国家开放大学电大《常微分方程(本)》期末题库及答案

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2、 如果函数组乃。）疗2（乂）在区间i是线性相关，那么它们的朗斯基行列式w（x）在区间i上（）.有界是保证方程华=y）初值解惟一的（5）（）条件.dx二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6.方程的x + 2x + x = ef的任一解的图像是三维空间中的（）.a. 一个曲而 b. 一条曲线c. 一族曲面d. 一族曲线四=vzivr + i（）7 .方程mv.a. 有奇解y一土 1 b.有奇解ylc.无奇解 d.有奇解y一一18. 方程y瑚+、夕的通解是（）.a-y = cx b.y = c4xc.y ex2 d y = cx-i-4c9. 相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（）积分曲线.

3、a.无穷条 b. 一条c.二条 d.三条10. 方程-：寸卜的任一解的最大存在区间一定是（）.4（oo,0） 3.（00,+8）c. 09+oo） /）.!,+ oc）三、计算题（每小题8分，共40分）11. 虫dx12. (x + y)dx (x y)dy = 0，dx x y14.(x3 +xy2 +x2)dxl x2ydy= 01 u w 22 ,15-xy -y = y sinx四、计算题(本题共15分)五、证明题（本题共15分）17.设y（x）是。十一）上的连续可微函数，且满足瓯3",“）或、求证试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，本题共15分）1. （1）满足|v|

4、vl的条形区域2, （2）ex9xex：k （3）二知”=0 | ,±2,4. （4）恒等于零5.（5）充分二、单项选择题（每小题3分，木题共15分）6. b 7. c 8. d 9. a 10. b三、计算题（每小题8分，共40分）11. 解：当yl时，分离变量积分得2小+g= cex1 + cey 解得通解石12. 解：方程改写成dy _x + y dx x-y dydx令y=u,贝g=x1/ f ju代入得dux=dx1 + u u1 + w21-w udu b|j x=dx分离变量积分，得f= dxj 1 + w2 j xarctan u ln(l + w2) = in |

5、x | 2原方程通积分为arcian 乏=in 77 +cx13. 解：方程两端乘y，得y = y2 +x2 dx x令y2=z,则2y. = 代人得 dx dx1 dz 12=z + x2 dx xdz 2=z + 2x dx x齐次诵解z = cx2令非齐次解为z = c(x)x2,代入得c(x) = 2x + c即 z = cx2 + 2x3,原方程通解为y= 士37 /14. 解：dm c dn=2xy =dydx方程是全微分方程，取(x。,) = (0,0)原方程的通积分为(./ + xy1 十 x5 )dx cla即lx4+lx2 2+lx3=c42315. 解：方程改写成，卫 $

6、inx = 0即(+cosx) = 0y有座+ cosx = g积分，得通积分 y dxin | j/1 +sinx = cx + c2四、计算题(本题共15分)16. 解：特征方程为3 a 1ia 心)=04 1-a特征根 = 3,% = -1=3对应的特征向量为人 2 = 1对应的特征向量为一1 _-2原方程组的通解为，、(3t -/)x 八 e _ e=g + c2y)3 j -2°刁五、证明题(本题共15分)17. 证明 由已知条件y(z)满足方程y (x) + y(x) = a(x)这里 lim a(x) = 0x->+co而该方程过(, y。)的任一解y(x)为=&

7、quot;e u r0. p,.传j%.n lhn»3)二 ittn 。inn _n x r_ a<.r'=01 inn r十p ”=lim。3)=0常微分方程题库及答案二一、填空题(每小题3分。本题共15分)1. 方程卷="也+少满足解的存在惟一性定理条件的区域是-2. 方程冬 n/r7的奇解是维线性空间.3. 以阶线性齐次微分方程的所有解构成一个4. 方程的等价方程组是5. 方程组二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. 方程i十工=。的任一非零解在（t, x）平面上（）零点d.无a.有无穷多个b.只有两个c.只有一个7. 方程3过点（0, 0）的解

8、（）.a.只有一个 b.只有两个c.有无数个d.只有三个8. 方程四过点（1, 1）的解的存在区间是（）.匹（一8,2",十 8）d. （l,+oo>9. 方程的所有常数解是（）.a.。r _3ucupd.，=夸十如上=0.±1 m10. 平而自治系统在相平而上的一条轨线，对应（）积分曲线.a. 一条 b.两条c.无穷多条d.三条三、计算题（每小题8分.本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11. （l+jr）ydx+】y）工曲=012. 学+ 1±克心*” or x13. wdx（2y +工广'）（1=014. _y=£y'+&

9、gt;' +（）'15 .寸+ （y'v + l = o四、计算题（本题共15分）16. 求下列方程组的通解.dx瓦=工七倔一 2x+3y五、证明题（本题共15分）17. 设p（z） 一个多项式函数，证明：方程=p（jr）cosy所有解的存在区间必为（8,十 8）.试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分。本题共15分）1. 全平面 2. >=±13. n(y=y4 j , = _邛_石5. (0, 0), (0, 1)二、单项选择题(每小题3分。本题共15分)6. a 7. c 8. b 9. d 10. c三、计算题（每小题8分。本题共40

10、分）1. 解将方程改写为y 工积分得yln|y =x+ln| j +c即通积分为yln|x>| =c12. 解先解齐次方程，通解为clr + c令非齐次方程的特解为(4分)代入原方程，求出原方程的通解为尸*+ c）13. 解m(jr.y)=广，, n(iy) = (2y+jre r >3m _ bn因此，原方程是全微分方程.取cx9 ？0）=（00）原方程的通积分为（c-,dx j 2ydy = c即xe，一y =c14. 解这是一个克莱洛方程，因此通解为y-cx+c+c15. 解令一 k y = = =z代入方程，得等=-（1+/分离变量，积分，诰jdx + c?=tan（j：

11、+ c）于是单=tan（ jhc> dz积分，得通解为yln i co" 工+c） i +g四、计算题（本题共15分）16.解特征方程为if 1 1! aae| =半一4人 + 5=0-2 3-人 <特征根为必=2tz,（3分）a=2+f对应特征向量满足m加即况+6=02a 4-( 1 r )6 = 0解之得6=(1 + oat令=1.则5=1 十 f（7分）于是，对应解为1 =/"1 = c:<(co$/4-：sinr) 11+， 1l+r stnrcosf + 5im分）<10所以，原方程组的通解为cosfy- sim十cos/4-sinz（15

12、 分）五、证明题（本题共15分）17.证明因为p（z）在(8,十 8>上连续,cosy及(cosy)'si ny（ 8,十8）（6分）上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又显然号+如&=0.±1，士2 是方程的常数解.（9分）现设>=>（工）是方程的任一解，若其初值在常数解上，则由解的惟一性，y（z）=奇+ m的存在区间必为（ 8,+ 8）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的延展定理，可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数解，故其存在区间必为（一8,十 8）_u5分）常微分方程题库及答

13、案三一、填空题（每小题3分.本题共15分）1. 方程华=oo）=vo满足解的存在惟一性定理条件的区域是（1）ax2. 方程/ 一2y' + y=0的基本解组是.虫=f（x3. 初值问题一八'刃的解所满足的积分方程是4. 方程牛=必通过点(1, 1)的解的最大存在区间是(4)dx5平而系统<的奇点0(0, 0)的类型是 y二、单项选择题【每小题3分。本题共15分)6. 方程虫=占过点(0, o)的积分曲线().dxa. 有惟一一条b.有无穷多条c.只有二条d.不存在7. 用待定系数法求方程广一6>，'十5广一 "十 *的非齐次解乃的形式应设为()a.

14、 y =人。'+ 8： + gr+1>b. 齐=ajc/ + bx: 4 cr+dc. y产8. 已知方程ry"+ j f r的一个特解为检又对应齐次方程有一个特解为inx,则原方程的通解 为().a >=g了十gihji j-=b. 尸gf + glnr + kc, y=g - glnx工'i). y=c|4-c：lrix-bxr9. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差()a.不是其对应齐次微分方程组的解b.是非齐次微分方程组的解c.是非齐次微分方程组的通解d.是其对应齐次微分方程组的解10. 一阶变量可分离微分方程mx)ny)dx- p(x)q

15、(y)dy = 0的积分因子是()a"=1n(y)p(x)b 4 =?m(x)n(y)c.jll = m（x）g（y）三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分：11. 4-y12. ,=2*;/ +13.1 掣=y d.t *143 一二）妇上澎=0x2 x15. y y2 卜 y：cnxr = 0四、计算题（本题共15分）= 2x-3y=x-2y五、证明题（本题共15分）17.证明，当pz0,q> 0时，方程e=°的一切解在0,+oo）±有界.试题答案及评分标准一、填空ss（每小18 3分，本题共15分）1. （1）除去轴的平面2. 2#

16、g3. （3）y=yo+j /（x»）d.vt. （4x-oq.2）5. （5）检定焦点二、单项选择建（每小ib 3分，本h共15分）；6. b7.b8.c9.d10. a三、计算禽（每小题8分，共4。分）11. 解：将方程改写为令“=乎.则y'=_rt/ 4- n.代人上式碍«r * = u i 护分离变ji枳分得arcsinw = lnl j | +c取方程的通段分为arrsiri in i -r i h- c 12.解，克莱洛方程.通解为13. 斜：方程改写成dx 1*齐次通解为y = o 令非齐次解为y=c（x）j代人田原方程通解为y=cxyx1 1a s

17、3m 1 3n14-解'石=_亍=耘原方程是全微分方程.取（&.为）=（1.0>,原方程的通枳分为（tr* 工）dr + f dy «= c 即 "+之=（x15. 解，方程改写成,或（兰+ sinx）'=oy即 j_单+或口 =仁枳分得原方程通枳分为ini yl cojlt = c|x 卜c；16. 解，特征方程2- a 一3i aaei =3 1兀和船对应的特征向量分别是 和11原,方程组的通解是=g y "五、证明fis（本题共15分）17. 岫明原方程的特征方程为r + pl+g=o特征根为土/正一叶s 2h然.当p>0

18、.q>0时,特征根只有3神情况：两个相异实根a.a：且avo.avos（2）二重实根a,且人v0,（3一对共貌复根a±阳俘=和一斯挪=一#<0.此时,通解分别为>（x） = o4 4y（i=（g，c:x）eay（4） = l（"cos供 4 c: sin/lr）于是lim y（ r） =0.因此yd）在。+8）上有界 当/lo</><）时.特征根= 士，命对应通机为v（jr>j=c（ros/7x 十 ciun jj/.r显燃也在9+s）r有界.常微分方程题库及答案四一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 微分方程rd +./

19、>*= yu+ddy的通解为y =ah+r “】一y睥ub. (i-k1+/> = cc.(in h + r'x i+/ = (2. a<v=y: il点h.l)的铺的4企区间姓().nxa. (- <>?)mq.+8>c( i +：,、>rx( 一， +<»)it了 * y 卜 sin/al ',1厅理的任 解的图厚足空间中的(a. 一条曲线k两个曲而c 一个曲而rx两条曲蟆4. 二阶我性齐次博分方密的所再解构成一个（）线性空间.a. 1 «11 2 维c 3雄n 4雄5. 如果平而n治系统的解憎一.那么它在

20、相平面上的轨浅以（>.a.不唯一的b.唯一的c奇点d.闭轨二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. 做分方梓丁（/尸一2乂/+】=。是 阶微分方程.7. 方程£+”g=b的任一解的存在3间必是.&如果函数ffl>i（x）.y：（x）在区间/是税性桁关.那么它们的阴斯基行列式w（t）在区同1上.9. 二阶 l y" + jr>r：»=（j的等价方程坦是.10. 点是方程期，奇点的充分条件是*=q5y>三、计算题（每小题8分，本题共40分）11. 未可分禹变si方程tanyclr-courdy = 0的通枳分.dyv1 x12. 求一

21、阶线忤齐次方程| =二+ $ 一的通枳分.（lr j2 y13. 求全推分方程2（£r + （h-：；）dy=0的通枳分.h.求克菜洛万程=巧'+ 2（：/）的通解.0求恰当导散万程y/+（y）'u0的通积分.四、计算题（木题共15分）16. 求下列常系数线性做分方程<0的通#har瓦-3工+勺idy石"+2、五、证明题（木题共15分）17. 匝明，一阶湫分方程dv *>nydx jt： +/ + 1的任一"的洋在区间必是（一x. + s）.试题答案一单项选择知（倍小88 3分.本js共m分）ld2- a3. 二、顼空通（岛小盹.1分，卒担共r分）6. r.恒等于穹，=一"一了 y10. p（./.y.t） q（八.火）=0三.计算跑（每小题卜分.本魄共i。分）分也重昭估希电枳”再iiuy即 inciny) =