生,如求解矩阵的秩,化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等。尽管这些问题也可以通过别的途径解决，但当我们利用矩阵的初等变换来处理上述问题时，往往会感觉到简便易行，有时甚至比用这些定义本身去解决相应问题更有效。近年来,矩阵初等变换在解决线性代数有关问题中的特殊作用逐步显现,但在一般的教材和文献中很少有对其进行详细归纳和总结的。本文便是通过查阅各种文献资料，在前人的基础上进行补充和完善而成的。本文首先介绍了矩阵初等变换的定义；接着总结了矩阵初等变换的五条重要性质并对其进行了严格地证明;然后结合相应的实例详细地探讨了矩阵初等变换在求矩阵的秩,求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程,求矩阵的特

3、征值，判断向量组是否等价，化二次型为标准形等十一个典型问题中的重要应用；最后对矩阵初等变换进行了合理的推广- 广义的矩阵初等变换，即分块矩阵所对应的初等变换和矩阵所对应的初等变换,广义的矩阵初等变换与普通的矩阵初等变换相比有着不同的性质因而它们适用于解决不同的代数问题。第一章 矩阵的初等变换分别称以下三类变换为矩阵的第，类初等行变换： 换法变换：对调矩阵中任意两行的位置； 倍法变换：以一个非零常数乘以矩阵中某一行； 消法变换：将矩阵中某一行的数量倍数加到另一行。类似地，可以定义矩阵的初等列变换,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。1.1 矩阵初等变换的重要性质命题1 矩阵的第,类

4、初等变换是独立的.即矩阵的第类初等变换不能由第，类初等变换实现，矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现. 证明 矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现,以为n阶方阵为例，经第,类初等变换(可以为有限次）所得矩阵,则或, 当，或时,显然,从而说明第类初等变换不能由第，类初等变换实现。 矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现,以单位矩阵为例, 由第,类初等变换所得矩阵的某一行定与原矩阵相应的某一行成比例,而（) 则的任意一行与原矩阵的任何一行无比例关系，所以第类初等变换不能由第,类初等变换实现。命题2 矩阵的第类初等变换可由矩阵的第,类初等变换实现。证明 以行初等变换为例来说明,设=而

5、 故矩阵的第类初等变换可由矩阵的第，类初等变换实现。命题3 对矩阵作行的初等变换不改变矩阵列向量之间的线性关系.证明 设矩阵经过一次行的初等变换后得到,和的列向量分别记为和,如果的任何一部分列向量(假设前个向量, ）满足线性关系式: 即 亦即=0 若设是初等变换对应的初等矩阵,那麽可逆且,将式两边左乘得 :=0 即,亦即,这说明的部分列向量之间所显示的线性关系即为对应列向量之间的线性关系，一次行的初等变换如此则若干次也一样，从而对矩阵作行的初等变换不改变列向量之间的线性关系.（同理,矩阵的初等列变换也不改变矩阵行向量之间的线性关系）命题4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.证明 设矩阵经过一次行初

6、等变换后得到，和的列向量别记为和,由命题3知矩阵的初等行变换不改变列向量之间的线性关系，则向量组和的极大线性无关组所含向量的个数相同,从而矩阵和有相同的秩。命题5 矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性证明：由命题4知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，从而矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性。1。2 矩阵的初等变换与初等矩阵阶单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为阶初等矩阵,也即以下3种形式： = =矩阵的初等变换之所以在求矩阵的逆，化二次型的标准型等问题中非常奏效,其理论依据主要来自以下命题：命题6 设为行列矩阵，对实行一次初等行变换,其结果等于在的左边乘以相应的阶初等矩阵; 对实行一次初等列变换，其结

7、果等于在的右边乘以相应的阶初等矩阵。证明 以第类初等行变换为例,用阶初等矩阵左乘矩阵得：=其结果相当于把的第行与第行互换。这样就在矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间建立了联系,即对做一次初等变换就相当于给左乘或右乘一个初等矩阵。1.3 矩阵初等变换的应用 求矩阵的秩由命题4知矩阵初等变换不改变矩阵的秩，且任意一个矩阵均可以经过一系列初等行变换化为级阶梯形矩阵,因此我们要确定一个矩阵的秩，当它不是阶梯形矩阵时,可以先利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵,然后由阶梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩。例1 讨论阶方阵的秩 解：对矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵:=当时，；当时，;当时，；当时，.如果我们要求向量组的秩

8、，可把每一个向量作为矩阵的一个列从而转化为求矩阵的秩。 求可逆矩阵的逆矩阵若是阶可逆矩阵，将与(阶)并排放在一起,组成一个矩阵 (),因为（)=（),所以对矩阵()做一系列的初等行变换， 将其左半部分化为单位阵时，其右半部分就是。即 （）（)同理,也可通过初等列变换得到： 例2 设=，求。解:由题意知， 初等行变换法()=于是= 初等列变换法于是=由此可见，初等行变换法和初等列变换法殊途同归。这个方法和以前通过伴随矩阵求逆矩阵的方法相比较,当阶数较大时计算量要小得多。另外，用初等变换求逆矩阵时不必先考虑逆矩阵是否存在,在进行初等变换的过程中如果发现矩阵不是满秩的,它就没有逆矩阵。 解矩阵方程

9、求可逆矩阵的逆矩阵,也可以理解为求矩阵方程的解，显见唯一解是：,而（）=(）。上式表明施行若干次初等行变换将可逆矩阵化为单位阵时,同样的初等行变换施行于就得到,即：()()这是求解矩阵方程较为简便的方法。例3。1 求解矩阵方程，其中=，=解:由题意知，（）=因此= =当为阶方阵且为维向量时,矩阵方程即为线性方程组,因此此法也适用于求解线性方程组。同样当可逆时，求矩阵方程的唯一解,也可用初等列变换较为简便地求得：于是当和均可逆时,可用初等行(列)变换求矩阵方程的唯一解，即: (）()例3。2 试用初等变换求解矩阵方程，其中解： 因为，故和可逆，先计算（）=故再计算故 求一个向量组的极大线性无关组

10、，并用该极大线形无关组表示其余向量若为矩阵,其中（）为其列向量,对施行初等行变换化为行简化阶梯形矩阵（所谓行简化阶梯形矩阵是指阶梯形矩阵满足：每一个非零行的第一个不为零的元素是1其余元素都为零）其中（）为其列向量。由命题3知矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性关系，故若，,(）为矩阵的列向量组的极大线性无关组则矩阵中相应的列向量,，,即为的列向量组的极大线性无关组。例4 在中求向量组=(1,0,-1，1),=(2,1，2,0)，=(2,-1，0, 1)，=(0,-1,2,1)的极大线性无关组，并把其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。 解： 以为列作矩阵，并对施行初等行变换,化为行简化

11、阶梯形矩阵,即=设的列向量为，显然是的一个极大线性无关组，并且,从而为的一个极大线性无关组,并且如果对施行初等列变换，则可能得出错误的结果，因为列变换可能改变向量的位置,此时可以通过编号的方法来解决。 判断向量组是否等价判断向量组与向量组是否等价时,构造矩=对做初等行变换化为阶梯形矩阵，可以判断是否可以由线性表出,再构造矩阵=用同样的方法也可以判断是否可以由线性表出,从而判断出这两个向量组是否等价。例5 证明以下两个向量组等价=(1，2，3），=(1,0，2），=(3,4,8），=(2,2,5),=（0,2,1）证明 令=对,分别进行初等行变换得： 以上和两矩阵说明:，；，所以上面的两个向量组

12、等价。 求中从一组基到另一组基的过渡矩阵设和分别为维空间中两组不相同的基且=，写成矩阵形式为，由可逆知, 即（)(）例6 已知=（-3,1，-2），=（1，1,1）,=（2，3,-1），=（1，1，1）,=(1,2，3）,=（2,0，1）是的两组基，求从前者到后者的过渡矩阵.解：由题意知=,=（)=故从前者到后者的过渡矩阵为= 求坐标变换公式设已知,为线性空间中两个不同的基，且=,=, 因此有= 即,由可逆得,亦即（）()例7 已知，为中来两组不同的基,向量在基下的坐标为（-1, 2, 0， 0）,且=，求在基下的坐标。解：由题意知 =，其中=则 ()=故在基下的坐标为： （1，2，0，0)

13、求线性变换的矩阵设线性空间中的线性变换在基下的矩阵为，即，可用矩阵表示为,由可逆得:=,即 (）()例8 已知的线性变换， ,求在基（1,0,0）,(1，1,0)，(1,1，1）下的矩阵。解：由题意知，,故令=(,，）=，则()=故在基下的矩阵为： 化二次型为标准形对任意二次型,一定存在可逆线性替换将其化为标准形，即存在可逆矩阵使为对角阵，故例9 化二次型为标准形,并写出所作的变换。解：由题意知,二次型的矩阵为：=由 =其中, =， ()故所作的非奇异变换为：则二次型的标准形为 : 这种方法的最大优点就是在化为对角阵的同时就求出了非奇异矩阵.值得注意的是, 由于对应的行变换为:,且，故对应的列

14、变换为:；由于对应的行变换为：,且,故对应的列变换为：;由于对应的行变换为:，且，故对应的列变换为:. 求矩阵的特征值对于一个方阵如果存在可逆矩阵使得，则称与相似.我们知道可逆矩阵可以表示成若干个初等矩阵的乘积，即如果可逆则存在初等矩阵，,使得=，由于初等矩阵和它们的逆矩阵都为可逆矩阵且一个矩阵左(右）乘一个初等矩阵等效于将该矩阵作相应的初等行（列)变换。于是可得到利用矩阵初等变换求方阵的特征值的方法:将矩阵作一种初等行变换,接着将对应的逆变换作用于列，即将左乘一个初等矩阵再右乘一个初等矩阵,如此这般直至将变成上(下)三角形矩阵，因为相似矩阵有相同的特征多项式因而有相同的特征值，故所得矩阵的对

15、角线上的元素便是矩阵的特征值。即：例10 设,求的特征值.解：将做成对的初等变换：所以的特征值为: 3,2,1,0值得注意的是,对施行初等变换必须是行与列成对施行,这样才能保证将左乘一个初等矩阵再右乘一个初等矩阵。 一个矩阵左乘初等矩阵等效于对作行变换：,右乘初等矩阵等效于对作列变换：,且,因此与初等矩阵相对应的列变换为； 一个矩阵左乘初等矩阵等效于对作行变换，右乘初等矩阵等效于对作列变换：，且因此与初等矩阵相对应的列变换为； 一个矩阵左乘初等矩阵等效于对作行变换:,右乘初等矩阵等效于对作列变换：,且，因此与初等矩阵相对应的列变换为:. 求线性空间的一组标准正交基设是的任意一个基,以(i=1，

16、2,，n)为其列向量构成矩阵则是一个阶正定矩阵必与单位矩阵合同，即存在阶可逆矩阵使得,也即，上式说明对矩阵施行一系列初等列变换和初等行变换可以变成单位矩阵,记矩阵的列向量为（i=1,2，,n）则：的列向量组即为的一个标准正交基，于是得到求标准正交基的矩阵初等变换法：的列向量即为所求.例11 设是5维欧氏空间的一组基，其中,，求的一组标准正交基.解:由题意知是的一组基，且,令,则，则:从而的一组标准正交基为： ，, 第二章 矩阵初等变换的推广2。1分块矩阵的初等变换以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换：互换两个块行的位置;用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一个块行；把一个块行的(矩

17、阵)倍(即这个块行里的每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵)加到另一个块行上; 类似地，可以定义分块矩阵的初等列变换。分块矩阵的初等列变换和初等行变换统称为分块矩阵的初等变换。 2。1。1分块矩阵初等变换的重要性质分块矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换而得到的矩阵称为分块行(列）初等矩阵。 命题7 对一个分块矩阵作一次分块矩阵的初等行（列）变换，就相当于在的左（右)边乘上一个相应的分块初等矩阵。证明 以二阶分块矩阵为例，只看第种分块初等行变换的情形：设=，若将的第一个块行的倍（左乘）加到第二个块行上得：这与的结果是一样的.2.1.2分块矩阵初等变换的应用 利用分块矩阵的初等变换求逆矩阵例13

18、设，和可逆，求。解：由，且则: 利用分块矩阵的初等变换计算行列式例14 设、均为阶方阵，且, 求证：证明 因为两边取行列式，并由已知条件得: 利用矩阵的初等变换分解矩阵例15 求证: 已知为非奇异矩阵，则存在非奇异下三角矩阵与非奇异上三角矩阵，使。证明 对的阶数用归纳法，当时命题显然成立,假设时结论成立，则当将分块成：由归纳假设知且，其中和分别是阶非奇异下三角与非奇异上三角矩阵,又因为其中,上式两端取行列式有:（若，则由于,其中和分别是阶非奇异下三角形与非奇异上三角形矩阵,即从而，与已知矛盾。)于是得：令与分别是非奇异的下三角矩阵和上三角矩阵。从而命题得证.2。2 -矩阵的初等变换矩阵是指元素

19、为的多项式的矩阵，-矩阵的行(列)初等变换是指： 交换矩阵的两行（列）； 用非零常数乘以-矩阵的某一行（列); 用矩阵的某一行(列)的倍加到另一行（列)的对应元素上，其中是的一个多项式。2.2.1 矩阵的初等变换的重要性质命题8 对于任意阶复矩阵，存在可逆方阵和，使得：=。其中为的标准形，即:（)为的不变因子，且| （）。 证明 由于为任意阶复矩阵,故对施行初等行变换，化为:，其中()为的不变因子,且()由初等变换和初等矩阵的关系知,存在初等矩阵,， ,，使得：(）=,取=, =，则和均为可逆矩阵且=。现证,即标准形的对角线上无零多项式。因为|=|，其中|和为非零常数,为的特征多项式，即|0，

20、所以|0,即.从而命题得证.2。2。2 矩阵的初等变换的重要应用 判断复矩阵是否可以相似对角化 任意阶复矩阵可对角化的充分必要条件是：的每个不变因子均没有重根。由命题8知可以将的特征矩阵进行一系列初等变换化为标准形，从而得到判断复矩阵是否可以相似对角化的初等变换方法,即;（)若不变因子（)无重根则可以对角化。例16 判断矩阵否可以相似对角化,其中解：由题意知,= 从上式可知不变因子为： 1,，,由于每个不变因子均无重根所以可以对角化. 计算f(x），g（x）的最大公因式(f（x)，g（x)将f（x），g（x）做成两行一列的X-矩阵，因为(f（x）,g(x）=(g(x)，f(x)且（f(x） + q（x）g(x),g(x)）=(f(x)，g(x）),所以对X矩阵施行初等行变换不会改变两个多项式的最大公因式,因此可利用X矩阵的初等变换方法求(f(x）,g（x).即：则（f(x)，g（x）)=d（x）例17 设 求（f（x),g(x)。解： 由题意知 所以(f(x），g（x）)上述方法可推广用于求多个多项式的最大公因式，若对常数矩阵限制不做第种初等行变换，还可以用矩阵的初等变换求多个整数的最大公因数.结 束 语矩阵初等变换是高等代数中最重要的概念之一,它的内涵十分丰富.本文首先介绍了矩阵初等变换的定义及其重要性质，然后结合实例介绍了矩阵初等变换的若干应用,最后对矩阵的初等变换进行了