第二章位姿描述和齐次变换

1、1机器人运动学2 机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体inoa 人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题。 机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系。u引言 机械臂抓举或机械臂抓举或搬运零件搬运零件.AVI3位姿的定义：2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述刚体参考点的位置和刚体的姿态。姿态的描述方法： 齐次变换法、矢量法、旋量法、四元数法等等。一、位置的描述（位置矢量）在三维空间内，刚体有6个自由度：zyxzyx、对于

2、直角坐标系A，空间任一点p的位置可用3x1的列矢量Ap表示：zyxAppppxyzzyx045二、方位的描述（旋转矩阵）xyz1z1y1x02.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)为：；则旋转矩阵的表达式、中单位主矢量为与刚体固接。设、用一直角坐标系为了表示刚体的方位，RzyxBzyxBABBBB111 333231232221131211;rrrrrrrrrRzyxRABBABABAAB或是正交矩阵。旋转矩阵两两垂直、因为单位主矢量RzyxABBABABA11RRRABTABAB；即：角的旋转矩阵为：轴旋转绕xcossin0sincos0001),(xRxyz01z1y1x6三、位姿的描述（

3、固接坐标系）2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)角的旋转矩阵分别为：轴旋转、同理，可求出：绕zycos0sin010sin0cos),(yR1000cossin0sincos),(zR：位置、姿态中的位姿在空间坐标系刚体)(ABAxAyAzBzByBx00BoAABpRB 旋转矢量位置矢量0BAPRAB7四、手爪坐标系2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系BB的位姿来表示的位姿来表示, ,如图如图2-62-6所示。所示。 坐标系坐标系B可以这样来确定可以这样来确定:取取z轴设在手指接近物体的方

4、向轴设在手指接近物体的方向称为称为接近矢量接近矢量 a,y所规定轴设在两手指所规定轴设在两手指的连线方向，称方位矢量的连线方向，称方位矢量 o；x轴轴由右手法则确定：由右手法则确定：n=oa,矢量矢量n称称为为法向矢量法向矢量。旋转矩阵旋转矩阵R=n，o，a。手抓的位置有位置矢量。手抓的位置有位置矢量P所规定，它代表手抓坐标系的原所规定，它代表手抓坐标系的原点。点。手抓的位姿可记为手抓的位姿可记为T=n，o，a，p。8 一、坐标平移 设坐标系B与A具有相同的方位，但是B的坐标原点与A的不重合，用位置矢量 描述它相对于A的位置。如图所示，把 称为B相对于A的平移矢量，若点p在坐标系B中的位置为

5、，则它相对于坐标系A的位置矢量为2.2、坐标变换坐标变换AxAyAzAoBxByBzBopBoABAppp坐标平移方程：B坐标系的原点在A坐标系中的坐标0BAP0BAPPBPA92.2、坐标变换坐标变换(续续)二、坐标旋转0BxByBzpAzpRpppBABABA为：坐标旋转方程系在两坐标系中的变换关、)(AxAyAz设坐标系设坐标系BB与与AA有共同有共同的坐标原点，但是两者的的坐标原点，但是两者的方位不同，如图所示，用方位不同，如图所示，用旋转矩阵旋转矩阵 描述描述BB相对相对于于AA的方位。的方位。RAB 和和 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的

6、性质得性质得 RABRBATABABBARRR1102.2、坐标变换坐标变换(续续)三、一般变换AxAy0BxByBzpAz0*Bx*By*Bz*pAz0BABABAppRp复合变换方程为：最一般的情形是：坐标系最一般的情形是：坐标系BB的原点与的原点与AA的既不重合，的既不重合，其方位也不相同其方位也不相同. .规定一个过度坐标系规定一个过度坐标系CC，CC的坐标原点与的坐标原点与BB的重合，的重合，而而CC的方位与的方位与AA的相同，的相同，根据坐标旋转公式得根据坐标旋转公式得PRPRPBABBCBC00BACCACAPPPPP0BABABPPR 112.2、坐标变换坐标变换(续续)。求，

7、若和旋转矩阵求位置矢量单元轴移动的单元，同时沿轴移动的，再沿轴旋转的相对于坐标系重合，首先的初始位姿与：已知坐标系例ppRpyAxAzABABATBABBAAAA,073;,510301 . 20RAB求旋转矩阵解：)1()30,(zRRAB1000cossin0sincos),(zR而RAB100030cos30sin030sin30cos1000866. 05 . 005 . 0866. 00)2(BAp求位置矢量TBAp05100，pA求)3(0BABABAppRp05100731000866. 05 . 005 . 0866. 00562.12098. 9122.3、齐次坐标和齐次变换

8、齐次坐标和齐次变换0BABABAppRp，复合变换方程为：因为在一般变换过程中非齐次的。表示：用另外一种等价方式来1100010ppRpBBAABA的列向量14X4X4的方阵 TAB设为：pTpBABA可简化为：为齐次变换矩阵。称齐次变换。TAB110BABABAppRp的特点：TAB10000BAABABpRT坐标B相对于A的旋转矩阵（3X3）坐标B的原点在A坐标系中的坐标。（3X1）的位置和方位。相对于描述了坐标系：即ABTAB标示符，“1”位置；“0”方向13 表示三维空间直角坐标系表示三维空间直角坐标系A中点中点p,则列阵则列阵Px Py Pz 1T称为三维空间点称为三维空间点P的齐次

9、坐标。的齐次坐标。 14必须注意必须注意,齐次坐标的表示不是唯一的。我齐次坐标的表示不是唯一的。我们将其各元素同乘一非零因子们将其各元素同乘一非零因子w后后,仍然代表同仍然代表同一点一点P,即即:式中：式中：a=w px; b=w py; c=w pz并且规定：列向量并且规定：列向量 （其中（其中）表示空间的无穷远点，而把第四个元素非零的点）表示空间的无穷远点，而把第四个元素非零的点Tcba0 ,0222cba15齐次坐标（续） 称为非无穷远点。 分别代表ox，oy，oz轴上的无穷远点，用它们分别代表这三个坐标轴的方向。而非无穷远点 代表坐标原点。TTT 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ,

10、 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 T 1 , 0 , 0 , 0162.3、齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换(续续)坐标的位姿。坐标相对于所描述的矩阵：例如：试解释齐次变换1000401030011100ABTABTAB1431 ，的位置为的坐标原点相对于解释如下：的方向分别为：的三个坐标轴相对于ABTAxB0010，的方向矢量轴相对于的轴同向。的轴与的yAxBTAyB0100，的方向矢量轴相对于的轴同向。的轴与的zAyBTAzB0 , 001 ，的方向矢量轴相对于的轴同向。的轴与的xAzBAxAyAzBzBxBy172.3、齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换(续续)

11、的另一种变形：齐次变换矩阵 TAB10000BAABABpRT10001000033RpIABBAx),()(0kRotpTransBA平移变换矩阵旋转变换矩阵 表示绕过坐标原点的轴k旋转角度。AxAy0BxByBzpAz0*Bx*By*Bz*p182.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算一、变换矩阵相乘，有：，则对于空间任一点的描述为相对于，的描述为相对于；、坐标系已知三维空间中的三个pTBCTABCBABCABpTpCBCBpTpBABApTTCBCABpTCACTTTBCABAC的描述）相对于复合变换（AC。，到达最终作运动相对于，然后，到达作运动重合，首先相对于与是这样得到的：最初

12、坐标系：这种变换的另一种解释CTBBTAACCBCAB系而言的。：运动相对于运动坐标“从左到右”右乘系而言的。：运动相对于固定坐标“从右到左”左乘变换顺序)()(1910000BATABTABpRR2.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)二、变换矩阵求逆。的描述为相对的描述为相对已知坐标系如何求？TBATABBAAB10000BAABABpRT是已知的。、0BAABpRu方式1：）。（求逆变换直接对矩阵TTTBAABAB1u方式2：中的坐标位置。坐标系中的原点在：表示0ABpBA000ABBABABABppRp。，中的坐标位置在的原点坐标系中的一点：表示TBABBBAp000)(0

13、000BABAABpRp0BATABpR 10000ABBABApRT202.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)。，求轴移动的沿，轴移动的，再沿轴转绕其相对表示：已知例TyAxAzABTBAAB34305 . 210000BAABABpRT即1000010030866. 05 . 0405 . 0866. 01000866. 05 . 005 . 0866. 0TABBARR0341000866. 05 . 005 . 0866. 00BATABpR又0598. 0964. 410000BATABTABBApRRT10000100598.00866.05 .0964.405 .0

14、866.0相对于固定坐标系运动解：)30,()0 , 3 , 4(zRotTransTAB左乘：212.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)10000100598.00866.05 .0964.405 .0866.0TBA10000100301040011000010000866.05 .0005 .0866.010000100301040011000010000)30cos()30sin(00)30sin()30cos()0 ,3,4()30,(TranszRot。得到轴旋转的绕着然后，得到坐标系作平移相对于重合，首先与最初得来的：是这样由：按照左乘的顺序来解释30),0 , 3

15、, 4(AzBCCTransBABABA。）得到，坐标系平移（然后沿着，得到坐标系轴旋转的绕着重合，首先与最初得来的：是这样由：按照右乘的顺序来解释03430ACCzBABABA2223刚体位置描述：刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态位置和姿态。刚体上其。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。例题：下图中的物体可以由(1,0,0), (-1,0,0), (-1,0,2), (1,0,2), (1,4,0), (-1,4,0)表示。如

16、果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90，再绕y轴旋转90，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。 xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1 y1z1选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。变换后刚体的位姿为：24齐次坐标变换第二章 机器人运动学1000001000014100100001000001001010000001001001001000010000104001Rot(z,90)90,(Rot)0 , 0 , 4Trans(yT100040010100001010000100001040011000

17、0001001001001000010000010010)0 , 0 , 4rans(Rot(y,90)T)90,(Rot zTxyzoo1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1z1y1x1o1xyzoz1y125Robotics 数学基础数学基础思考题思考题: :将图将图(a)(a)变换到变换到(b)(b)，求变换矩阵，求变换矩阵T?T?26Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000001001000001)90,(oxRot1000010000010010)90,(ozRot27Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一10

18、000100100100001)0 ,10, 0(1Trans1000010090100001)0 , 9, 0(2Trans28Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000001001000001)90,(oxRot1000010000010010)90,(ozRot29Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000010000102001)0 , 0 , 2(2Trans10000100100100001)0 ,10, 0(1Trans30Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一10000010

19、00010100)90,()90,()0 ,10, 0()0 ,10, 0(ooxRotzRotTransTrans1140110011004011100000100001010031Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000901000012100)0 , 9, 0()90,()90,()0 , 0 , 2(TransxRotzRotTransoo111004111222111000995111100090100001210032Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解二解二1000001001000001)90,(oxRot33R

20、obotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解二解二1000010000010010)90,(ozRot34Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解二解二1000910000102001)9 ,0,2(Trans1000901000012100)90,()90,()9 , 0 , 2(00 xRotzRotTrans35Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解三解三100000001),(1111CcsBscAfRot001zyxfff1000901091000001)90,(01fRot990090010100001090111

21、CBA36Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解三解三100zyxfff100010000),(2222CBcsAscfRot099090100001010090222CBA1000010090019010)90,(02fRot37Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解三解三1000010090102001)0 , 9, 2(Trans1000901000012100100090109100000110000100900190101000010090102001)90,()90,()0,9,2(12oofRotfRotTrans38392.5、变换方程变换方程。运动是期望的、协调的对于周围环境的的位姿，确保机器人相质是调整机器人各连杆对机器人的操作，其实、各个坐标系间的描述：TTTBWSGBS？怎么描述呢：相对于基座框工具框TBTBTTTTWTBWBTTTTTGTSGBSBTTTTTTGTSGBSWTBW变换方程来表示。阵均可由其他变换矩阵变换方程中任一变换矩402.6、欧拉角与欧拉角与RPY角角描述：回顾一下对“方位”的矩阵。的方向余弦组成的主矢量相对于坐标系的三个