matlab优化工具箱的使用

1、优化工具箱的使用MATLAB 的优化工具箱提供了各种优化函数，这些优化函数可以通过在命令行输入相应的函数名加以调用； 此外为了使用方便， MA TLAB 还提供了图形界面的优化工具( GUI Optimization tool )。1 GUI 优化工具1.1 GUI 优化工具的启动有两种启动方法：( 1)在命令行输入 optimtool ；(2)在MATLAB主界面单击左下角的"Start”按钮，然后依次选择"ToolboxesOptimization宀Optimization1.2 GUI 优化工具的界面界面分为三大块：左边(Problem Setup and Resul

2、ts)为优化问题的描述及计算结果显示；中间(Options)为优化选项的设置；右边(Quick Reference)为帮助。为了界面的简洁，可以单击右上角"<<”、“>>”的按钮将帮助隐藏或显示。1、优化问题的描述及计算结果显示此板块主要包括选择求解器、目标函数描述、约束条件描述等部分。 选择合适的求解器以及恰当的优化算法，是进行优化问题求解的首要工作。Solver:选择优化问题的种类，每类优化问题对应不同的求解函数。Algorithm ：选择算法，对于不同的求解函数，可用的算法也不同。Problem 框组用于描述优化问题，包括以下内容:Objective f

3、unction: 输入目标函数。Derivatives: 选择目标函数微分(或梯度)的计算方式。Start point: 初始点。Constraints 框组用于描述约束条件，包括以下内容:Linear inequalities: 线性不等式约束，其中 A 为约束系数矩阵， b 代表约束向量。Linear equalities: 线性等式约束，其中 Aeq 为约束系数矩阵， beq 代表约束向量。Bounds: 自变量上下界约束。Nonlinear Constraints function; 非线性约束函数。Derivatives: 非线性约束函数的微分(或梯度)的计算方式。Run solve

4、r and view results 框组用于显示求解过程和结果。(对于不同的优化问题类型， 此板块可能会不同， 这是因为各个求解函数需要的参数个数不一样， 如 Fminunc函数就没有 Constraints 框组。)2、优化选项( Options )Stopping criteria: 停止准则。Function value check:函数值检查。User-supplied derivatives:用户自定义微分（或梯度）。Approximated derivatives:自适应微分（或梯度）。Algorithm sett in gs:算法设置。Inner iteration stopp

5、ing criteria:内迭代停止准则。Plot function:用户自定义绘图函数。Output fun ctio n:用户自定义输出函数。Display to comma nd win dow:输出到命令行窗口。对于不同的优化问题类型，此板块也会不同，3、帮助（Quick Referenee ）每选择一个函数求解器，帮助部分都有对这个函数的功能说明，同时还会给出相应的各个输入项说明。1.3 GUI优化工具的使用步骤（1）选择求解器Solver和优化算法。（2）选定目标函数。（3）设定目标函数的相关参数。（4）设置优化选项。（5）单击"Start”按钮，运行求解。（6）查看求解

6、器的状态和求解结果。（7）将目标函数、选项和结果导入 /导出。（在菜单文件中寻找）1.4 GUI优化工具的应用实例1、无约束优化（fminunc求解器）fminunc求解器可用的算法有两种：Large scale （大规模算法）Medium scale （中等规模算法）对于一般问题，采用中等规模算法即可。例1 ：用优化工具求f x =x2，4x-6的极小值，初始点取 x=0。解：首先在当前 MATLAB的工作目录下建立目标函数文件Fununc1.m文件：function y= FunUnc1（x）% function必须为小写，如果 F为大写则不行y=xA2+4*x-6;%平方符号输入时用键盘

7、上数字6上的符合，否则错误然后启动优化工具：在Solver下拉选框中选择fminunc ；Algorithm 下拉选框中选择 Medium scale ；目标函数栏输入FunUnc1 ；%运算时输入函数不知什么原因老有错误，直接输入目标函数却没有错误初始点输入0，其余参数默认；单击"Start”按钮运行。从求解结果可以看出，函数的极小值为-10，且在x=-2时取到，而且从 Current iteration框可以看出迭代的步数。对于函数形式比较简单的情况，可以直接输入目标函数，而不用建立目标函数文件，在目标函数栏中直接输入 (x)xA2+4*x-6，也可求出结果。此题能否用进退法和黄

8、金分割法(或二次插值法)求解吗？不能，要用进退法或黄金分割法得自己先编程序，然后才能调用这样的函数。2、无约束优化(fminsearch求解器)fminsearch求解器也可用来求解无约束优化问题，它有时候能求解fminunc不能解决的问题。2例2:用优化工具求f (x )= x -3x+2的极小值，初始点取x=-7，比较fminunc和fminsearch求出的结果。解：通过数学计算，可以得到本例中的极小点有两个x1=1,x2=2。启动优化工具：在Solver下拉选框中选择fminunc ；Algorithm 下拉选框中选择 Medium scale ；目标函数栏输入(x)abs(xA2-3

9、*x+2);初始点输入-7,其余参数默认；单击"Start”按钮运行。Fminunc求得的结果为x=1.5,显然数值不对，它是未加绝对值时函数f x = X2 - 3x，2的极小值。然后在Solver下拉选框中选择fminsearch ；Algorithm 下拉选框中选择 Medium scale ；目标函数栏输入(x)abs(xA2-3*x+2);初始点输入-7，其余参数默认；单击"Start”按钮运行。fminsearch求得的结果为x=2,显然数值是对的。可为什么不能求出数值x=1呢，因为此时的函数值也是最小的。由此可得结论： 对于非光滑优化问题 Fminunc 可能

10、求不到正确的结果， 而 fminsearch 却能很好地胜任这类问 题的求解。2 MATLAB 优化工具箱在一维优化问题中的应用2.1 应用 fminbnd 函数在 MA TLAB 中， fminbnd 函数可用来求解一维优化问题，其调用格式为：(1) x=fminbnd(fun,x1,x2);%求函数fun在区间(x1,x2)上的极小值对应的自变量值。(2) x=fminbnd(fun,x1,x2,options);% 按options结构指定的优化参数求函数fun在区间(x1,x2)上的极小值对应的自变量值，而 options 结构的参数可以通过函数 optimset 来设置，其中 opt

11、ions 结构中的字段如下：Display 设置结果的显示方式：off不显示任何结果；iter显示每步迭代后的结果；final只显示最后的结果；n otify只有当求解不收敛的时候才显示结果。Fu nValCheck检查目标函数值是否可接受：On当目标函数值为复数或NaN时显示出错信息；Off 不显示任何错误信息。MaxFunEvals 最大的目标函数检查步数。MaxIter 最大的迭代步数。OutputFcn 用户自定义的输出函数，它将在每个迭代步调用。PlotFcns 用户自定义的绘图函数。TolX 自变量的精度。(3) x,fval= fminbnd(.);%此格式中的输出参数 fval

12、 返回目标函数的极小值。( 4) x,fval,exitflag= fminbnd(.);%此格式中的输出参数 exitflag 返回函数 fminbnd 的求解状态(成功或失败)，说明如下：exitflag=1 fminbnd 成功求得最优解，且解的精度为 TolX；exitflag=0 由于目标函数检查步数达到最大或迭代步数达到最大值而推出。exitflag=-1 用户自定义函数引起的退出。exitflag=-2边界条件不协调(x1>x2)。( 5) x,fval,exitflag,output= fminbnd(.);%此格式中的输出参数output 返回函数 fminbnd 的求

13、解信息(迭代次数、所用算法等) ，说明如下：output 结构中的字段： output.algorithm: 优化算法 output.iterations: 优化迭代步数output.fu ncCou nt:目标函数检查步数output.message:退出信息例1:用fminbnd求函数f x =x4_x2，x-1在区间-2,1上的极小值。解：在MATLAB命令窗口输入>>x,fval,exitflag,output= fminbnd(所得结果为x =-0.8846fval =-2.0548exitflag =1output = iterati ons: 11%fun cCou

14、nt: 12%algorithm: 'golde n sect ion search 抛物线算法求本例函数的极小值message: 1x112 charA4-xA2+x-1 '-2,1)迭代次数为11次函数计算了 12次parabolic in terpolati on'%fminbnd用了黄金分割法和17要查看结果的精度，可以接着在MATLAB命令窗口中输入>> output.message可得如下信息ans =Optimization terminated:the current x satisfies the term in ation criteri

15、a usi ng OPTIONS.ToIX of 1.000000e-004MATLAB 命令窗口输入说明求得结果的精度为1.0e-4,如果想提高精度，可以通过option结构来指定,>>opt=optimset( ' TolX ' ,1.0e-6);>>format l ong;>>x,fval,exitflag,output= fminbnd( xA4-xA2+x-1 ,-2,1,opt)所得结果为x= -0.884646164474752fval = -2.054784062185396exitflag =1output =iterat

16、i ons: 11fun cCou nt: 12algorithm: 'golde n sect ion search, parabolic in terpolati on'message: 1x112 char这样求得的结果 x 就有了 1.0e-6 的精度。为了理解 fminbnd 的求解原理，将每一步的迭代过程打印出来，在 MA TLAB 命令窗口中输入 >> opt=optimset( display ', ' iter ');>>x,fval,exitflag,output= fminbnd(A4-xA2+x-1 

17、9;,-2,1,opt)所得结果为Func-count xf(x)Procedure1-0.854102-2.05144initial2-0.145898-1.16673golden3-1.2918-1.17585golden4-0.72025-1.9699parabolic5-0.853884-2.05139parabolic6-0.890887-2.05464parabolic7-1.04402-1.94595golden8-0.884922-2.05478parabolic9-0.88455-2.05478parabolic10-0.884647-2.05478parabolic11-0

18、.884613-2.05478parabolic12-0.88468-2.05478parabolicOptimization terminated:the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-004x = -0.884646700241543fval = -2.054784062184385exitflag =1output = iterations: 11funcCount: 12algorithm: 'golden section search, paraboli

19、c interpolation'message: 1x112 char分析迭代过程可发现， fminbnd 首先产生一个迭代的初始点， 经过简单的计算可以发现， 这个初始点是区间的 黄金分割点(-0.854=-2+ (1-0.618) * (1+2),接着再用黄金分割法迭代，直到相连两步迭代得到的f(x)相差不大时，此时用二次插值法迭代一步，如果用二次插值法得到的估计点可以接受的话(和前次黄金分割法得 到的f(x)相差不大)，则再用二次插值法迭代，如果相连两次二次插值法迭代得到的f(x)相差不大，且自变量的差别很小，则继续直到满足精度要求，否则换用黄金分割法。X2例2:用fminbnd

20、求函数f x =e x si nx在区间-10,10上的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval,exitflag= fminbnd(exp(-xA2)*(x+sin(x) '-10,10)所得结果为x =-0.6796fval =-0.8242exitflag =1x2函数f xi；=e一 x sinx在区间-10,10上的图形如图所示，在此区间上函数有两个极值点，一个极大值, 一个极小值，函数 fminbnd成功求得极小值点。例 3:用 fminbnd 求函数 f x =sin(2x1) 3sin(4x - 3) - 5sin(6x 5)在区间-4,4上

21、的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval= fminbnd(si n(2*x+1)+3*si n(4*x+3)+5*si n(6*x+5)',-4,4)所得结果为x =-1.1082fval =-8.8940若在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval,exitflag= fminbnd( si n(2*x+1)+3*si n(4*x+3)+5*si n(6*x+5)'-4,4)x =-1.1082fval =-8.8940exitflag =1例4:用fminbnd求函数在区间-8,8上的极小值。1 _ 1 _ 12 2 2(x-2

22、)33(x-5)42(x-1)1解：在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval= fminbnd(-'1/(x-2)a2+3)-1/(3*(x-5)a2+4)-1/(2*(x-1)a2+1)'-8,8)所得结果为x =1.0337fval =-1.2715例5:用fminbnd求函数f ( x ) = |x+1 +x2+x-2在区间-2,2上的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval= fminbnd( abs(x+1)+xA2+x-2 '-2,2)所得结果为x =-1.0000fval =-2.00002.2 应用 fmins

23、earch 函数fminsearch函数的主要功能是求多变量的极值问题，当然也就可以求单变量极值问题。例：用fminsearch函数求函数 f x = x4 _x2 x_1的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>>x,fval,exitflag,output= fmin search(xa4-xA2+x-1 ',0)所得结果为x =-0.8846fval =-2.0548exitflag =1output =iterati ons: 24fun cCou nt: 48algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search

24、9;message: 1x196 char3 MATLAB优化工具箱在无约束优化问题中的应用3.1 应用 fminsearch 函数在MATLAB中，fminsearch函数可用来求解无约束多维极值问题，其调用格式为(1) x= fminsearch(fun,x0):从起始点x0出发，求出fun的一个局部极小点;(2) x= fminsearch(fun,x0,options):按options结构指定的优化参数求函数fun的极小点，而 options结构的参数可以通过函数 optimset来设置，options结构中的各个字段及其含义如表所示;字段说明Display设置结果的显示方式：off

25、不显示任何结果；iter显示每步迭代后的结果；final只显示取后的结果；n otify只有当求解不收敛的时候才显示结果。Fun ValCheck检查目标函数值是否可接受：On当目标函数值为复数或 NaN时显示出错信息；Off 不显示任何错误信息。MaxF un Evals最大的目标函数检查步数MaxIter最大的迭代步数OutputFc n用户自定义的输出函数，它将在每个迭代步调用PlotFcns用户自定义的绘图函数，它将在每个迭代步调用TolFu n目标函数值的精度TolX自变量的精度。(3) x,fval= fminsearch()：此格式中的输出参数fval返回目标函数的极小值。(4)

26、 x,fval,exitflag= fminsearch():此格式中的输出参数exitflag返回函数fminsearch的求解状态(成功或失败)，其取值如表所示。exitflag说明1fminbnd成功求得最优解，且解的精度为TolX0由于目标函数检查步数达到最大或迭代步数达到最大值而退出。-1用户自定义函数引起的退出(5) x,fval,exitflag,output= fminsearch()：此格式中的输出参数output返回函数fminsearch的求解信息(迭代次数、所用算法等)，其字段及其含义如表所示：Output结构中的字段说明output.algorithm优化算法outp

27、ut.iterati ons优化迭代步数output.fu ncCo unt目标函数检查步数output.message退出信息例1:用fminsearch函数求解无约束多维函数 f x =sinin x2的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>>fx=(x)si n(x(1)+si n(x(2);%建立函数>>xv,fv= fmin search(fx,0,0)所得结果为xv =-1.5708 -1.5708fv =-2.0000例2:用fminsearch函数求解无约束多维函数1_ 2(%-2) +32的极小值。2(X2 +1) -5解：显然，上式的极值点为(2

28、,-1),最小值为-2/15。在MA TLAB 命令窗口中输入>>fX=(x)-1/(x(1)-2)A2+3)-1/(2*(x(2)+1F2-5);>>xv,fv= fminsearch(fx,0,0) 所得结果为xv =2.0000-1.0000fv =-0.1333为了看清楚 fminsearch 函数的单纯型搜索过程， 以显示每次迭代的信息。采用 optimset 函数设置 options 结构，将 display 字段设为 iter ，在 MA TLAB 命令窗口中输入>>opt=optimset( display ', 'iter

29、');>>xv,fv= fminsearch(fx,0,0,opt)所得结果为IterationFunc-count min f(x)Procedure010.190476130.190456initial simplex%初始单纯型250.190224expand%扩展370.190067expand490.189526expand5110.188944expand6130.187583expand7150.185763expand8170.182219expand9190.177002expand10210.167918expand11230.154383expand1

30、2250.13326expand13270.103875expand14290.0643404expand15310.0157881expand1633-0.0384754expand1735-0.0567264reflect%反射1836-0.0567264reflect1938-0.0567264contract inside%压缩2040-0.0594596contract inside2141-0.0594596reflect2243-0.0599578contract inside2345-0.0599653contract outside2447-0.0601014contract

31、 inside2549-0.0601014contract inside2651-0.0601903reflect2753-0.0601903contract inside2855-0.0603234expand2957-0.0604675expand3059-0.0607257expand3161-0.0612865expand3263-0.0617259expand3365-0.0635127expand3466-0.0635127reflect3568-0.0673697expand3669-0.0673697reflect3771-0.0740469expand3873-0.07807

32、03expand3975-0.0928988expand4077-0.10392expand4179-0.127078expand4281-0.130651reflect4382-0.130651reflect4484-0.131814contract inside4586-0.133102contract inside4688-0.133102contract inside4790-0.133204reflect4892-0.133204contract inside4994-0.13329contract inside5096-0.133326contract inside5198-0.1

33、33326contract inside52100-0.133326contract outside53102-0.133328contract inside54104-0.133331contract outside55106-0.133332contract inside56108-0.133333contract inside57110-0.133333contract outside58112-0.133333contract inside59114-0.133333contract inside60116-0.133333contract inside61118-0.133333co

34、ntract inside62120-0.133333contract inside63121-0.133333reflect64123-0.133333contract inside65125-0.133333contract outside66127-0.133333contract inside67129-0.133333contract inside68131-0.133333contract inside69133-0.133333reflect70135-0.133333contract insideOptimization terminated:the current x sat

35、isfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-004 and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-004 xv =2.0000 -1.0000fv =-0.1333x值，通从迭代过程可看出，经过多次扩展、反射、压缩过程，才求得极小值。为了得到每一步优化得到的 过建立相应的 m文件可实现。11例3:用fminsearch函数求解无约束多维函数f x =捲x2的极小值。X|x2解：显然，上式的最小值为 4,

36、极值点为(1,1)。在MA TLAB 命令窗口中输入>>fx=(x)x(1)+1/x(1)+x(2)+1/x(2);%建立函数>>xv,fv= fmin search(fx,2,3)所得结果为xv =1.00001.0000fv =4.0000fminsearch用的算法是单纯形搜索法，由于不需要计算梯度，因此fminsearch函数的运算速度很快，常见的函数都能立即求出极小值。3.2应用fminunc函数fminunc函数也能求无约束极值问题。常用的调用格式为:(1) x=fminunc(fun,x0):表示从起始点 x0出发，求出fun的一个局部极小点。(2) x=

37、fminunc(fun,x0,options):按options结构指定的优化参数求函数的极小点，而options结构的参数通过函数optimset来设置，options结构和fminsearch函数一样。(3) x=fminunc(problem):所需求解的极值问题及选项通过problem结构指定，其字段及其含义如表所示:字段说明objective目标函数x0初始点solver求解方法， fminunc 'optio nsoptions 结构(4) x,fval=fminunc(.):输出参数fval返回目标函数的极小值；(5) x,fval， exitflag=fminunc(.

38、):输出参数 exitflag返回函数fminunc的求解状态(成功或失败)；(6) x,fval， exitflag， output=fminunc(.):输出参数 output返回函数fminunc的求解信息(迭代次数，所用算法等)；(7) x,fval , exitflag , output, grad=fminunc(.):输出参数 grad 返回函数 fun 在极小点 x 处的梯度。(8) x,fval , exitflag , output, grad, hessian=fminunc(.):输出参数 hessian返回函数 fun 在极小点 x处的海 森矩阵。例1:用fminun

39、c函数求解无约束多维函数12X1 - 23122 X2 1-5的极小值。解：在MATLAB命令窗口中输入>> fx=(x)-1/(x(1)-2)A2+3)-1/(2*(x(2)+1)A2-5);>>pro.objective=fx;%此处用的是problem结构来求解极值。>>pro.x0=0,0;>>pro.solver= 'fminunc '>>pro.options=optimset( Display f 'iter f>>xv,fv , exitflag , output, grad, he

40、ss=fminunc(pro)所得结果为Warning: Gradie nt must be provided for trust-regi on method;using lin e-search method in stead.> In fminunc at 265First-orderIteratio nFun c-co untf(x)Step-sizeoptimality030.1904760.444160.078471410.116290.048262310.0945312-0.053214510.124418-0.07618720.4058170.162521-0.0966210.105624-0.12839610.0394727-0.13268910.0141830-0.13333110.000826933-0.13333315.13e-0061036-0.1333