第五刚体的运动

1、刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体体 . . （任意两质点间距离保持不变的特殊物体（任意两质点间距离保持不变的特殊物体. .）刚体的运动形式：平动、刚体的运动形式：平动、转动转动 . .平动：刚体内任意两点间的平动：刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线 . .第五章第五章刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.1 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. . 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非

2、定轴转动 . . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . . 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 我们一般研究刚体的定轴转动问题我们一般研究刚体的定轴转动问题,而当刚体做而当刚体做定轴转动时定轴转动时,上面每一点都在做上面每一点都在做圆周运动圆周运动. 如果用角坐标表示如果用角坐标表示,则每一个质点则每一个质点,不管不管它离转轴它离转轴的的远近远近,它的它的角位移角位移,角速度角速度,角加速度角加速度都是相等的都是相等的.于是于是,用用角量角量来描述做圆周运动的刚体是非常来描述做圆周运动的刚体是非常合适的合适的.要具体到刚体上的任何质点的运动要具体到刚体上的

3、任何质点的运动,可以运用可以运用角角量和线量间的关系量和线量间的关系.x一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度角速度矢量矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴角加速度角加速度tdd 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示 .00zz二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动

4、质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt 0)(02022 22100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比三三 角量与线量的关系角量与线量的关系rvrv2raran ananrra2t ddtddt dd22 a飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75)6(2)5(22202021sradsradt 630500 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速

5、为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时， t = 0 s （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度11sradsrad)(t

6、 46650（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度2sm.)(.ra 1050620转过的圈数转过的圈数r5 .372752N2nsm)(.ra 3242022 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角

7、加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ct cttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc转子的角速度转子的角速度2215021tct 由角速度的定义由角速度的定义2150ttdd 得得tttd150d020有有3450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tcPz*OFdFrMsinMFrd 力臂力臂d 刚体绕刚体

8、绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 M5.2 5.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律讨论讨论1)1)合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM2） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiMOrmz二二 转动定律转动定律FFnFsi

9、nrFM mrmaF 2jjijejrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力ejFijFM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM 2mrrFM OzjmjrejFijF 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角加速度角加速度与它所受的与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .2jjijjejjrmMM0ijjM)rm(Mjjjje2 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义定义mrJd2ijFOzjmjrejF 内力总内力总成对成对出现，且互为出现，且互为：三三 转动惯量转动惯量 物理物理意

10、义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元mdlO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例1 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯

11、量 .mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒OROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量请大家思考：一个圆环的转动惯量是多少？请大家思考：一个圆环的转动惯量是多少？2mhJJCO 四四 平

12、行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、刚刚体对轴的分布体对轴的分布及及转轴的位置转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmdhCOm注意注意2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量RmO 例例2 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状

13、态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJsinmgl 21式中式中231mlJ ddt ddddt dd 得得sinlg23 由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJsinmgl 215.3

14、绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理5.3.1 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能221iiikmEv2221)rm(iii 将该式与质点动能将该式与质点动能 非常相似，且我们再非常相似，且我们再次看出：转动惯量是刚体绕轴转动时，惯性大小次看出：转动惯量是刚体绕轴转动时，惯性大小的量度。的量度。22/mv221J rdFAd dMAd 21dMA力矩的功力矩的功一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功, ,动能动能, ,动能定理动能定理. .力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功, ,转动动能转动动能, ,动能定理动能定

15、理. .orvFxvFoxrtFrdd5.3.2 力矩的功力矩的功sdFt drFt 21dMA力矩的功力矩的功当力矩当力矩M M为常量时，有：为常量时，有：)(MA12 注意：注意：力矩的功力矩的功实际上还是实际上还是，并没有任，并没有任何关于力矩功的新定义。何关于力矩功的新定义。 只不过，刚体在定轴转动时，力所做的功可以只不过，刚体在定轴转动时，力所做的功可以用力矩和刚体角位移的乘积表示而已。用力矩和刚体角位移的乘积表示而已。 这些公式和质点动力学的公式形式上是这些公式和质点动力学的公式形式上是一致的。一致的。2122212121JJdMA 三三 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动

16、能定理 21dMA 合外力矩合外力矩对绕定轴转动的刚体所作对绕定轴转动的刚体所作的功的功等于等于刚体刚体转动动能的增量转动动能的增量 . .dtddJ 11 21dJMt ddMt dAdP 二二 力矩的功率力矩的功率2122212121JJdMA 绕定轴转动刚体在任一过程中绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量动能的增量，等于，等于在该过程中作用在刚体上在该过程中作用在刚体上所有外力所做的功所有外力所做的功的总和的总和（合外力矩的功合外力矩的功）。）。5.4 5.4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 1 1 质点的动量矩（角动量）质点的动量矩（角动量）一一 质点的动量矩定理和角动量

17、守恒质点的动量矩定理和角动量守恒vvmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量r2mr Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点，质点相对于原相对于原点点O的角动量：的角动量：mrvsinrmLv 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L90sinrmvL J ?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等

18、于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率. .FrtprtLdddd0,ddptrvv2 质点的角动量定理质点的角动量定理prL质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参的合力矩为零时，质点对该参考点考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. . L,M0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受的冲，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量量矩等于质点角动量的增量. .12d21LLtMtt3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体