第五章回归模型的函数形式

1、第五章 回归模型的函数形式1GYH回归模型的函数形式一、经济学中常用概念回顾（斜率、弹性、增长率）二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读三、示例说明五、对度量单位的关注及标准化变量的回归四、模型（形式）选择的依据2GYH一、经济学中常用概念回顾1、Y对X的斜率2、弹性3、增长率/YX/Y YXX/Y YXX每变动1单位，引起Y变动的百分数X每变动1%，引起Y变动的百分数X每变动1单位，引起Y变动的绝对额3GYH二、几种典型的变量非线性模型中经济涵义的解读4GYH三、示例说明1、P106例5-2 柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）2、P107例5-4 人口增长率（半对数模型）3、P113

2、例5-6 菲利普斯曲线（倒数模型）4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）5GYH先验假定经济意义检验回归估计模型设定经济意义解释变量的显著性检验方程总体的显著性检验6GYH 双对数模型(对数线性模型) 有一个很吸引人的特性：斜率B2度量了Y对X的弹性，即给X一个(很小)的变动所引起Y变动的百分比。 由於回归线是一条直线(Y和X都是对数形式)，所以它的斜率(-B2)为一常数。又由於斜率等於弹性，所以弹性为一常数它与X的取值无关。双对数线性模型的假设检验 就假设检验而言，线性模型与对数线性模型并没有什么不同。在随机误差项服从正态分佈(均值为0，方差为2)的假定下，每一个估计的回归系数均

3、服从正态分佈。或者，如果用2的无偏估计量代替它，则每一个估计的回归系数服从自由度为(nk)的t分佈，其中k为包括截距在内的参数的个数。在双变量模型中， k为2，在三变量模型中， k为3，如此等等。需求函数模型 需求函数经常使用双对数模型 1992-2008城市奶制品需求函数为 lnY=6.006+0.6062lnX se 0.144 0.039 t 41.66 15.56 p 4.4*10(-16) 3.1*10(-10) R2=0.9453 F=242.01 p=3.14*10(-10) 支出的弹性是0.6062，收入每提高1个百分点，奶制品支出会提高0.6个百分点，缺乏弹性5.2比较线性与

4、双对数线性模型Comparing linear and log-linear regression models 虽然经济理论告诉我们价格与需求量负相关，但是并未提供足够的信息告示这两者之间具体的函数形式。也就是说，经济理论本身并未提供强有力的信息告诉我们是要拟合线性模型、对数线性模型还是其他的模型。那么，回归模型的函数形式就成为一个经验性问题。在选择模型的过程中，是否有规律可循呢？ 只有经验，没有通则1、P106例5-2 柯布-道格拉斯生产函数（双对数模型）YAK LLnYLnALnKLnLU( )Log Yc()Log K( )Log L估计方程： 规模报酬不变、递增、递减、+ =111

5、； ；偏弹性系数0、样本数据样本数据：墨西哥19551974年实际GDP、总就业人数、固定资本存量（n=20）模型设定先验假定回归估计11GYH12GYHP值=（0.014） （0.085） （0.000） t= （-2.73） （1.83） （9.06）Se= （0.6062） （0.1857） （0.09343）R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000）变量的显著性检验：变量的显著性检验：01:0;:0HH5%02031.749.06tH所以拒绝01:0;:0HH5%02031.741.83tH所以拒绝总体显著性检验：总体显著性检验：01:= =0;:0HH 和 至少一个不

6、为00.0000.05pH所以拒绝经济意义检验经济意义检验1.65240.33970.8460tttLnYLnLLnK 13GYH1.65240.33970.8460tttLnYLnLLnK R2=0.995 F=1719.23 P值=（0.000）1、在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加1%，产出平均增长约0.34%。在劳动投入保持不变的情况下，资本投入每增加1%，产出平均增长约0.85%。回归结果经济意义解释：回归结果经济意义解释：2、两个偏弹性系数之和为1.1857，表明19551974年间墨西哥经济是规模报酬递增的。3、（对数）劳动力和资本解释了大约99.5%的（对数）产出的变动

7、。14GYH5.4 如何测度增长率：半对数模型How to measure the growth rate: the semilog model 通常经济学家、工商业家和政府对某一经济变量的增长率很感兴趣。比如，政府预算赤字规划就是根据预计的GNP增长率这一最重要的经济活动指标而確定的。类似地，联储根据未偿付消费者信贷的增长率(自动贷款、分期偿还贷款等等)这一指标来监视其货币政策的运行效果。5.4.1瞬时增长率与複合增长率 式(5-16)：b2=B2的估计值=ln(1+r) antilog(b2)=(1+r) r=antilog(b2)-1 由於r是複合增长率，因此一旦计算出b2值，就很容易根

8、据式(5-20)估计出Y的複利增长率。 实际中，通常列出的是瞬时增长率(instantaneous growth rate)，虽然複合增长率(compound growth rate)很容易计算5.4.2 线性趋势模型 Yt=B1+B2t+ut 即Y对时间t的回归，其中t按时间先後顺序计算。这类模型称为线性趋势模型，时间t称为趋势变量 在实际中，线性趋势模型和增长模型都应用的很广泛。但相比较而言，增长模型更有用一些。人们通常关注的是经济变量的相对变化而不是绝对变化，比如说，GNP，货币供给等等。绝对量与相对量 产品市场规模，通常可以视为线性变化，应该使用5-22式每过一年，增长的绝对量相同 近

9、十年左右的中国人口，年人口净增长率递减，人口数的增加量各年近似，可使用5-22http:/ 线性对数模型：解释变量是对数形式The lin-log model: when the explanatory variable is logarithmic 应变量是线性形式而解释变量是对数形式的模型，称为线性-对数模型(lin-log model)。 线性对数模型常用於研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。形如(5-24)的模型可以有不止一个的对数形式的解释变量。每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量X每变动1%所引起的应变量的绝对改变量。2、P107例5-4

10、 人口增长率（半对数模型）已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。20GYH5.5 线性对数模型 5-24中，x是幾何级数，y是算術级数。消费水平等速提高，消费品等量提高 消费水平与消费品之间的差距会越来越大。消费水平可以被新的消费项目所部分消化，剩餘部分即为金融资产 基本原则：根据变量自身的规律选择变形规则。原本是幾何级数的，就可以取对数，原本是算術级数的，仍用原形2、P107例5-4 人口增长率（半对数模型）已知1975-2007年美国人口数据，求该期间人口增长率。01ttYYr01*ttLnYLnYLnrtu12*ttLnYBBtu2/Y YT瞬时增长率：B2log()

11、 1anti复合增长率：rB()5.35930.0107Ln Uspopt即1975-2007年美国人口增长率为1.07%线性趋势模型线性趋势模型 平稳性质疑？22GYH5.6 倒数模型reciprocal model 这个模型的一个显著特徵是，随着X的无限增大， (1/Xi)将接近於零，Y将逐渐接近B1渐进值(asymptotic value)或极值。因此，当变量X无限增大时，形如式(5-28)的回归模型将逐渐靠近其渐进线或极值。恩格尔消费曲线(Engel expenditure curve)消费者对某一商品的支出占其总收入(或总消费支出)的比例。Y为 在某一商品上的支出， X为总收入，则该

12、商品有如下特徵：收入有一个临界值，在此临界值之下，不能购买某商品(如汽车)。在图b中，收入的临界水平是-B2/B1。消费有一个满足水平，在此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会有任何消费。在图b中，消费的满足水平为渐进线X=B1。双曲函数是描述这类商品最合適的模型。菲利普斯曲线Philips curve 工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变化一个单位，则在失业率低於自然失业率UN水平时的工资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。B1表明了渐进线的位置。菲利普斯曲线这条特殊的性质可能是由於制度的因素，比如工会交易势力、最少工资、失业保险等3、P113例5-6 菲利普斯曲线（

13、倒数模型）依据经济理论，依据经济理论，失业率上升，工资增长率会下降；且当失业率处于不同水平时，工资变动率变动的程度会不一样，即Y对X 的斜率（ ）不会是常数。/YX26GYH模型选择：模型选择：1、依据经济理论以及经验判断；2、辅助于对拟合优度的比较或是残差的比较。/0.79YX 2/20.588*( 1/)YXX20.6594R 20.5153R 27GYH4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）图图5-8 成本成本产出关系产出关系 28GYH4、P116例5-8 总成本函数（多项式回归模型）231234iiiiiYBB XB XB Xu依据价格理论，如果边际成本和平均成本曲线为U

14、型，则模型中的系数有如下先验值：12432324102033BBBBBB B、 、；、WHY? 所以经济理论的学习对于模型的建立、选择和检验有非常关键和重要的意义。29GYH5.7 多项式polynomial回归模型 这类回归模型在生产与成本函数领域中广泛使用。图5-8描绘了总成本函数(是产出的函数)曲线和边际成本(MC)及平均成本(AC)曲线新古典生产函数的生产阶段四、模型（形式）选择的依据1、模型的建立需要正确地理论、合适可用的数据、对各种模型统计性质的完整理解以及经验判断。2、不应过分强调，或者仅仅根据一个统计量（如R2）来甄选模型。3、由于理论本身不是完美的，因而也就没有完美的模型，只

15、是期望选择的模型能够合理平衡各项标准。模型选择的基本准则：模型选择的基本准则：进入模型中的解释变量的关系（即理论基础）、解释变量系数的预期符号、弹性系数等经济指标、统计显著性等要比较两个模型中的R2或R2 ，应变量必须是相同的。经济理论经济理论工作经验工作经验32GYH五、对度量单位的关注及标准化变量的回归1、过原点的回归、过原点的回归（regression through the origin）只有在充分理论保证下才能使用零截距模型，比如奥肯定律或其他经济和金融理论。 2、注意模型中变量的度量比例和单位、注意模型中变量的度量比例和单位3、标准化变量的回归、标准化变量的回归怎么做？如何解释？原

16、因33GYH342、注意模型中变量的度量比例和单位、注意模型中变量的度量比例和单位GYH35GYH363、标准化变量的回归、标准化变量的回归*;*YXYYXXYXSS怎么做：怎么做：先将所有变量标准化，再对标准化后的变量进行回归。原因原因：为了消除量纲的影响。2222333323( ) /( )() /()() /()genr syYmean Ystdev Ygenr sxXmean Xstdev Xgenr sxXmean Xstdev Xsy sxsx估计方程：GYH37如何解释？3、标准化变量的回归、标准化变量的回归标准化变量回归系数的涵义是：标准化变量回归系数的涵义是：标准化解释变量每

17、增加一个标准差，标准化解释变量每增加一个标准差，被解释标准化变量的均值将增加被解释标准化变量的均值将增加B*倍标准差。倍标准差。0.1680.831tttsLnYsLnLsLnK在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每增加一个标准差，产出平均增长0.17个标准差。在劳动投入保持不变的情况下，资本投入每增加一个标准差，产出平均增长0.83个标准差。由此可知，资本投入对产出的影响大于就业对产出的影响。GYH5.10标准化变量的回归Regression on standard variables 标准分standard score、Z-score 一个变量值与均值的差除以该变量的标准差 无量纲，可在不

18、同性质的数据之间进行对比 beta系数coefficients5.11 不同函数形式模型小结模型形式斜率=弹性=线性模型Y=B1+B2XB2B2双对数模型lnY=B1+B2lnXB2B2 对数-线性模型lnY=B1+B2XB2Y B2(X)线性-对数模型Y= B1+B2lnX B2B2双曲函数模型-B2-B2YX21XdXdYYXdXdY.Y1X1Xy X1BBY21XY1使用不同函数形式的例子 食物支出模型：倒数模型 需求、供给模型：某类商品的需求量、供给量与价格的关系，可以使用线性模型。也可以使用双对数模型，具有不变弹性 生产函数：产出量与投入品数量之间的关系，由于投入品的边际报酬递减，常用双对数模型 总成本函数：三次方程，或二次方程回归模型的函数形式-小结一、经济学中常用概念