matlab求定积分之实例说明

1、一、符号积分符号积分由函数 int 来实现。该函数的一般调用格式为： int(s) ：没有指定积分变量和积分阶数时， 系统按 findsym 函数指示的默认变量 对被积函数或符号表达式 s 求不定积分；int(s,v) ：以 v 为自变量，对被积函数或符号表达式 s 求不定积分； int(s,v,a,b) ：求定积分运算。 a,b 分别表示定积分的下限和上限。该函数求被 积函数在区间 a,b 上的定积分。 a 和 b 可以是两个具体的数，也可以是一个符 号表达式，还可以是无穷 (inf) 。当函数 f 关于变量 x 在闭区间 a,b 上可积时， 函数返回一个定积分结果。当 a,b 中有一个是

2、inf 时，函数返回一个广义积分。 当 a,b 中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例：求函数xA2+yA2+zA2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是xA2*y ;对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是xA2 ;对 x 的积分下限 1，上限是 2，求解如下：>>syms x y z % 定义符号变量 >>F2=int(int(int(xA2+yA2+zA2,z,sqrt(x*y),xA2*y),y,sqrt(x),xA2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 = 1610027357/6563700-60720

3、64/348075*2A(1/2)+14912/4641*2A(1/4)+64/225*2 A(3/4) % 给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1. 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)?法、牛顿柯特斯 (Newton-Cotes) 法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个 积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x仁a，xn+仁b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2. 数值积分的实

4、现方法基于变步长辛普生法，MATLAB合出了 quad函数来求定积分。该函数的调用格式 为：I,n=quad('fname',a,b,tol,trace)基于变步长、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB合出了 quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quadl('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积 分精度，缺省时取 tol=0.001 。 trace 控制是否展现积分过程，若取非 0 则展现 积分过程，取 0 则不展现，缺省时取 trace=0 。

5、返回参数 I 即定积分值， n 为被 积函数的调用次数。例：求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0,积分上限为1。>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数 fname>>Isim=quad(fun,0,1) % 辛普生法 Isim =0.746824180726425IL=quadl(fun,0,1) % 牛顿柯特斯法 IL =0.746824133988447三、梯形法求向量积分trapz(x,y)梯形法沿列方向求函数 丫关于自变量X的积分(向量形式，数值方 法)。>

6、;>d=0.001;>>x=0:d:1;>>S=d*trapz(exp(-x.A2)S=0.7468或：>>format long g>>x=0:0.001:1; %x 向量，也可以是不等间距>>y=exp(-x.A2); %y 向量，也可以不是由已知函数生成的向量>>S=trapz(x,y); % 求向量积分S =0.746824071499185 int 的积分可以是定积分，也可以是不定积分(即有没有积分上下限都可以积) 可以得到解析的解，比如你对 xA2 积分，得到的结果是 1/3*xA3 ，这是通过解析 的方

7、法来解的。如果 int(xA2,x,1,2) 得到的结果是 7/3quad 是数值积分，它只能是定积分(就是有积分上下限的积分)，它是通过 simpson 数值积分来求得的(并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代 入，而是用小梯形的面积求和得到的)。如果 f=inline('x.A2');quad(f,1,2) 得到的结果是 2.333333 ，这个数并不是 7/3int 是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度； quad 是数值解，有计算精度 限制，优点是总是能有一定的速度， 即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。 FROM: 58.192.116.*对于 y=ex

8、p(-(x.A2+x+1)/(1+x) ，被积函数之原函数无 " 封闭解析表达式 ", 符号 计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：>> syms x>>y=exp(-(x.A2+x+1)/(1+x)>>s=int(y,x,0,inf)y =exp(-xA2-x-1)/(1+x)Warning: Explicit integral could not be found.>> In at 58 s =in t(exp(-xA2-x-1)/(1+x),x = 0 .I nf)只有通过数值计算解法>>

9、; dx=0.05; % 采样间隔>>x=0:dx:1000; % 数值计算适合于有限区间上 ,取有限个采样点，只要终值足够 大，精度不受影响>>y=exp(-(x.A2+x+1)./(1+x);>>S=dx*cumtrapz(y); % 计算区间内曲线下图形面积 , 为小矩形面积累加得 >>S(end)ans =0.5641 %所求定积分值或进行编程，积分上限人工输入，程序如下： %表达式保存为函数文件function y=fxy(x)y=exp(-(x.A2+x+1)./(1+x); % save fxy.m% main 主程序clear,c

10、lch=.001;p=0;a=0;R=input(' 请输入积分上限， R=')while a<Rp=p+(fxy(a)+fxy(a+h)*h/2;a=a+h;endp=vpa(p,10)运行主程序后得到结果：请输入积分上限， R=1000R =1000p =.5641346055其它结果如下：0-1: int=.30676016860-2: int=.45996331590-5: int=.55830682170-10: int=.56409289750-100: int=.56413460550-1000: int=.5641346055FROM: 211.65.33

11、.*在积分函数中 , sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9); 已 知 变量 e1,e2,e3,n1,n2,n3 通过函数参数输入 , 如果直接用 inline 或字符串的形 式，则表达式中的未知数有 9 个，分别是 e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z 。而用匿名 函数时，已知变量 e1,e2,e3,n1,n2,n3 就会以常数看待，未知数就只有 x,y,z 了，可以求三重积分了。完整函数程序：function Fn(n1,n2,n3)if n1=0e1=1;else if n1>0e1=

12、2;endendif n2=0e2=1;else if n2>0e2=2;endendif n3=0e3=1;else if n3>0e3=2;endendF=(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) % 求三重数值积分将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：>> Fn(1,1,1)S =866.9655FROM: 211.65.33.*三重积分请用三重积分函数 triplequa

13、d ， 与三个积分上下限对应， 即 x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) 其中被积函数 F 用 "匿名函数 "来表达，即 F=(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);如果直 接用 inline 或字符串的形式，则表达式中 的未 知数有 9 个，分别是 e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有 x,y,z 了。完整函数程序：fun ctio n Fn(n 1, n2, n3)if n1=0e1=1;else if n1>0e1=2;endend if n2=0 e2=1;else if n2>0