等差数列第二课时　等差数列的性质及简单应用

1、数学第二课时等差数列的性质及简单应用第二课时等差数列的性质及简单应用数学 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究数学 自主预习自主预习1.1.能根据等差数列的定义与通项公式能根据等差数列的定义与通项公式, ,推导出等差数列的重要性质推导出等差数列的重要性质. .2.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题. .3.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题. .课标要求课标要求数学知识梳理知识梳理等差数列的常见性质等差数列的常见性质(1)(1)对称性对称性:a:a1 1

2、+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= =a=am m+ + (nm);(nm);(2)a(2)an n=a=a1 1+(n-1)d=a+(n-1)d=a2 2+(n-2)d=+(n-2)d=a=am m+ + ; ;(3)(3)若若m,n,p,qm,n,p,q均为正整数均为正整数, ,则则m+nm+n= =p+qp+q=2k=2k ; ;(4)(4)若若m,p,nm,p,n均为正整数且均为正整数且m,p,nm,p,n成等差数列成等差数列, ,则则a am m,a,ap p,a,an n也成等差数列也成等差数列; ;a an-m+1n-m+1( (

3、n-m)dn-m)da am m+a+an n= =a ap p+a+aq q=2a=2ak k数学(5)(5)若若aan n 、 b bn n 分别是公差为分别是公差为d,dd,d的等差数列的等差数列, ,则有则有数列数列结论结论 c+ac+an n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数) ) c ca an n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数) ) a an n+a+an+kn+k 公差为公差为 的等差数列的等差数列(k(k为常数为常数, ,kNkN* *) ) papan n+qb+qbn n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(

4、 (p,qp,q为常数为常数) )(6)(6)单调性单调性:a:an n 的公差为的公差为d,d,则则d d 0 0aan n 为递增数列为递增数列;d;d 0 0aan n 为递减数为递减数列列;d=0;d=0aan n 为常数列为常数列. .d dcdcd2d2dpd+qdpd+qd 数学自我检测自我检测C C1.(1.(由等差数列判定其他的数列由等差数列判定其他的数列) )若若 a an n 是等差数列是等差数列, ,下列数列中仍为等差数下列数列中仍为等差数列的有列的有( ( ) ) |a|an n| a an+1n+1-a-an n papan n+q(p,q+q(p,q为常数为常数)

5、 ) 2a2an n+n+n(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个2.(2.(等差数列性质的应用等差数列性质的应用) )设数列设数列 a an n ,b,bn n 都是等差数列都是等差数列, ,若若a a1 1+b+b1 1=7,a=7,a3 3+b+b3 3=21,=21,则则a a5 5+b+b5 5等于等于( ( ) )(A)30(A)30(B)35(B)35(C)40(C)40(D)45(D)45B B数学A A3.(3.(等差数列性质的应用等差数列性质的应用) )已知等差数列已知等差数列aan n 中中,a,a3 3=1,a=1,a7

6、7=-9,=-9,则则a a5 5等于等于( ( ) )(A)-4(A)-4(B)4 (B)4 (C)-8(C)-8(D)8(D)8解析解析: :由由a a3 3+a+a7 7=2a=2a5 5=1-9=-8=1-9=-8得得a a5 5=-4.=-4.故选故选A.A.4.(4.(等差数列性质的应用等差数列性质的应用) )已知已知 a an n 为等差数列为等差数列,a,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=105,a=105,a2 2+a+a4 4+a+a6 6=99,=99,则则a a2020等于等于( ( ) )(A)-1(A)-1 (B)1 (B)1 (C)3 (C)3 (D)7 (D

7、)7解析解析: :因为因为a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=105,=105,a a2 2+a+a4 4+a+a6 6=3a=3a4 4=99,=99,所以所以a a3 3=35,a=35,a4 4=33,d=-2.=33,d=-2.所以所以a a2020=a=a4 4+16d=33-32=1.+16d=33-32=1.B B数学5.(5.(等差数列单调性的应用等差数列单调性的应用) )已知三个数成等差数列并且数列是递增的已知三个数成等差数列并且数列是递增的, ,它们它们的和为的和为18,18,平方和为平方和为116,116,则这三个数为则这三个数为.答案答案: :4

8、,6,84,6,8数学 课堂探究课堂探究等差数列性质的应用等差数列性质的应用题型一题型一数学数学题后反思题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法求解等差数列有关计算问题的常用方法: :一是基本量方法一是基本量方法, ,即建立即建立关于关于a a1 1和和d d的方程组求出的方程组求出a a1 1和和d d再解决问题再解决问题; ;二是运用等差数列的性质二是运用等差数列的性质, ,若若m+nm+n= =p+qp+q=2k,=2k,且且m,n,p,q,km,n,p,q,kN N* *, ,则则a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q=2a=2ak k. .数学解析解析: :

9、(1)(1)因为因为a a3 3+a+a4 4+a+a5 5=12,=12,所以所以3a3a4 4=12,=12,则则a a4 4=4,=4,又又a a1 1+a+a7 7=a=a2 2+a+a6 6=a=a3 3+a+a5 5=2a=2a4 4, ,故故a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7=7a=7a4 4=28.=28.故选故选C.C.(2)(2)由于由于aan n 、 b bn n 都是等差数列都是等差数列, ,所以所以aan n- -b bn n 也是等差数列也是等差数列, ,而而a a1 1-b-b1 1=6,a=6,a2020-b-b2020=6,=6,所以所以aan n-

10、 -b bn n 是常数列是常数列, ,故故a a1010-b-b1010=6.=6.故选故选B.B.数学解析解析: :由等差数列的性质得由等差数列的性质得a a1 1+a+a4 4=a=a2 2+a+a3 3, ,又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=30,=30,所以所以2(a2(a2 2+a+a3 3)=30,)=30,即即a a2 2+a+a3 3=15.=15.答案答案: :1515数学巧用巧用“对称对称”解等差数列问题解等差数列问题题型二题型二【例例2 2】 已知四个数成递减等差数列已知四个数成递减等差数列, ,它们的和为它们的和为26,26,中间两项的积为中

11、间两项的积为40,40,求这四个数求这四个数. .数学数学题后反思题后反思 利用等差数列的定义巧设未知量利用等差数列的定义巧设未知量, ,从而简化计算从而简化计算. .一般有如下规一般有如下规律律: :当等差数列当等差数列aan n 的项数的项数n n为奇数时为奇数时, ,可设中间一项为可设中间一项为a,a,再以公差为再以公差为d d向两边分向两边分别设项别设项: :a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,; ;当项数为偶数时当项数为偶数时, ,可设中间两项为可设中间两项为a-a-d,a+dd,a+d, ,再以公差为再以公差为2d2d向两边分别设项向两边

12、分别设项: :a-3d,a-d,a+d,a+3d,a-3d,a-d,a+d,a+3d, ,这样可减少这样可减少计算量计算量. .数学数学等差数列的实际应用等差数列的实际应用题型三题型三【例例3 3】 有一批影碟机原销售价为每台有一批影碟机原销售价为每台800800元元, ,在甲、乙两家商场均有销售在甲、乙两家商场均有销售. .甲商场用如甲商场用如下方法促销下方法促销: :买一台单价为买一台单价为780780元元, ,买两台单价为买两台单价为760760元元, ,依此类推依此类推, ,每多买一台单价均减每多买一台单价均减少少2020元元, ,但每台最少不低于但每台最少不低于440440元元; ;

13、乙商场一律都按原价的乙商场一律都按原价的75%75%销售销售. .某单位需购买一批此某单位需购买一批此类影碟机类影碟机, ,问去哪一家商场购买花费较少问去哪一家商场购买花费较少? ?解解: :设该单位需购买影碟机设该单位需购买影碟机n n台台, ,在甲商场购买单价不低于在甲商场购买单价不低于440440元时元时, ,单价依台数成等差数列单价依台数成等差数列aan n,则则a an n=780+(n-1)(-20)=800-20n,=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式解不等式a an n440,800-20n440,440,800-20n440,得得n18.n18.当购买台数

14、小于当购买台数小于1818时时, ,单价为单价为(800-20n)(800-20n)元元, ,当台数大于或等于当台数大于或等于1818时时, ,单价为单价为440440元元. .到乙商场购买到乙商场购买, ,单价为单价为80080075%=600(75%=600(元元).).又又(800-20n)n-600n=20n(10-n),(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以所以, ,当当n10n10时时,600n(800-20n)n;,600n(800-20n)n;当当n=10n=10时时,600n=(800-20n)n;,600n=(800-20n)n;当当10n1810n18时

15、时,(800-20n)n600n;,(800-20n)n600n;当当n18n18时时,440n600n.,440n600n.所以当购买台数少于所以当购买台数少于1010台时台时, ,到乙商场购买花费较少到乙商场购买花费较少; ;当购买当购买1010台时台时, ,到两商场购买花费相同到两商场购买花费相同; ;当购买多于当购买多于1010台时台时, ,到甲商场购买花费较少到甲商场购买花费较少. .数学题后反思题后反思 (1)(1)在实际问题中在实际问题中, ,若涉及一组与顺序有关的数的问题若涉及一组与顺序有关的数的问题, ,可考虑可考虑利用数列方法解决利用数列方法解决, ,若这组数依次成直线上升

16、或下降若这组数依次成直线上升或下降, ,则可考虑利用等差数列则可考虑利用等差数列方法解决方法解决. .(2)(2)在利用数列方法解决实际问题时在利用数列方法解决实际问题时, ,一定要分清首项、项数等关键量一定要分清首项、项数等关键量. .数学即时训练即时训练3-1:3-1:某产品按质量分某产品按质量分1010个档次个档次, ,生产最低档次的产品的利润是生产最低档次的产品的利润是8 8元元/ /件件, ,每提高一个档次每提高一个档次, ,利润每件增加利润每件增加2 2元元, ,同时每提高一个档次同时每提高一个档次, ,产量减少产量减少3 3件件, ,在相同在相同的时间内的时间内, ,最低档次的产

17、品可生产最低档次的产品可生产6060件件. .试问试问: :在相同的时间内在相同的时间内, ,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(?(设最低档设最低档次为第一档次次为第一档次).).解解: :设在相同的时间内设在相同的时间内, ,从低到高每档产品的产量分别为从低到高每档产品的产量分别为a a1 1,a,a2 2, ,a,a1010, ,利润分别为利润分别为b b1 1,b,b2 2, ,b,b1010, ,则则 a an n,b,bn n 均为等差数列均为等差数列, ,且且a a1 1=60,d=60,d1 1=-3,b=-3,b1 1=8,d=8,

18、d2 2=2,=2,所以所以a an n=60-3(n-1)=-3n+63,=60-3(n-1)=-3n+63,b bn n=8+2(n-1)=2n+6,=8+2(n-1)=2n+6,所以利润所以利润f(n)=af(n)=an nb bn n=(-3n+63)(2n+6)=-6n=(-3n+63)(2n+6)=-6n2 2+108n+378=-6(n-9)+108n+378=-6(n-9)2 2+864.+864.显然显然, ,当当n=9n=9时时,f(n),f(n)maxmax=f(9)=864.=f(9)=864.答答: :在相同的时间内生产第在相同的时间内生产第9 9档次的产品可以获得最大利润