一元二次方程根的分布

1、学习文档仅供参考一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理韦达定理的运用。函数与方程思想：假设y=( )f x与x轴有交点0 xf(0 x)=0 假设y=f(x)与y=g(x)有交点 (0 x，0y)( )f x=( )g x有解0 x。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布 ，指的是方程的根相对于零的关系。比方二次方程有一正根，有一负根，其实就是指

2、这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxax0a的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理 1】01x，02x(两个正根 )212124000bacbxxacx xa，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。【例 1】假设一元二次方程0)1(2) 1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。分析：依题意有24(1)4 (1)02(1)0101mm mmmmm0m3【定理 3】210 xx0ac图 2学习文档仅供参考【例 3】k在何范围内取值，一元二次方程033

3、2kkxkx有一个正根和一个负根？分析：依题意有3kk0k3 【定理 4】 101x，02x0c且0ab；201x，02x0c且0ab。【例 4】假设一元二次方程03) 12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析： 由已知k3=0，k=3，代入原方程得32x+5x=0，另一根为负。二一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程02cbxax0a的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布即1x，2x相对于k的位置有以下假设干定理。【定理 1】21xxkkabkafacb20)(042【定理 2】kxx21kabkafacb20)(042。【定理 3】21x

4、kx0)(kaf。推论 1 210 xx0ac。学习文档仅供参考推论 2 211xx0)(cbaa。【定理 4】有且仅有11xk或2x2k0)()(21kfkf【定理 5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4 推出，请读者自证。【定理 6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb三、例题与练习【例 5】已知方程02112mxx的两实根都大于1，求m的取值范围。412912m 2 假 设 一 元 二

5、 次方 程03) 1(2xmmx的 两 个 实 根 都 大 于 -1， 求m的 取 值 范 围 。6252mm或 3 假 设 一元 二次 方程03)1(2xmmx的 两实 根 都 小 于2 ，求m的取 值 范围 。62521mm或【例 6】已 知 方 程032222mmxx有 一 根 大 于2 ， 另 一 根 比2小 ， 求m的 取 值 范 围 。221221m2已知方程012)2(2mxmx有一实根在0 和 1 之间，求m的取值范围。3221m3已知方程012)2(2mxmx的较大实根在0 和 1 之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根不可能；221m 4 假 设 方 程0)2(2kx

6、kx的 两 实 根 均 在 区 间 1、 1 内 ， 求k的 取 值 范 围 。21324k学习文档仅供参考 5假设方程012)2(2kxkx的两根中，一根在0 和1 之间，另一根在1 和 2 之间，求k的取值范围。3221k6已知关于x的方程062) 1(22mmmxxm的两根为、且满足10，求m的取值范围。73m或72m【例 7】已知关于 x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)假设方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围 . (2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 . 此题重点考查方程的根的分布问题，解答此题的闪光点是熟知方

7、程的根对于二次函数性质所具有的意义. 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得65,21,21056)2(,024) 1(, 02)1(,012)0(mmrmmmfmffmf2165m. (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或( 这里 0m1 是因为对称轴x=m应在区间 (0， 1) 内通过 ) 1 假设方程4(3) 20 xxmm有两个

8、不相同的实根，求m的取值范围。提示：令2x=t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：0m1 2假设关于x的方程2lg(20 )lg(863)0 xxxa有唯一的实根，求实数a的取值范围。提示：原方程等价于2220020863xxxxxa即2200 12630 xxxxa或令( )fx=2x+12x+6a+3 (1)假设抛物线y=( )f x与x轴相切，有 =1444(6a+3)=0 即a=112。将a=112代入式有x=6 不满足式，a112。(2)假设抛物线y=( )f x与x轴相交，注意到其对称轴为x=6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是( 20)0(0)0ff解得163162a。当163162a时原方程有唯一解。另法：原方程等价于2x+20 x=8x6a3(x0)问 题 转 化 为 ： 求 实 数a的 取 值 范 围 ， 使 直 线y=8x 6a 3 与 抛 物 线y=2x+20 x(x0) 有且只有一个公共点。a、 虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却oxy20 6 oxy20 6 163 3 学习文档仅供参考不明显，可将变形为2x+12x+3=6a(x0) ，再在同一坐标系中