2022年西南大学2021-2021学年第2学期高等数学A期末考试试卷

1、1 装订线西南大学 2016-2017 学年第 2 学期高等数学 a期末考试试卷20162017学年第 2 学期考试科目：高等数学a考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）1二元函数2ln(21)zyx的定义域为。2. 设向量(2,1,2)a，(4,1,10)b，cba，且ac，则。3经过(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。4设yzux，则 du。5级数11( 1)npnn，当 p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）1微

2、分方程2()xyx yy的通解是（）a2xyceb22xycec22 yy ecxd2 yecxy2求极限( , )(0,0)24limx yxyxy（）a14b12c14d12得分得分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -2 3直线:327xyzl和平面:32780 xyz的位置关系是（）a直线l平行于平面b直线l在平面上c直线 l 垂直

3、于平面d直线 l 与平面斜交4d 是闭区域2222(, ) |x yaxyb， 则22dxy d（）a33()2bab332()3bac334()3bad333()2ba5下列级数收敛的是（）a11(1)(4)nnnb2111nnnc1121nnd311(1)nn n三、计算题 （本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分）1. 求微分方程xyye满足初始条件0 x，2y的特解。2. 计算二重积分22dxydxdyxy，其中22( , )1,1 dx y xyxy。3设( ,)zz x y为方程2sin(23 )43xyzxyz确定的隐函数，求zzxy。得分精品学习资料 可选择p d f -

4、- - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -3 装订线4. 求曲线积分()()lxy dxxy dy，其中 l 沿222(0,0)xyaxy，逆时针方向。5. 计算5261dyxy dxdy， 其中 d 是由3yx，1x及1y所围成的区域。6判断级数1( 1)11nnnnn的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。7将函数1(1)(2)xx展开成 x 的幂级数，并求其成立的区间。精品

5、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -4 四、解答题 （本大题共3 小题，每小题7 分，共 21 分）1抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。2. 求幂级数1( 1)(1)!nnnnxn的和函数。3. 设函数( )f x和( )g x有连续导数，且(0)1f，(0)0g， l 为平面上任意简单光滑闭曲线， 取

6、逆时针方向， l 围成的平面区域为 d ，已知( )( )( )ldxydxyf xg x dyyg x d，求( )f x和( )g x。得分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -5 装订线参考答案一、填空题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）12(, ) |210 x yyx233920yz41lnlnyzyzyzyzxdx

7、zxxdyyxxdz501p二、单项选择题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）1c2c 3c 4b 5a三、计算题 （本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分）1. 求微分方程xyye满足初始条件0 x，2y的特解。解：先求0yy的通解，得1xyc e 2 分采用常数变易法，设( )xyh x e，得( )( )xxyh x eh x e 3 分代入原方程得( )( )( )xxxxh x eh x eh x ee 4 分得21( )2xh xec 5 分故通解为12xxyece 6 分将初始条件0 x，2y带入得32c，故特解为1322xxyee 7 分2. 计算二重积分22d

8、xydxdyxy，其中22(,):1,1dx yxyxy。解：设cos ,sinxryr 1 分则10,12sincosr 3 分所以1212220sincoscossindxyrrdxdydrdrxyr 5 分20(sincos1)d 6 分1.5cm 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -6 42 7 分3. 设( ,)zz x y为方

9、程2sin(23 )43xyzxyz确定的隐函数，求zzxy。解：设( , , )432sin(23 )f x y zxyzxyz 1 分12cos(23 ),44cos(23 ),36cos(23 )xyzfxyzfxyzfxyz 4 分2cos(23 )14cos(23 )4,31 2cos(23 )31 2cos(23 )yxzzffzxyzzxyzxfxyzyfxyz6 分所以1zzxy 7 分4. 求曲线积分()()lxy dxxy dy，其中 l 沿222(0,0)xyaxy，逆时针方向。解：圆的参数方程为：cos ,sin (0)2xatyatt 1 分0220()()( cos

10、sin( cossin)cos)sinlxy dxxy dyatat daatat datt3 分220(cos2sin 2 )att dt 4 分220sin 2cos2 2att 6 分2a 7 分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5. 计算5261dyxy dxdy， 其中 d 是由3yx，1x及1y所围成的区域。解：3(, ) |1,11dx yxyx 1 分311526526111xdyxy dxdydxyxy dy 2 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品

11、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -7 装订线3312612112(1) 63xxydx 4 分1311(|1)9xdx 5 分1302(1)9xdx 6 分16 7 分6. 判断级数1( 1)11nnnnn的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。解：( 1)1111nnnnnnn 1分1()nn 3分所以级数发散。 4 分又( 1)111( 1) (1)11nnnnnnn 5 分1( 1)( 1)(1)nnnnn 6 分显然，交错级数1( 1)nnn，1( 1)(1)nnnn都收敛，所

12、以原级数收敛。因此是条件收敛。 7 分7. 将函数1(1)(2)xx展开成x的幂级数，并求其成立的区间。解：111(1)(2)12xxxx 2 分而01,| 11nnxxx 3 分2111( )(| 2)2222xxxx 4 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -8 所以221111()(1)(2)222xxxxxx 5 分101(1)2

13、nnnx 6 分成立范围 | 1x 7 分四、 解答题 （本大题共3 小题，每小题7 分，共21 分）1. 抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点p 的坐标为( , , )p x y z， p点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222xyz， 1 分构造拉格朗日函数22222()(1)fxyzxyzxyz 2 分2222022020010 xyzfxxfyyfzfxyzfxyz 4 分解得1( 13)2x 5 分得两个驻点为1213131313(,23),(,23)22222222pp 6 分所以最短距离为95 3，最

14、短距离为95 3 7 分2. 求幂级数1( 1)(1)!nnnnxn的和函数。解：因为0!nxnxen，所以0( 1)!nnxnxen， 1 分00( 1)( 1) (1 1)( )(1)!(1)!nnnnnnnxnxs xnn 2 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -9 装订线00( 1)( 1)!(1)!nnnnnnxxnn 3 分

15、0( 1)!nnxnxen 4 分110010010( 1)(1)!11( 1)1( 11( 1)1)(1)!(1)!1( 1)1( 1)1!1!nnnnnnnnnnnnnnnnnxnxxxnxnxxxxnxexxnxxnxn(0 )x 5 分所以1( )(1)(0)xxs xeexx故1( )(1)(0)xxs xeexx6 分当0 x时，( )0s x。 7 分另解：当0 x时，11110( 1)1( 1)1( 1)(1)!(1)!(1)!nnnnxnnnnnnxxnxnxnxndx1111001( 1)1( 1)(1)!(1)!nnnxnnnxxnxnxxdxxdx001( 1)!nxn

16、nxnxxdx0011xxxxxdxexdexx11xxeexx11xxeexx当0 x时，( )0s x。3. 设函数( )f x和( )g x有连续导数， 且(0)1f，(0)0g，l 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，l 围成的平面区域为d ，已知精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -10 ( )( )( )ldxydxyf xg x dyyg x d，求( )f x和( )g x。解：由格林公式得( )( )( )ddyfxg xx dxdyyg x dxdy 2 分即( )( )( )0dyfxgxxyg x dxdy 3 分由于区