2022年考研数学一二三概率统计知识点

1、学习必备欢迎下载（1）排列组合公式)!(!nmmpnm从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数。)!( !nmnmcnm从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验

2、 和 随 机 事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母a，b ，c，表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不

3、可能事件。不可能事件 （?）的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 a的组成部分也是事件b的组成部分，（a发生必有事件b发生） ：ba如果同时有ba，ab，则称事件a与事件 b等价，或称a等于 b：a=b 。a、b中至少有一个发生的事件：ab，或者 a+b 。属于 a而不属于 b的部分所构成的事件，称为a与 b的差，记为a-b，也可表示为a-ab或者ba，它表示a发生而 b不发生的事件。a、b同时发生： ab，或者 ab。ab=?，则表示 a与 b不可能同时发生，称事件a与事

4、件 b互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-a 称为事件 a的逆事件，或称a 的对立事件，记为a。它表示 a不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： a(bc)=(ab)c a (bc)=(a b)c 分配率： (ab) c=(ac)(bc) (a b)c=(ac)(bc) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载德摩根率：11iiiiaababa，baba（7）概率的公理化定义设为样本空间，a为事件，对每一个事件a都有一个实数p(a) ，若满足下列三个条件：1 0

5、p(a) 1，2 p( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1a，2a，有11)(iiiiapap常称为可列（完全）可加性。则称 p(a) 为事件a的概率。（8）古典概型1n21,，2 npppn1)()()(21。设任一事件a，它是由m21,组成的，则有p(a)=)()()(21m =)()()(21mpppnm基本事件总数所包含的基本事件数a（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件a，)()()(lalap。其中 l 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式

6、p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab) 当 p(ab)0 时， p(a+b)=p(a)+p(b) （11）减法公式p(a-b)=p(a)-p(ab) 当 ba时， p(a-b)=p(a)-p(b) 当 a=时， p(b)=1- p(b) （12）条件概率定义设 a、b是两个事件，且p(a)0 ，则称)()(apabp为事件 a发生条件下，事件b发生的条件概率，记为)/(abp)()(apabp。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 p(/b)=1p(b/a)=1-p(b/a) （13）乘法公式乘法公式：)/()()(abpapabp更一般地，对事件a1，a2， an

7、，若 p(a1a2an-1)0 ，则有21(aap)na)|()|()(213121aaapaapap21|(aaapn)1na。（14）独立性两个事件的独立性设事件a、b满足)()()(bpapabp，则称事件a、b是相互独立的。若事件a、b相互独立，且0)(ap，则有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载)()()()()()()|(bpapbpapapabpabp若事件a、b相互独立，则可得到a与b、a与b、a与b也都相互独立。必然事件和不可能事件? 与任何事件都

8、相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 abc是三个事件，如果满足两两独立的条件，p(ab)=p(a)p(b) ；p(bc)=p(b)p(c) ；p(ca)=p(c)p(a) 并且同时满足p(abc)=p(a)p(b)p(c) 那么 a、b、c相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件nbbb,21满足1nbbb,21两两互不相容，),2, 1(0)(nibpi，2niiba1，则有)|()()|()()|()()(2211nnbapbpbapbpbapbpap。（16）贝叶斯公式设事件1b，2b，nb及a满足11b，2b，nb两两互不相容，)(bip0，i1，2，n，

9、2niiba1，0)(ap，则njjjiiibapbpbapbpabp1)/()()/()()/(，i=1 ，2， n。此公式即为贝叶斯公式。)(ibp， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(abpi， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，a发生或a不发生；n次试验是重复进行的，即a发生的概率每次均一样；每次试验是独立的， 即每次试验a发生与否与其他次试验a发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验a发生的概率，

10、则a发生的概率为qp1，用)(kpn表示n重伯努利试验中a出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkpc)(，nk,2, 1 ,0。知识点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第一章随机事件与概率一、 教学要求1 理解随机事件的概念，了解随机试验、 样本空间的概念， 掌握事件之间的关系与运算2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算4理解事件的独立性

11、概念，掌握运用事件独立性进行概率计算5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用 二项概率计算有关事件的概率本章重点：随机事件的概率计算二、 知识要点1随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作 e2随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件

12、(简称事件 )通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作) 看作特殊的随机事件3* 事件的关系及运算(1) 包含 ：若事件a发生，一定导致事件b发生，那么，称事件b包含事件a，记作ab(或ba)(2) 相等 ：若两事件a与b相互包含， 即ab且ba，那么， 称事件a与b相等，记作ab(3) 和事件 ： “事件 a 与事件 b 中至少有一个发生”这一事件称为a 与 b 的和事件， 记作ab； “ n个 事 件1,2,naaa中 至 少 有 一 事 件 发 生 ” 这 一 事 件 称 为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 30 页

13、- - - - - - - - -学习必备欢迎下载1,2,naaa的和，记作12naaa（简记为1niia） (4) 积事件 ：“事件 a 与事件 b 同时发生”这一事件称为a 与 b 的积事件，记作ab(简记为ab)； “n 个事件1,2,naaa同时发生” 这一事件称为1,2,naaa的积事件，记作12naaa（简记为12na aa或1niia)(5) 互不相容 ：若事件a 和 b 不能同时发生，即ab，那么称事件a 与 b 互不相容(或互斥 )，若 n 个事件1,2,naaa中任意两个事件不能同时发生，即ija a(1ij 几 )，那么，称事件1,2,naaa互不相容(6) 对立事件 ：

14、若事件a 和 b 互不相容、且它们中必有一事件发生，即ab且ab，那么，称a 与 b 是对立的事件a 的对立事件 (或逆事件 )记作a(7) 差事件 ：若事件 a 发生且事件b 不发生，那么，称这个事件为事件a 与 b 的差事件，记作ab(或ab) (8) 交换律 ：对任意两个事件和b 有abba，abba(9) 结合律 ：对任意事件a，b，c 有()()abcabc，()()abcabc(10) 分配律 ：对任意事件a，b， c 有()()()abcabac，()()()abcabac(11) 德摩根（ de morgan ）法则 ：对任意事件a 和 b 有abab, abab. 4频率与概

15、率的定义(1) 频率的定义设随机事件a 在 n 次重复试验中发生了an次，则比值ann 称为随机事件a 发生的频率，记作()nfa，即()annfan. (2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件a 发生的频率具有稳定性，即当试验次数n 很大时，频率()nfa在一个稳定的值p(0p1)附近摆动，规定事件a 发生的频率的稳定值p为概精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载率，即( )p ap(3) * 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型

16、 ：(i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作12,ne ee; (ii) 在每次试验中，每个样本点ie(1,2,in）出现的概率相同，即12()()()npepepe在古典概型中，规定事件a 的概率为()anap an中所含样本点的个数中所含样本点的个数(4)几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为( )ap a的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）(5)概率的公理化定义设随机试验的样本空间为，随机事件a 是的子集，()p a是实值函数，若满足下列三条公理：公理

17、1 (非负性 ) 对于任一随机事件，有()p a0；公理 2 (规范性 ) 对于必然事件，有()1p；公理 3 (可列可加性 ) 对于两两互不相容的事件1,2,na aa，有11()()iiiipap a，则称( )p a为随机事件的概率5* 概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质(1) ( )0p(2) (有限可加性 ) 设 n个事件1,2,na aa两两互不相容，则有121()()nniip aaap a(3) 对于任意一个事件a：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - -

18、 -学习必备欢迎下载( )1( )p ap a(4) 若事件 a，b 满足ab，则有()()()p bap bp a, ( )()p ap b(5) 对于任意一个事件a，有()1p a(6) (加法公式 ) 对于任意两个事件a，b，有()()( )()p abp ap bp ab. 对于任意n 个事件1,2,na aa，有111111()()()()(1)()nnniiijijkniijnijknipap ap a ap a a ap aa. 6* 条件概率与乘法公式设 a 与 b 是两个事件在事件b 发生的条件下事件a 发生的概率称为条件概率，记作(|)p a b当()0p b，规定()(|

19、)()p abp a bp b. 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质乘法公式：对于任意两个事件a 与 b，当()0p a,()0p b时，有()() (|)( )(|)p abp a p b ap b p a b. 7* 随机事件的相互独立性如果事件 a 与 b 满足()()()p abp a p b，那么，称事件a 与 b 相互独立关于事件 a，月的独立性有下列两条性质：(1) 如果( )0p a，那么，事件a 与 b 相互独立的充分必要条件是(|)()p bap b；如果( )0p b，那么，事件a 与 b 相互独立的充分必要条件是(|)( )p a bp a这条性质的直观意义是“事

20、件a 与 b 发生与否互不影响” (2) 下列四个命题是等价的：(i) 事件 a 与 b 相互独立；(ii) 事件 a 与b相互独立；(iii) 事件a与 b 相互独立；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(iv) 事件a与b相互独立对于任意n 个事件1,2,na aa相互独立性定义如下：对任意一个2,kn，任意的11kiin，若事件1,2,na aa总满足11()()()kkiiiip aap ap a，则称事件1,2,na aa相互独立这里实际上包含了21nn个等

21、式8*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件发生的概率()(01)p app，则在n 次重复独立试验中 ，事件恰发生k次的概率为( )(1),0,1,kn knnp kppknk，称这组概率为二项概率9* 全概率公式与贝叶斯公式全 概 率 公 式 ： 如 果 事 件1,2,na aa两 两 互 不 相 容 ， 且1niia，()0ip a，1,2,in，则1() (|)(|),1,2,()(|)kkkniiip ap bap abknp a p ba第二章离散型随机变量及其分布一、 教学要求1理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1 分布、二项分布、泊松 (poiss

22、on) 分布、均匀分布、几何分布及其应用理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布4掌握离散型随机变量独立的条件5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载二、 知识要点1一维随机变量若对于随机试验的样本空间中的每个试验结果e，变量x都有一个确定的实数值与e相对应，即( )xx e，

23、则称x是一个一维随机变量概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布2* 离散型随机变量及其概率函数如果随机变量x仅可能取有限个或可列无限多个值，则称x为离散型随机变量设离散型随机变量x的可能取值为(1,2, ,)ia in，(),1,2, ,.iipp xain若11iip，则称(1,2, ,)ip in离散型随机变量x的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示：x12naaarp12nppp *概率函数的性质(1)0ip，1,2, ,;in(2)11iip由已知的概率函数可以算得概率()iiasp xsp，其中，s是实数轴上的一个集合 * 常用离散型随机变量的分布(1

24、)01 分布(1, )bp，它的概率函数为1()(1)iip xipp，其中，0i或 1，01p(2)二项分布( ,)b n p，它的概率函数为()(1)in inp xippi，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载其中，0,1,2,in，01p()泊松分布()p，它的概率函数为()!ip xiei，其中，0,1,2, ,in，0()均匀分布 ，它的概率函数为1()ip xan，其中，0,1,2,in二维随机变量若对于试验的样本空间中的每个试验结果e，有序变量(,)x

25、 y都有确定的一对实数值与 e 相对应，即( )xx e，( )yy e，则称(,)x y为二维随机变量或二维随机向量6*二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量(,)x y仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)x y为二维离散型随机变量二维离散型随机变量(, )x y的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),1,2,ijijp xa ybpij其中，0,1,2,1ijijijpi jp7二维离散型随机变量的边缘概率函数设(,)x y为二维离散型随机变量，ijp为其联合概率函数（,1,2,i j） ，称概率()(1,2,)ip xai为随机变量x的边缘概率函数，记为ip并有.()

26、,1,2,iiijjpp xap i，称概率()(1,2,)jp ybj为随机变量y 的边缘概率函数，记为.jp，并有.jp=(),1,2,jijip ybpj. 8随机变量的相互独立性设(,)x y为二维离散型随机变量，x与y相互独立的充分必要条件为,1,2,.ijijpp pi j对一切精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论9随机变量函数的分布设x是一个随机变量，( )g x是一个已知

27、函数，()yg x是随机变量x的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量x，下面来求这个新的随机变量y的分布设离散型随机变量x的概率函数为x12naaarp12nppp则随机变量函数()yg x的概率函数可由下表求得()yg x12()()()ng ag ag arp1p2pnp但要注意， 若()ig a的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率ip相加第三章连续型随机变量及其分布一、 教学要求1 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质， 掌握 均匀分布、 指数分布、正态分布及其应用2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维

28、概率分布计算有关事件的概率3理解二维随机变量的边缘分布 ，了解二维随机变量的条件分布4理解随机变量的独立性概念 ，掌握连续型随机变量独立的条件5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义(不考 )6会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布(不考 )会求简单随机变量函数的概率分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎

29、下载二、 知识要点1* 分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量x取值不大于实数x的概率()p xx称为随机变量x的分布函数，记作( )f x, 即( )(),f xp xxx2分布函数( )f x的性质(1)0( )1;f x() ( )f x是非减函数，即当12xx时，有12()()f xf x；(3) ( )0,( )1limlimxxf xf x; (4) ( )f x是右连续函数，即0( )( )limxaf xf a由已知随机变量x的分布函数( )f x，可算得x落在任意区间( , a b内的概率()( )( );p axbf bf a也可以求得()( )(0)p x

30、af af a3联合分布函数二维随机变量(,)x y的联合分布函数规定为随机变量x取值不大于x实数的概率， 同时随机变量y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为( , )f x y，即( , )(,),f x yp xx yyxy4联合分布函数的性质(1)0( ,)1f x y；(2)( ,)f x y是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数；(3) (,)0 ,(,)l i ml i mxyfxyfx y，( , )0,( , )1limlimxxyyf x yf x y；(4)( , )f x y是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；(5)121222211211(,)(,

31、)(,)(,)(,)p xxxyyyf xyf xyf xyf xy5* 连续型随机变量及其概率密度精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设随机变量x的分布函数为( )f x，如果存在一个非负函数( )f x，使得对于任一实数x，有( )( )xf xf x dx成立，则 称 x 为连续型随机变量，函数( )fx称为连续型随机变量x的概率密度6* 概率密度( )f x及连续型随机变量的性质（）( )0;f x（）( )1f x dx；（）连续型随机变量x的分布函数为(

32、 )f x是连续函数，且在( )f x的连续点处有( )( )fxf x；（4）设x为连续型随机变量，则对任意一个实数c，()0p xc；(5)设( )f x是连续型随机变量x的概率密度，则有()()()()p axbp axbp axbp axb( )baf x dx7* 常用的连续型随机变量的分布(1)均匀分布( , )r a b，它的概率密度为1,;( )0,axbf xba其余.其中，)ab(2)指数分布( )e，它的概率密度为,0;( )0,xexf x其余.其中，0(3)正态分布2( ,)n，它的概率密度为22()21( ),2xf xex，其中，,0，当0,1时，称(0,1)n为

33、标准正态分布，它的概率密度为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载221( ),2xf xex，标准正态分布的分布函数记作( )x，即( )x221( )2txxedt，当出0 x时，( )x可查表得到；当0 x时，( )x可由下面性质得到()1( )xx设2( ,)xn，则有()()xf x；()()()bap axb * 二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(x，y) 的分布函数( ,)f x y，如果存在一个二元非负函数( , )f x y，使得对于

34、任意一对实数( ,)x y有( , )( , )xyf x yf s t dtds成立，则(,)x y为二维连续型随机变量，( ,)f x y为二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) ( , )0,f x yx y；(2) ( , )1f x y dxdy；(3) 设(,)x y为 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ， 则 对 任 意 一 条 平 面 曲 线l， 有( (,)0pxyl；(4) 在( ,)f x y的连续点处有2( , )( , )f x yf x yx y; (5) 设(, )x y为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域d有(,)(

35、, )dpx ydf x y dxdy1， * 二维连续型随机变量(,)x y的边缘概率密度精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设( , )f x y为二维连续型随机变量的联合概率密度，则x的边缘概率密度为( )( , )xfxf x y dy；y的边缘概率密度为( )( , )yfyf x y dx11常用的二维连续型随机变量(1)均匀分布如果(, )x y在二维平面上某个区域g 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,( , )x yf x yg， （)g;的面

36、积0,其余.(2) 二维正态分布221212(,)n如果(,)x y的联合概率密度2211212222112112()()()()11( , )exp22(1)21xxyxf x y则称(,)x y服从二维正态分布，并记为221212(,) (,)x yn. 如果221212(,) (,)x yn，则211(,)xn，222(,)yn，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布12* 随机变量的相互独立性如果x与y的联合分布函数等于,x y的边缘分布函数之积，即( , )( )( ),xyf x yfx fyx y对一切，那么，称随机变量x与y相互独立设(,)x y为二维连续型随机变量，则x与y相互

37、独立的充分必要条件为( , )( )( ),xyf x yfx fy在一切连续点上.如果221212(,) (,)x yn 那么，x与y相互独立的充分必要条件是0多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论13随机变量函数的分布精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载* 一维随机变量函数的概率密度设连续型随机变量x的概率密度为( )xfx，则随机变量()yg x的分布函数为

38、( )()( ()()( )yyyxifyp yyp g xyp xifx dx其中，yxi与()g xy是相等的随机事件，而|( )yixg xy是实数轴上的某个集合随机变量y的概率密度( )yfy可由下式得到：( )( )yyfyfy连续型随机变量函数有下面两条性质：(i)设连续型随机变量的概率密度为( )xfx，()yg x是单调函数，且具有一阶连续导数，( )xh y是( )yg x的反函数，则()yg x的概率密度为( )( ( ) |( )|yfyf h yh y(ii) 设2( ,)xn， 则 当0k时 ， 有22(,)ykxbn kb k， 特 别 当1,kb时，有(0,1)y

39、kxbn，(0,1)xn特别有下面的结论：设211(,)xn，222(,)yn，且x与y相互独立，则221212(,)xyn第四章随机变量的数字特征一、 教学要求1理解随机变量的数学期望、方差的概念， 并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，2掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差3会根据随机变量x的概率分布计算其函数()g x的数学期望 ()e g x；会根据随机变量(,)x y的联合概率分布计算其函数(,)g x y的数学期望正 (,)e g x y(不考 )4理解协方差、 相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。精品学

40、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载本章重点：随机变量的期望。方差的计算二、 知识要点1* 数学期望设x是离散型的随机变量，其概率函数为(),1,2,iip xapi如果级数iiia p绝对收敛，则定义x的数学期望 为()iiie xa p；设x为连续型随机变量，其概率密度为( )f x，如果广义积分( )xf x dx绝对可积，则定义x的数学期望 为()( )e xxf x dx2*随机变量函数的数学期望设x为离散型随机变量，其概率函数(),1,2,iip xapi如果

41、级数()iiig ap绝对收敛，则x的函数()g x的数学期望为()()iiie g xg ap设(,)x y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),1,2,ijijp xa ybpij如果级数(,)ijijjig a bp绝对收敛，则(,)x y的函数(,)g x y的数学期望为 (, )(,)ijijjie g x yg a bp；特别地();( )iijjijiijie xa pe yb p. 设x为连续型随机变量，其概率密度为( )f x，如果广义积分( )( )g x fx dx绝对收敛，则x的函数()g x的数学期望为()( )( )e g xg x f x dx精品学习资料

42、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设(,)x y为二维连续型随机变量，其联合概率密度为( , )f x y，如果广义积分( , )( , )g x y f x y dxdy绝对收敛，则(,)x y的函数(,)g x y的数学期望为( ,)( ,)( ,)e g x yg x y fx y dxdy；特别地()(,)exx fx y d x d y, ( )( , )e yyfx y dxdy. 3* 数学期望的性质(1) ( )e cc(其中 c 为常数 )；(2) ()()e

43、 kxbke xb(,k b为常数 )；(3) ()()( )e xye xe y；(4) 如果x与相互独立，则()()()e xye x e y. 4* 方差与标准差随机变量x的方差定义为2()()d xe xe x计算方差常用下列公式：22()()()d xe xe x当x为离散型随机变量，其概率函数为(),1,2,iip xapi如果级数2()iiiae xp收敛，则x的方差为2()()iiid xae xp；当x为连续型随机变量，其概率密度为( )f x，如果广义积分2()( )xe xf x dx收敛，则x的方差为2()( )( )d xxe xf x dx. 随机变量x的标准差定义

44、为方差()d x的算术平方根()d x. 5* 方差的性质(1) ( )0d c(c 是常数 )；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2) 2()()d kxk d x(k为常数 )；(3) 如果x与y独立，则()()( )d xyd xd y. 6原点矩与中心矩随机变量x的k阶原点矩定义为()ke x；随机变量x的k阶中心矩定义为() kexe x；随机变量(, )x y的( , )k l阶混合原点矩定义为()kle x y；随机变量(, )x y的( , )k

45、 l阶混合中心矩定义为() ( ) klexe xye y一阶原点矩是数学期望()e x；二阶中心矩是方差d(x) ；(1, 1)阶混合中心矩为协方差cov(,)x y. 7* 常用分布的数字特征(1) 当x服从二项分布( ,)b n p时，(),()(1)e xnpd xnpp(2) 当x服从泊松分布( )p时，(),()e xd x，(3) 当x服从区间( , )a b上均匀分布时，2()(),()212abbae xd x(4) 当x服从参数为的指数分布时，211(),()e xd x(5) 当x服从正态分布2(,)n时，2(),()e xd x(6) 当(,)x y服从二维正态分布22

46、1212(,)n时，211(),()e xd x；222( ),( )e yd y；12cov(,),xyx y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第五章数理统计的基本概念一、基本教学要求与主要内容(一)教学要求 1理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。2了解分布、 t 分布和 f 分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。3掌握 正态总体的某些常用统计量的分布。本章重点：统计量的概念及其分布。(二)主要内容1总体、

47、个体我们把研究对象的全体称为总体(或母体 )，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设 x 为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体x。x 的分布函数称为总体分布函数。当x 为离散型随机变量时，称x 的概率函数为总体概率函数。当x 为连续型随机变量时，称x 的密度函数为总体密度函数。当x 服从正态分布时，称总体x 为正态总体。正态总体有以下三种类型：(1)未知，但已知；(2)未知，但已知； (3)和均未知。2简单随机样本数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。 要作统计推断， 首

48、先要依照一定的规则抽取n 个个体， 然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为， n 维随机向量 ()称为样本。 n 称为样本容量。(）称为样本观测值。如果样本 ()满足（1）相互独立；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 (2) 服从相同的分布，即总体分布；则称 ()为简单随机样本。简称样本。设总体 x 的概率函数 (密度函数 )为，则样本（)的联合概率函数(联合密度函数为

49、 ) 3. 统计量完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体x 的一个样本，是一个 n 元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量， 经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。4. * 常用统计量（1）样本均值：（2）样本方差：2212211()11()niinniisxxnsxxn观察值仍分别称为样本均值、样本方差5. * 三个重要分布（1）分布设为独立标准正态变量， 称随机变量的分布为自由度为 n 的分布，记为。称满足：的点为分布的分位点。（2）t 分布设随机变量x 与 y 独立，则称精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

50、- - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载的分布为自由度n 的 t 分布，记为。称满足：的点为 t 分布的分位点。（3）f 分布设随机变量u 与 v 相互独立，则称的分布为自由度的 f 分布，记为。称满足：的点为 f 分布的分位点，且有6. * 正态总体的抽样分布统计量的分布称为抽样分布，设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有（1）；（2）与相2211()1niisxxn互独立；（3）2221(1)nsn学习要点统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本的函数，统计量的选择和运

51、用在统计推断中占据核心地位。样本均值、 样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。统计量的分布称为抽样分布，其中分布、 t 分布、 f分布即是本章的重点，必须熟悉它们的定义、性质及其上分位点的查表方法； 正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论，并能运用判断一些常用统计量的分布。第六章参数估计一、教学基本要求与主要内容(一)教学基本要求1理解点估计的概念。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2掌握

52、矩估计法 (一阶、二阶 )和极大似然估计法。3了解估计量的评选标准(无偏性、有效性)。4理解区间估计的概念。5会求 单个正态总体的均值和方差的置信区间。不考 6会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。本章重点：未知参数的矩估计，极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计。(二)主要内容1. * 点估计方法设是 来 自 总 体x的 样 本 ，是 总 体 的 未 知 参 数 ， 若 用 一 个 统 计 量来估计，则称为参数的估计量，在抽样后，称为参数的估计值。这种估计称为点估计。矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法。（1）* 矩估计法用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估

53、计的基本方法。1212111111(,),(,11,()()nnkkkkinnkkkmikmiikiikiivvaxuxxnxubxxnnn（2）* 最大似然估计法设总体 x 的密度函数（其中为未知参数） ，已知为总体 x的样本的观察值，则求的最大似然估计值的步骤如下：写出似然函数121( )(, )(,)nniilf x xxfx似然函数取对数121ln(, )ln(, )nniil xxxf x(3)建立并求似然方程ln0dld(4)最大似然估计值可以由解对数似然方程得到。2. 点估计的优良性评判准则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

54、 23 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1）无偏性设是的一个估计量，若，对每一成立则称是的一个无偏估计。（2）有效性设是的两个无偏估计，如对每一，有且至少对某个使之成立严格不等式，则称比有效。称在所有的无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。3. * 单正态总体下的置信区间设是 取 自 正 态 总 体的 一 个 样 本 ， 置 信 水 平 为， 样 本 均 值，样本方差。（1）均值的置信区间若已知，取，故的双侧置信区间为：若未知，取，故的双侧置信区间为：（2）方差的置信区间若已知，取，故的双侧置信区间为：若未知，取，故的双侧置信区间为：精品学习

55、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载学习要点本章的要点是理解参数点估计的概念，掌握参数点估计的三个评判标准，会能实际应用。 特别是要掌握矩估计法和最大似然估计法这二种点估计的常用方法，并能熟练地运用这二种点估计的常用方法去求参数的估计量.本章的另一要点是理解参数区间估计的概念和置信水平、置信区间的概念及其意义，熟悉对单正态总体的均值与方差和两正态总体的均值差进行区间估计的方法及步骤，并能熟练地运用以上方法求各种置信区间。第七章假设检验一. 教学基本要求1理解显著性检验的基本

56、思想，了解假设检验可能产生的两类错误。知道两类错误概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤。2理解 单个及正态总体的均值和方差的假设检验。3(不考 )了解总体分布假设的拟合优度检验法。本章重点：单个正态总体的参数的假设检验。二. 内容提要1假设检验的基本概念假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设。原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专业理论知识提出来的。通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的。

57、检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异程度。要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。检验的名称是由使用什么统计量来命名的。否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在： 先假定原假设成立，如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断原理。2两类错误概率。第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率。3显著水平检验。在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 30 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载值落入拒绝域就拒绝原假设。若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超过事先设定的，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平的检验，而称为显著水平。由定义可知，