对多值解析函数研究

1、对多值解析函数的研究摘要：本文主要分析了复变函数多值性的问题，先从实变函数的反函数对应关系类比推理到复变函数的单值性，研究了一些关键名词的定义，再对几种常见的多值复变函数进行了分析，探讨了多值函数单值化的一般方法，最后讨论了函数多值性的一些具体应用。关键词: 复变函数; 多值性; 幅角; 单值解解析0 引言在学习复变函数的过程中，函数的多值性是复变函数中非常重要的一部分。为了深入研究复数域中解析函数及其应用，在多值函数的研究中，就必须在复数域中透过初等函数多值性的本质，分解出其单值分支，这样才能达到想要的结果。幅角函数的多值性是引起初等复变函数多值性的根本原因。因此，要弄清楚复变函数的多值性问

2、题，就必须以幅角函数为切入点。本文的讨论都是基于一个复数的幅角的不唯一性，这种不确定性，使复变函数除了具有多对一的情形，还有一对多的复杂情况。不论是多对一还是一对多的映射，当然都不如一一映射讨论起来方便、清晰。所以，对于多对一的映射(函数)，类似实变函数中为了求得反函数而划分出单值区间，我们总是要将其定义域分成一些区域的和,使得在分出的每个区域上，原来的多对一映射简单地成为一一映射。单值函数：在实变函数中，我们所定义的单值函数是：一个xA，有唯一的一个yR与之对应。按此定义，表达式：y2=x, x0并不给出函数，于是我们可以将其看做两个函数y1=x和y2=x，x0的合写，总之，在实分析中，函数

3、f(x)总是单值的。但是，实分析中定义的函数允许多对一，如y=sinx，xR就是无穷多个x与一个y对应。 在复变函数中,函数的定义允许一对多，即一个zE可以有多个w与之对应，这种情况我们称w是z的多值函数，w=z就是双值的，比如对于z=i，w的值可以是w1=e4i以及w2=e54i，形成上述原因的根本问题在于复数自身固有的特性，就是模长相等，幅角相差2k的两个复数是相等的。或者说，复数的表示不是唯一的。1 几种常见的复变函数的多值性探讨1.1复数的幅角函数 幅角的定义: 把复平面上的原点作为起点，向量z作为终点, 那么该向量与实轴正向之间的夹角就称为复数z的幅角，记为Argz，然而在此基础上&

4、#177;2k（K为任意整数）得到的角也称为复数的幅角，换言之，幅角有无数多个，其中的 argz称为幅角主值，即Argz = argz ±2k。 幅角主值函数argz的求法：argz 的值完全取决于复数z及z的位置。由于yx>0时，arctanyx表示第一象限角，yx<0时，arctanyx表示第四象限角，因此argz = 而再考虑argz的解析性，由于：可以看出这个函数在原点和负实轴是不连续（解析）的，故可沿负实轴作割线割破z平面，即可得到arg的一个单值解析分支（割破平面法）。1.2 复数的幂函数函数w = zn 显然是一个多对一的函数，因为幅角彼此相差2kn的n个复

5、数z都对应同一个w，这n个复数的模长相等，所以它们位于一个正n边形的顶点上。映射w = zn能把z平面上的张度为2n角形区域：T:-n<<+n 变为W平面上除去原点及射线n的区域。所以Z平面上的每个张度为2n的角形区域都是函数w = zn的一个单叶区域，这样,我们可以给出单叶区域的一个分法（限制幅角法）:Tk:2k-n<<(2k+n) ,k=0,1n-1;每一个角形Tk加上同一端的边界就是函数w = zn的单叶区域（单值分支）。值得一提的是在每一个这样的区域上都可以得到函数w = zn的一支反函数：z=nw , wTk k=0,1,2,n-1;1.3 方根函数由上文讨论

6、又易知，由于幅角的不确定性，函数w=nz为一对多的多值函数。若设z=rei，则有 w=nrein(+2k) , k=0,1,n-1，可见一个z会有n个函数值,它们位于半径为nr的圆周上，彼此张角为2n。而我们已知z所对应的n个w值分别分布在复平面的n个角形区域Tk内，每个角形区域的函数值都称为函数的一个分支。如同对幅角函数的处理方法，我们把z平面沿负实轴割开那么，在此割破的平面上，当动点z从某一点z0沿任意的闭曲线（此闭曲线不会跨过负实轴，也不会包含原点）运动一周，回到点z0时，幅角不会改变，在运动过程中所对应的函数值将都位于同一角形区域Tk中，比如取-<<，对应的函数单值区域就是

7、-n<<n，此时k取0，w=nrein 称为多值函数的主支。1.4 对数函数 定义: w = Lnz = ln | z | + iArgz = ln | z | +iargz + 2ki，k为任意整数。从这个定义不难看出，对数函数的多值性与解析性完全由iargz决定，故与幅角函数完全一致。2 多值函数单值化的一般方法 2.1 关于多值函数的支点(一) 支点的定义: 1.具有这样性质的点：当z绕这点一圈时，多值函数从一个分支变为另一分支，我们把它称为这个多值函数的支点。2.具有下述性质的点：在其任一邻域中的任一条闭约当曲线上绕它作(一次)完全环绕，可将多值函数的一个分支变为这函数的另

8、一分支。3. 如果存在点z0(可为)的一个邻域，当点:沿该邻域内任一内部含z0的闭Jordan曲线绕行一周时，多值函数了f(z) 从一个值变为另一个值，则称z0为了 f(z) 的支点。例如：函数w=z-1(z-3)有且仅有两个支点z=1，z=3。(二) 判另支点的方法一般步骤：1. 求出“可能支点”: 使R(z)=0及R(z)= 的点 2. 根据定义判别“可能支点”是否是支点.例如：求 w=Lnz-(z-)z-的支点，其中、为互不相同的复常数。解：（1）令z-(z-)z-=0、，得z=、。故w的可能支点为、。 （2）w=Lnz-z-z-=Lnz-+Lnz-Lnz- =lnz-+lnz-lnz-

9、+iargz-+argz-argz-+2k （kz） 对于z=，取充分小邻域N(, )使其内不含、。在N(, ) 内任作一条内部含的闭Jordan曲线C，在C上任取一点z1，分别取arg(z1-)=1、arg(z1-)=2、arg(z1-)=3，井由此任意取定函数在z1的一个值，不妨令w0=lnz1-+lnz1-lnz1-+i1+2+3. 当点z从z1出发沿C按逆时针方向绕行一周回到z1时，arg(z1-) 由1变到1+2，而arg(z1-)、arg(z1-) 仍为2、3，此时函数值w0变为w0+2i。故z=是支点。同理可以证明z=、也是支点。 对于z=，取充分小邻域z>R（R充分大，使

10、Rmax(、)），在此区域内任取一条围绕的Jordan闭曲线c，仿照之前方法同样可证明z=是支点。 2.2 关于多值函数的单值分支(一)可分连续分支区域定理2.1 多值函数f(z)在区域D内可分单值连续分支的充要条件是，对一于区域D内的任一闭曲线C，当点z沿C绕行一周后了f(z)的值不变。这个定理可以检验怎样取简单曲线连接支点作为割线是“适当的”，即是一可分单值分支区域。一个函数的可分单值分支区域，随割线不同而不同，其任一子区域都是可分单值分支区域，故可分单值分支区域不是唯一的。为使可分单值分支区域尽量的“大”，也为便于讨论多值函数，一般取线段、射线作割线。3 多值函数单值化方法的应用3.1

11、三个引理引理1 garga-z=gargz-a，这里 g是不通过点a的 Jordan 曲线。引理2 设Rz=P(z)Q(z)=(z-a1)1(z-an)n(z-b1)1(z-bn)n 则 gargRz=1gargz-a1+ngargz-an-1gargz-1-ngargz-n ，g是不通过P(z)，Q(z)零点的曲线。引理3 gnRz=0gargz=2nk，这里 g 是不通过P(z)，Q(z)零点的Jordan曲线。引理4 lnP(z)Q(z)与argP(z)Q(z)有相同的支点。（n为自然数，k为任意整数。）定义3.1 设D为多值函数的单值分支f(z)的解析区域，单值解析分支表达式fz|终=

12、gfz+f(z0)，其中g为D内某一条可求长的Jordan曲线，z0，z分别为g的起点与终点。3.2 两类函数可单值分支区域的作法前文提到过，连接所有支点的 Jordan曲线为支割线，将复平面沿支割线割开所得区域一定是可单值分支区域。但在处理实际问题时，总是想取割线更短一些，使可单值分支区域更大些。下面就两类函数的情形进行讨论。第一类：logR(z) 的可单值分支区域。如果R(z)可分解为Rz=R1(z)R2(z)。其中R1(z)为一有理式，其分子分母次数相同，而R1(z)本身不能作类似的分解。则只要将R1(z)有关的所有支点（不含）连接起来，就可分出logR1(z)的单值分支。因logRz=

13、logR1z+logR2(z)，故之后只需考虑logR2(z)，的多值性。仿照R1(z)的分解方法，对R2(z)再分解下去，如此，可得logRz的最大可单值分支区域。第二类：nRz的可单值分支区域。如果Rz可分解为Rz=R1(z)R2(z)。其中R1(z)为一有理式，其分子分母次数之差为n的整数倍，而R1(z)本身不能作类似分解。将nR1z的各支点连接在一起作割线。再对R2(z)同样分解如此进行下去，便得出nRz的最大可单值分支区域。例如，求Fz=z-1z-2z-3z-4 的可单值分支区域。容易看出 z=1,2,3,4是Fz的支点，显然在复平面上沿实轴从z=1到z=4作割线，在所得的区域D内，

14、即是可单值分支区域。但为了使割线尽可能短些，现在考查仅含两个支点的Jordan闭曲线。设g是一条不通过z=1,2,3,4且仅包含z=1,2的Jordan闭曲线，则gargz-1z-2z-3z-4=gargz-1+gargz-2+gargz-3+gargz-4=±2±2+0+0=±4.根据引理3，有gFz=0，同理，若取C是仅包含z=3,4的Jordan闭曲线，也可得gFz=0。于是做连接z=1，z=2的直线段及连接z=3，z=4的直线段为割线所得的区域D就是Fz的可单值分支区域。3.2 应用实例研究Fz=ln(1+z2)的支点，并求满足条件：F0=2ki的一个解析分支在z=2处的值。解 由引理4 知ln(1+z2)与arg(1+z2)有相同的支点，易知为i,-i, 。割线可以取从-i到i的射线，或者反过来。但考虑到z=0,z=2不能再割线上，所以取-i到-1，从i到-1，并沿实轴的负方向的直线为割线，从而割破平面得单值解析分支区域D。由初值定义及已知条件：F0=ln1+z2+iarg1+z2|z=0=2i，得arg1+0=2。故所得单值解析分支为：ln1+z2=ln1+z2+iarg1+z2+2i 注意，此处的argz取主值，则F2=ln5+2i。4 结论由这些讨论可以看出，多值性在复变函数中占有很重要的意义。复变函数的多值