北京市海淀去2011-2012高三上学期期中数学理科试卷及答案

1、北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数学(理科)2011.11选择题(共40分)一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项.1. 设集合 A Jx|(2x1)(x3) ：0?，bA.x|1ex 乞 4?，则 A B =1A. 1,3)B. (2,3)C. (,4D.(l,4222. 若f (x)=，则f (x)的定义域是lg(1 -x)A. (1,：)B.( 0,1)(1,：)C.(：，-1) (-1,0)D .(_ ：, 0) (0,1)3.已知等差数列 a中， a1 = 1，d = 3，则 a1 a2 d a

2、4 a5 =A. 15B. 17C. -15D. 16本卷第9页(共8页)4.已知非零向量a, b，那么“ a b>0”是“向量a，b方向相同”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列四个函数中，以 二为最小正周期，且在区间(一，二)上为减函数的是 2xA. y =sin 2xB. y=2|cosx| C.y = cos-D.y = tan (-x)6.7.要得到函数y二si nx_cosx的图象,只需将函数y二cosx_si nx的图象A.向左平移-个单位长度B.向右平移工个难位长度42C.向右平移兀个单位长度D.向左平移竺个单位长度48.已知

3、定义域为(O,垃)的单调函数f(x),若对任意x(0,畑)，都有 f (f (x) + log 1 x) = 3，则方程2f (x) =2 x的解的个数是A.3 B. 2C.1 D. O非选择题(共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小題5分，共30分.19. 曲线y= 在x=2处的切线的斜率为 x10. 在各项均为正数的等比数列a 1 中，若a2 = 2，则ai +2a3的最小值是11点A是函数f(x)二sinx的图象与x轴的一个交点(如图所示).若图中阴影部分的面积等于矩形 OABC的面积，那么边AB勺长等于.12.已知点A(1, 1) , B(5 , 3)，向量AB绕点A逆时针旋转

4、 込到AC的位置，那么点C的坐标是2.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c ,b = 10,A ABC的面积为20. 3，则AB(中最大角的正切 .14.已知数列 A:a1,a2,as, ,an(n_3),令 TA =x|x 二 a a,仁i ： j 岂 n card (Ta)表示集合Ta中元素的个数. 若 A：2, 4, 8, 16,则 card (TA) =； 若 ai+ -ac (c为常数.1 兰 i 兰 n T )，则 card (TA) =.三、解答题：本大题共6小題，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题共13分)已知函数 f (x)二 si

5、n 2xcos2x.；3sin2 2x.(I )求f (x)的最小正周期；(II)求f (x)在区间0,上的取值范围.416. (本小题共13分) 已知数列an是公差不为零的等差数列，a2 =3，且a5是&4,兎的等比中项(I) 求数列aJ的通项公式；(II) 设Sn为数列an的前n项和,求使an二Sn成立的所有n的值.17. (本小题共13分)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量 X (单位：吨)满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额 尺单位：元)与日产量 X满足函数关系式1 3 2! X3 ax2 290x,0 ：x ：120R 3020400,120已

6、知每日的利润y = R - C ，且当X=30时y=-100.(I )求a的值；(II )当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值18. (本小题共13分)已知函数 f(x)=lnx ax-a2x2(a R).(I )若x=1是函数yWf(x)的极值点,求a的值;(II )求函数f (x)的单调区间.19. (本小题共14分)设Sn为数列a*的前n项和，Sn = a*-1 (，为常数，n =1,2,3,).(I )若 =a；，求的值；.请说明理由一an,求数列(an1)bn(II)是否存在实数，使得数列an是等差数列？若存在，求出的值；若不存在3(1 1 1 )当，=2 时，右

7、数列bn满足 bn 彳=an bn ( n = 1,2,3,)，且 0 ，令 cnCn的前n项和Tn20. (本小题共14分)Ixl X e P已知函数f(x)二 2其中P,M是非空数集，且 P M =.,I-x2+2x,xM设 f (P)二y| y二 f(x),xP f (M ) =y| y = f(x),x M.J(I )若 P =(-：,0) , M 二0,4求 f(P) f(M);(I I )是否存在实数 a -3，使得 P M 二-3,a，且 f(P) f (M ) = -3,2a-3 ?若存在，请求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由；(III)若P M = R，且0 M ,1

8、 P , f (x)是单调递增函数，求集合 P,M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数学(理科)2011.11参考答案一、选择题1、A ； 2、D ； 3B、； 4、B ； 5、D ； 6、A ； 7、C ； 8、B ；二、填空题1 l53L1? C = 09、； 10、4 2 ; 11、； 12、(3, -3) ; 13、 或-、3 ； 14、6,4兀32n- 3,ch0三、解答题2 11 cos4x15、解：(1)v f(x) =sin2xcos2x -3sin 2x = sin 4x -、3, 4 分2 21 3、3二、3= si n4x cos4x=si n(4

9、x )“ 6 分2 2232函数f ( x)的最小正周期为n ,7分1 二 34 :(2)由(1)知：f(x)= sin(2x ) ，因为 0 空 x ，所以 4x 2 3243333 3.3所以sin(4x )乞1, 10分 所以一：i3 < sin(4x)1 -23322所以f (x)在区间0,工上的取值范围是3, 13分4 '2216、 解：(1)因为a5是a4, a8的等比中项，所以 a§ =4&8., 2分设等差数列a.的公差为d，则 他 3d)2二(a22d)(a26d), ,4分因为a2 =3，所以d2 2d =0，因为d = 0所以d =-2 ,

10、 , 6分所以an二-2n 7, 7分(2)由an-2n7可知， =5，所以Sn=一-, 9 分二一-2n)n = 6n- n2,11 分2 2由 an =Si 可得：2n 1 - 6n - n?所以 n -1 或 n - 7 ,13 分工132x3 ax2 270x10000,0 ： x < 12017、解：(1)由题意可得：y =30,2分10400 20x,xK 1201因为 x=30 时 y=-10 0 ,所以100303 a 302 270 30 10000。， 4 分30所以a =3,5分1o2(2)当 0：x”：120 时，yx 3x 270x10000,”6 分309分y

11、取得1 2 1 2 yx 6x 270, 8 分由 yx 6x 270 = 0 可得：Xr = 90, x2 - -30 (舍)10 10所以当x (0,90)时，原函数是增函数，当 x (90,120)时，原函数是减函数，所以当 x = 90时,最大值14300. ,11分当 x _120 时，y =10400 20x 乞 8000。“12 分13分所以当日产量为 90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元。18、解：(1)函数f (x)的定义域为(0, ：),1分f ( x) Jax2 2&-2a x ax 1a x -x因为x=1是函数y二f (x)的极值点，所以f (1)

12、= 1 a-2a2 =0,5分11所以a 或a = 1，经检验，a 或a = 1时，x=1是函数y = f (x)的极值点。221所以a的值是或1.,6分22 2(2)由(1)知:f (x)1_ 2-2a x ax 1a -2a x =xx1若a =0， f (x)0所以函数f(x)的单调递增区间为(0,=), 8分x(2ax 1)(-ax 1)11右 a = 0，令 f (x)0 解得 x1， x2, 9分x2aa当a 0时，f (x)、f (x)的变化情况如下表x111(0,)(,：)aaa_ - x +0f (x)极大值f (x)I函数y二f(x)的单调递增区间是1 、 1 (0, _)

13、，单调递减区间是(，=：)；aa11分当a ： 0时，f (x)、f (x)的变化情况如下表(0,f (x)+丄2a0(-+oCf(x)极大值11函数y = f（x）的单调递增区间是（0,），单调递减区间是（，亠）；,13分2a2a19、（1）因为Sn=an-1，所以 q = q -1,啊 a2 二a2-1, q a2 a3 二a3_1,1 分由印= a _1可知: -1.所以 a1，a22，a3 二， 31 (1) ('；1)因为a3 =a；，所以2A(一1)324，所以，=0或，=2,3分C -1）4（2）假设存在实数，使得数列an是等差数列，则2a2 -a1 s, 4分2 22

14、1 2 2-21 ,由（1）可得：2所以23 ，即1 = 0，矛盾（丸 _1）2Z-1 仏1）3仏1）2（丸1）3所以不存在实数使得数列an是等差数列.，6分当 - 2时，Sn = 2an -1 所以 Sid = 2an4 -1（n 一 2），且 a1.所以 an = 2an -2anJ即 an =2an(n 一2)a所以，an HO( n WN* )，且亠=2( nZ2) an所以数列aj是以1为首相,以2为公比的等比数列. 所以an =2n（n N*）3因为 bn* =an +bn( n = 1,2,3，)且 b-，所以=an_+bn1= an Jan J2bn _2二an4 - an-

15、a!2n 1= 2nQ 2n"亠亠 1-=2 2(n -2)当n =1时，上式仍然成立.所以bn二2an因为Cn =(an 1)bn所以Cn2n42 -2nJ(2n 1) 2 11, 11 分(2n 1)(2n 1)1,12 分2*4(2n4 1) (2n 1) 一2心 1 2n 11 1 1所以 TncCn = 2(-.一n1 2 -11 12十+ -) = 1 2 1 2 1 2 1 2n 114分20、解:(1)因为 P=(：,0), M =0,4,所以 f(P)=(0,二),f(M)=-8,1所以 f (P) f (M ) = _8, ：), 3分(2)若一3M贝U f (一

16、3) = 一15珥一3,2a 一3，不符合题意。所以 一3P,从而f(_3)=3.因为 f ( _3) =3 _3,2a -3，所以 2a _3_3，得 a _3.若 a 3，则 2a -3 3 -(x-1)2 1 - -x2 2x.因为P M =.,所以2a -3的原象x P且3 ：冷乞a 所以x0 =2a-3乞a得a乞3，矛盾。所以a=3.此时可取P=_3,-1) 0,3，M工-1,0),满足题意 ，8分因为f(x)是单调递增函数，所以对任意x < 0，有f (x) ： f(0) = 0，所以xM .所以(-：,0) M 同理可证：(1,+ ：) P .若存在 0 :： x0 ：1，使得 x0 M，则 1 f (x0 -xo 2x0 x 于是x0x0 - 2x05 M . 记 X1 -讥-2x° (0,1)，x2 - 2x1，, 所以x°,X1心 M 同理可知X1,X25 M，, 由 Xn 1X2Xn 得 1 -Xn 厂1 * X； - 2X.二(1 - X.)22 n所以和=(1 - Xn) =(1 - Xn/