高三曲线运动万有引力

1、 曲线运动 万有引力定律一、考纲解读考点内容要求运动的合成和分解曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度平抛运动匀速圆周运动，线速度和角速度。周期，圆周运动的向心加速度万有引力定律的应用。人造地球卫星的运动（限于圆轨道）宇宙速度二、命题趋势本章根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力与运动的关系，本章知识是牛顿运动定律在曲线运动形式下的具体应用。本章中运动合成和分解是研究复杂运动的方法，万有引力定律是力学中一个独立的基本定律。平抛物体运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近年的高考对万有引力、人造卫星的考查每年

2、都有。平抛运动、匀速圆周运动还经常与电场力、洛仑兹力联系起来进行综合考查。三、夯实基础第一单元 运动的合成与分解 平抛运动（一） 运动的合成与分解 1、曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：物体所受的合外力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，即加速度方向与速度方向不在同一直线上。 （2）曲线运动的特点： 运动质点在某一点的运动方向，就是通过这一点的瞬时速度的方向，也就是通过这一点的曲线的切线方向。 曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化。 做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。2、运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已

3、知的分运动求合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求分运动叫做运动的分解。运动的合成与分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）（二）平抛物体的运动的规律（1）物体做平抛运动的条件：物体在距地面一定高度以一定的初速度水平方向抛出，抛出后物体只受重力作用。（2）平抛运动的处理方法：通常，可以把平抛运动看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。（3）平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为沿x轴正方向，竖直 向下

4、的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下， 对任一时刻t。 速度分速度 v0, =,合速度,。为合速度与x轴夹角位移分位移, ,合位移,。为合位移与x轴夹角.【辩疑解难】1、抛体和类抛体运动(恒力作用下的曲线运动)，物体的加速度大小和方向都恒定不变，是匀变速运动。物体有初速度，而且初速度的方向与物体的加速度方向不在同一条直线上。2、最典型的匀变速曲线运动有三类：只受重力作用的平抛（和斜抛）物体的运动；带电粒子以某一初速度，沿着与电场方向成某一夹角射入匀强电场中，只受电场力作用的运动；物体所受各种外力的合力恒定，而且具有的初速度方向与合外力方向成某一夹角的运动。3、在匀变速曲线运动

5、中，物体的速度大小和方向时刻都在变；恒力做功，物体具有的各种形式的能量在不断转化，研究速度（矢量）变化的规律、恒力做功的特点、各种不同形式的能相互转化的过程，是我们的主要目标和任务。【典型例题】（一） 运动的合成与分解利用运动的合成与分解将复杂的运动看作几个简单运动的叠加，这是分析复杂运动常用的物理方法。分解时往往按运动的实际效果。应用时要注意合运动与分运动的等时性、独立性和等效性。例 一条宽度为L的河流，水流速度为,已知船在静水中的速度为，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若>,怎样渡河位移最小？（3）若<,怎样渡河船的位移最小？最小值是多少解析VsVcV2甲V1VsVc乙VV

6、sVc丙VABE（1）.(2) 如图甲、乙所示：船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度。=arccosVs/Vc(3) 如图丙所示，设船头Vc与河岸成角，合速度V与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x越短，以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，角最大，根据cos=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：=arccosVc/Vs.此时渡河的最短位移为：（二）平抛运动的分析与计算1、 只要知道平抛物体的初速度，就能求得抛出后任意时刻物体的瞬时速度的大小和方向，也能计算抛出后任意一段时间内物体的位移大小和方向，还能知道任意时刻物体的位置，反过来也行。例如知道平抛物体在抛出后的第2s

7、内的位移大小，就能求：初速度、任意时刻的瞬时速度（矢量）、任意一段时间内的位移（矢量）。2、 对于“平抛运动”，你可以相对于地面，把它看作是水平方向上的匀速运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动；你也可以相对斜面，把它看作是平行于斜面的，初速度为v0cos、加速度为gsin的匀加速运动，与垂直于斜面，初速度为v0sin、加速度为-gcos的匀减速运动的合运动；以后如有必要，你还可以有其它的分析方法。这就是物理思想，是物理学研究方法的基础和出发点。深刻理解物理思想，是掌握研究方法的关键。3、 对平抛运动之所以有各种不同的分析方法，是由力与运动的矢量特性决定的，在研究具体的实际问题中，应注意研究矢

8、量变化规律的特殊性。4、 如果物体的合力不是重力，但是也是恒力，那么它将做类平抛运动，在与初速度垂直方向上的分运动是初速度为零的匀加速度直线运动。带电粒子在电场中运动、在复合场中的运动，有很多属于这种运动。 例1沿水平方向抛出的物体，在抛出后的第2s内位移大小为s2=25m。 （1）物体抛出时的水平初速度v0=_m/s； （2）抛出后第2s末，物体的瞬时速度大小v2=_m/s，方向与水平面夹角_；（3）在物体抛出后的第1s内，位移大小s1=_m，它与水平方向夹角1=_。解析（1）物体在抛出后的第2s内，沿水平方向的位移x2=v0t，沿竖直方向的位移 ；s22=x22+y22，由此可求初速度 （

9、2）物体在2s末的瞬时速度的水平分量v2x=20m/s，竖直分量v2y=gt=20m/s，故瞬时速度大小为 速度方向与水平面的夹角为 （3）物体在抛出后的第1s内位移大小为 位移与水平方向的夹角 点拨1、注意速度方向与位移方向的区别2、运动的合成与分解中的两个分运动连接的桥梁是时间相等。变式第一次从h高处水平抛出的物体，水平射程为s；第二次用同样的水平速度从另一高处平抛出去的物体，水平射程增加了s；则第二次抛出点的高度h'=_。解析 根据平抛物体运动的规律 ，得 ，得 两式相比，可得第二次抛出点的高度 例2. 物体从倾角为的斜面上的A点沿水平方向抛出时的初动能为Ek0，当物体落到斜面上

10、B点时，其动能Ekt多大？解析作示意图，如图所示。由 ，可知 。设物体由A到B运动时间为t，则 可知物体到达B点时，其速度的竖直分量为v'=gt=2v0tan可见，物体到达B点时的动能为 （动能增加了4tan2Ek0）。变式从空中同一点O、沿同一条水平直线、同时向相反方向、分别以初速度v1和v2抛出两个小球。试问：经过多少时间，两个小球的瞬时速度方向间的夹角恰好为90°？解析设经过时间t，两个小球分别达到A点和B点，由于两个小球抛出后竖直方向上的分运动都是自由落体运动，所以A、B点处在同一水平线上（图3-3）；作vA、vB的矢量图， vA、vB的反向延长线必相交于过O点的竖直

11、线上的O'点，且OO'=OD。 设vA、vB互相垂直，vA、vB与竖直方向的夹角分别为和，即+=90°，则图3-3中两个画有阴影线的直角三角形相似，由此可得 即 。可见；两个小球抛出后，过时间 ，它们的瞬时速度方向恰好互相垂直。例3.从倾角为的斜面上的A点，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B点。（1）小球从A到B运动多少时间？（2）小球从A到B的运动过程中，何时与斜面距离最大？最大距离多大？解析（1）设小球由A到B运动时间t，则 得 t=2v0tan/g（2）将v0和重力加速度g，沿平行于斜面的方向和垂直于斜面的方向分解（如图3-10）；则小球的平抛运动

12、，可以看作是平行于斜面方向上初速度为v0cos、加速度为gsin的匀加速运动，与垂直于斜面方向上初速度为v0sin、加速度为-gcos的匀减速运动的合运动。设时刻t'（抛出时开始计时）小球与斜面距离最大，显然 （注意：t'=t/2）。最大距离为 点拨1、小球与斜面距离最大的点特征是v的方向与斜面平行。2、平抛运动一般是看成水平和竖直两个方向的分运动合成。但是也可以按照其它方向分解，选择合适的分运动是非常关键的。变式如右图所示，光滑斜面长为a、宽为b、倾角为。一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。答案：物体在光滑斜面上只受重力和支持力。合外力F

13、=mg·sin，方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律 mg·sin=ma加其加速度a加=g·sin物体在斜面上有一沿斜面向下的加速度a加，初速度方向与a加垂直，所以物体在水平方向是以速度v0做匀速运动，并沿斜面向下做初速度为零的匀加速运动。在水平方向的位移a=v0·t沿斜面向下的位移 解得 例4.如图5-4所示，从一根空心竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰的时间均不计），若换一根等高但较粗的钢管B，用同样方法抛入此钢球，则运动时间：A、在A管中的球运动时间长 B、在B管中的球运动时间长C、在两管中的运动时

14、间一样长 D、无法确定解析此运动可以分解成竖直方向分运动和水平方向分运动。竖直方向上小球只受重力作用，做自由落体运动，水平方向的分运动为匀速直线运动，每一段运动类似平抛运动。在多次相碰中，竖直的管壁对小球只能产生沿水平方向的作用力。根据力的独立作用原理这些力只能改变小球的水平分运动的速度大小和方向，而对竖直分运动没有影响。小球运动时间决定于竖直运动，根据自由落体运动的公式 ，得出 ，由于A、B两管等高，因而小球在两管中运动时间一样长。C正确。点拨明确小球在水平方向做匀速运动，竖直方向自由落体是解析本题的关键，即建立起正确的物理图景。第二单元圆周运动1、 匀速圆周运动：做圆周运动的物体，若在相等

15、时间内通过的圆弧长度相等，叫做匀速周圆运动。2、 描述匀速圆周运动的物理量线速度：它描述质点沿圆周运动快慢，即=s/ t。线速度是矢量，其方向就在圆弧在该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。角速度：是描述质点绕圆心转动快慢的物理量， 大小为=/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。周期T和频率、转速n向心加速度a：它描述速度方向变化快慢的物理量，大小。方向总是指向圆心，与线速度方向垂直。3、描述匀速圆周运动的各物理量间的关系： a=。4、向心力：是按效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变速度的方向，不会改

16、变速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力的大小为。【辩疑解难】1、 最典型的圆周运动有：天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；带电粒子在垂直于匀强磁场的平面里在磁场力（洛仑兹力）作用下的运动；物体（包括带电质点）在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力）作用下沿圆周的运动。2、向心加速度是度量线速度方向变化快慢程度的物理量；向心力是产生向心加速度的力，向心力是根据力的作用效果命名的力；向心力可以由某一种性质的力（如万有引力、库仑力、洛仑兹力、静摩擦力、弹力、）提供，也可以是几种性质的力的合力提供。3、匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不

17、变，匀速圆周运动速度方向的改变方向指向圆心，加速度的方向与向心力的方向都指向圆心。作匀速圆周运动的物体，所受合外力的方向一定指向圆心。4、非匀速圆周运动的物体所受的合外力，肯定不指向圆心，合力沿半径指向圆心的分力，其效果是改变线速度的方向、产生向心加速度；合力沿切线方向的分力，其效果是改变线速度的大小、产生（沿切线方向的）加速度。【典型例题】（一） 基本知识及应用1、凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。例1.如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r

18、0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车后车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）大齿轮小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条解析 大小齿轮间、摩擦小轮与车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175abcd变式如图所示装置中，三个轮的半

19、径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。答案：因va= vc，而vbvcvd =124，所以va vbvcvd =2124；ab=21，而b=c=d ，所以abcd =2111；再利用a=v，可得aaabacad=41242、圆周运动与几何光学的结合例2.（2000全国高考题）一辆实验小车可沿水平地面(图172 中纸面)上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d10m，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图中箭头所示，当光束与MN的夹角为4

20、5°时，光束正好射到小车上，如果再经过t2.5s，光束又射到小车上，则小车的速度为多少?(结果保留两位有效数字)解析激光束所在的转台做匀速圆周运动，在t的时间内转过的角度的过程中，存在两种可能性，如图173所示，一种是小车正在接近N点，另一种是小车正在远离N点在t内，光束转过角度 360°15° 有两种可能：(1)光束照射小车时，小车正在接近N点，t时间内光束与MN的夹角由45°变为30°，小车走过L1，速度应为 由图知：L1=dtan45°-dtan30° 由两式代入数值，得v1=1.7ms(2)光束照射到小车时，小车正在

21、远离N点，t内光束与MN的夹角从45°变为60°，小车走过L2， 速度为 由图可知：L2dtan60°-dtan45° 由两式代入数值，得v22.9ms：点拨1、要把小车当质点看待。 2、分析小车运动存在的两种可能情形是本题的关键（二）竖直面内圆周运动最高点处的受力分析及结论 这类题的特点是：物体做圆周运动的速率是时刻在改变的，由于机械能守恒，最高点处的速率最小，最底点处的速率最大。在最底点处向心力肯定向上，而重力向下，所以弹力必然向上；在最高点处，向心力向下，重力也向下，但弹力的方向就不能确定了，要分几种情况进行讨论。弹力只能向下，如绳拉球。这种情况下

22、有即，否则不能通过最高点。弹力只能向上，如车过桥。这种情况下有否则将离开桥面，做平抛运动。弹力既能向上又能向下，如管内转（或杆连球）。这种情况下，v可取任意值。又可以进行讨论：当时弹力必然是向下的；当时弹力必然是向上的；当时弹力恰好为零。当弹力F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力F>mg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。例1. 杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的即时速度大小。解析小球所需向心力向下，本题中mg，弹力方向可能向上也可能向下。F向上，F向下，点拨本题是杆连球

23、绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。若小球在杆的带动下做匀速圆周运动，则小球机械能不守恒，这两类题务必分清。变式 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的直径大很多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球质量为m2，它们沿环形圆管道顺时针方向运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_。（本题是1997年全国高考统一试题第21题）解析 A球在通过最低点时，对圆管的压力竖直向下，设大小为N1；根据牛顿

24、第三定律，小球A受到圆管的支持力（竖直向上）大小也为N1；小球通过最低点时的运动方程为 得 设B球通过最高点时速度为v，根据机械能守恒定律 得 m2v2=m2v02-4m2gR根据题意，B球通过最高点时，应该对圆管有竖直向上的压力（设大小为N2）；根据牛顿第三定律，圆管对B球有竖直向下的压力，大小也为N2；B球通过最高点时的运动方程为 得 要两个小球作用于圆管的合力为零，则应N1=N2；本题的正确答案是 例2.（2003江苏）图1甲所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块，A上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为的子弹B沿水平方向以速度射入A内（未穿透），

25、接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动。在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图1乙所示。已知子弹射入的时间极短，且图乙中t=0为A、B开始以相同速度运动的时刻。根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？解析由图乙可直接看出，A、B一起做圆周运动，运动周期T=2t0 -令m为A质量，L为绳子长度，表示B陷入A内时即t=0时AB共同速度，表示最高点速度，表示运动到最低点时绳的拉力，表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得 -在最低点和最高点处运用牛顿定律可得

26、 - -根据机械能守恒定律可得 -由图乙可知 - -由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是 - -A、 B一起运动过程中的守恒量是机械能E，若以最低点为势能的零点，则 -由式解得变式 小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。试求d的取值范围。DdLOmBCA答案：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有： 根据机械能守恒定律可得 由以上两式可求得：（三）利用牛顿第二定律解决水平面内的圆周运动问题圆锥摆做匀速圆周运动时，可以说是由

27、物体所受的重力和拉力的合力充当向心力，也可以说是拉力的水平分力提供向心力。例1.小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的与线速度v、周期T的关系。解析圆心在和小球等高的水平面上，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力必然水平。如图所示有：，由此可得：，（h为小球轨道平面到球心的高度）。可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。 点拨本题的分析同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。变式如图138所示，在竖直的转轴上，两点的间距细线在点系一质量

28、为的小球，在转轴带着小球转动过程中，下列说法正确的是（ ）A.转速小时受拉力，松弛B.刚拉直时的拉力为C.拉直后转速增大，拉力不变D.拉直后转速增大，拉力增大答案：A、B、C例2.在质量为的电动机上，装有一个质量为的不均匀飞轮，飞轮转动的角速度恒为，且飞轮重心在转轴正上方时，电动机对地面刚好没有压力，试求：（1）飞轮重心离转轴的距离；（2）转动过程中，电动机对地面的最大压力.解析：因为飞轮做匀速转动，而处于静止状态，所以对进行隔离分析对在最高点时 此时对地压力为零，即 由消去得：当转到最低点时，对作用力方向竖直向下，对地压力最大,对而言，对而言，由得：例3.如图所示，质点A从某一时刻开始在竖直

29、平面内做匀速圆周运动，出发点是与圆心O等高的a点，与此同时，位于圆心的质点B自由下落。圆半径为R，A、B质量分别为mA、mB，问：质点A的角速度满足什么条件才能使AB相遇？质点A的角速度满足什么条件，AB才能出现速度相同的情况？abABOw答案：两质点只能在圆周最低点相遇。 对于B 对于A n=0,1,2, 时两质点相遇。 当质点A运动到圆周上与a等高的b点时，速度方向向下，才有可能两质点速度相同。 对于B 对于A n=0,1,2, 时两质点速度相同。 例4.如图2所示，半径为r=0.2m的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向运动，均以8rad/s角速度匀速转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在

30、同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心起始恰在B的上方，棒与圆柱体间的动摩擦因数图中s=1.6m，L>2s，重力加速度取10m/s2，从棒由静止开始运动到重心恰在A上方需要时间为多少？解析设木棒质量为m，开始时木棒的速度小于圆柱体边缘的线速度，它们间有相对运动，故木棒受滑动摩擦力木棒获得的向左加速度m/s2圆柱体边缘点线速度m/s木棒追上圆柱体边缘点线速度所用时间此1s内木棒发生位移1s后木棒与圆柱边缘无相对滑动，它们间无摩擦力，木棒继续向左做匀速直线运动第二阶段运动时间故从棒由静止开始运动到重心到达A轴上方需要的时间为第三单元 万有引力定律及其应用1、万有引

31、力定律：定律文字描述：自然界中任何两个物体之间都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。定律公式描述：，G=6.67×10-11N·m2/kg2叫引力常量。公式适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也可以使用。对于质量均匀的球体，r是两球心之间的距离。 2、万有引力定律的应用：讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G。所以重力加速度g=，可见，g随h的增大而减少。估算天体的质量M、密度：已知万有引力恒量G和天体的半径R，测出天体表面

32、的重力加速度g，可以求出天体的质量M，密度；已知万引有力恒量G，通过观测天体卫星运动的周期T和轨道半径r，可以求出天体的质量M，密度（其中r0为天体的半径）。当卫星沿天体表面绕天体运行时，则。求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能等物理量。由G=m得卫星线速度；由G= mr(2/T)2得卫星运行周期T=。由G= mr2得卫星运动角速度=。由Ek=mv2=G。3、三种宇宙速度：第一宇宙速度=7.9km/s，人造卫星的最小发射速度，做圆周运动的最大线速度；第二宇宙速度=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度=16.7km/

33、s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。【辩疑解难】1、用万有引力定律求中心星球的质量和密度。设中心星球质量为M，半径为R，环绕星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：，可得出，既可求出中心星球的质量；如果环绕星球离中心星球表面很近，既rR，那么由可求出中心星球的平均密度。2.双星： 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星，（其他星体对它们的影响忽略不计），围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星。由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必定相同，因此周期也必然相同。由于每

34、颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr2可得，于是有列式时注意万有引力中两星相距是L，而向心力表达式中半径为r1、r2，不可混淆。3.人造卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星）人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，因此有：，由此可得到两个重要的结论：和。可以看出，人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近，所以有。它们分别是绕地球做匀速圆周运动

35、的人造卫星的最大线速度和最小周期。同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步卫星离地面的高度为h=.×m.地，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。【典型例题】（一） 用万有引力定律解重力加速度问题1、万有引力是形成地面物体所受重力的主要原因，因为地球自转对物体影响不大，所以近似可认为物体重力和地球对物体的万有引力相等，所以有但事实地球上物体所受万有引力是地球上物体所受重力和绕地球自转向心力的合力，三者本质含义不同。而太空中环绕地球转动的物体所受的万有引力、重力

36、和向心力是完全相同意义的。（二） 地球自转的向心加速度和环绕运动的向心加速度的本质区别物体随地球自转的向心加速度是由地面上物体所受万有引力的一小部分提供的，对应的周期为24小时，环绕地球表面运行的向心加速度是由该物体所受的全部万有引力提供的，对应的近地卫星周期为八十几分钟。例 地球的质量M=6.0×1024kg、半径R=6.4×106m、自转周期T=8.64×104s，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2。假定地球是一个规则的球体。（1）质量为m（kg）的物体，在地球表面上受到的地球对它的吸引力多大？（2）质量为m（kg）的物体

37、，在南、北极对水平地面的压力多大？在赤道上，对水平地面的压力多大？（3）地球自转周期减小到多大时，赤道上的物体对地面的压力恰好减小为零？解析（1）根据万有引力定律 （2）在赤道水平地面上的质量为m的物体，由于地球自转作匀速圆周运动，所需向心力为 静止在赤道水平地面上的物体受地球吸引力和地面支持力作用，它们的合力是向心力F向心=F万有-N根据牛顿第三定律，该物体对水平地面的压力与地面对它的支持力大小相等、方向相反：N'=N=F万有-F向心=9.74m(N)。静止在南、北极水平地面上的质量为m的物体不作圆周运动，它对水平地面的压力为9.77m(N)。（3）设地球自转周期为T'时，赤道水平地面上的物体对地面压力减小为零，则 得 。点拨请注意：5082s也是人造地球卫星的最小周期。（三） 用万有引力定律求中心星球的质量和密度例 已知人造地球卫星运动的最小周期Tmin=5082s，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，试分析计算地球的平均密度。解析 设地球质量为M，半径为R；人造地球卫星的质量为m，