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文档简介
1、矩阵理论矩 阵 理 论参考教材:矩阵论简明教程(第二版)矩阵论简明教程(第二版)徐仲,张凯院,陆全,冷国伟编著 科学出版社 1.1 矩阵的运算矩阵的运算1.2 方阵的行列式方阵的行列式1.3 矩阵的秩矩阵的秩1.4 特殊矩阵类特殊矩阵类1.1 矩阵的运算矩阵的运算一、一、 矩阵的概念矩阵的概念1、数集R实数集,C复数集2、矩阵的记号111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaaNotations 1 ;m nmnR所有实矩阵集合记为 2 ;m nmnC所有复矩阵集合记为 3 ;nnR所有 维实列向量集合记为 4 ;nnC所有 维复列向量集合记为二、二、 矩阵的运算矩阵的运
2、算1、加法,减法加法,减法,ijijm nm nijijm nAaBbABab若则2、数乘、数乘, ijijm nm nAaAaC若则 3、乘法、乘法1 1221,ijijm rr nrijijijijirrjikkjm nkAaBbABcca ba ba ba b若则其中4、转置与共轭转置、转置与共轭转置111211121121222122221212 =nmnmTmmmnnnmnijjim nn maaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa设,则112111222212, mmHijijijm nnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是复数 的共轭.1112111121212222122
3、21212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB设1、加法,减法、加法,减法111112121121212222221122, ,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB则2、数乘、数乘111211112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设,则3、乘法、乘法111211112121222212221212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB设1112121222112, 1,2, ;1,2,rtrijikkjksssrCCCCCCABCA BCCCis
4、jr则其中4、转置与共轭转置、转置与共轭转置111211121121222122221212 ,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设则112111222212HHHsHHHHsHHHrrsrAAAAAAAAAA1112121222121 detnnnnnnaaaaaaAAaaa、1 11 211111121211( 1)( 1).( 1)nnnaaaMMM1111111( 1) (1)nnjjjjjjjaa AM212,12,12313,13,1311,1,1 (1,2, )jjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaajnM其中1
5、2121 2122 det( 1)nnnj jjjjnjj jjAaaaA、 1 ,00100m mm nn mn nABCDAABAA DDDCDCCCC、 设则 211mnmnABCDBACDABDC 3mABABCDCD122221211112111 nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jii j nxx 1、秩的定义、秩的定义 1 rank ArA的行向量组的极大线性无关组中向量的个数 2 rank ArA的列向量组的极大线性无关组中向量的个数 3 rank ArA的最高阶非零子式的阶数23823rank 21222, 0, 212131238 21220.131例如 因为但2、基
6、本性质、基本性质(3)初等变换不改变矩阵秩。)初等变换不改变矩阵秩。 2,P QBPAQrank Arank B 若可逆,且则 1THrank Arank Arank A1、零矩阵,单位矩阵、零矩阵,单位矩阵2、对角矩阵、对角矩阵11221122,nnnnaaDdiag aaaa3、三角矩阵、三角矩阵11121222.0.00.nnnnaaaaaa上三角矩阵112122120.0.0;.nnnnaaaaaa下三角矩阵I单位矩阵 经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.有以下三类初等矩阵: 10111 ,1101E i jRow iRow j 11 211E i kk 11 3,11kE i j
7、 k 1 0, :;kAk幂零矩阵:某正整数 22 ;AA幂等矩阵: 3 ,0,0n nTTnAAA x Axxx RR实对称正定矩阵:且 4 ,0,0n nHHnAAA x Axxx CCHermite正定矩阵:且2.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化2.3 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形2.4 Hamilton-Cayley 定理定理2.5 矩阵的酉相似矩阵的酉相似,0n nnAxxAxxAxACCC设若存在数和使得 则称 是 的特征值, 称为 属于 的特征向量。2、特征多项式、特征多项式,0n nnnnAIAAIAAIAAC设称
8、为 的特征矩阵,称det为 的特征多项式,称det为 的特征方程。 1 AA的特征值就是 的特征方程的根; 2 nAn阶方阵 在复数范围内一定有 个特征值。3、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法 21det0,n nnnAIAnA C1设求的 个根它们即为 的全部特征值; 20,iniIA xA求解齐次方程组其非零解向量即为的对应特征值 的特征向量;122224,242AA 设求 的特征值与特征向量 2122det22427242AIA的特征多项式为12327.A 所以 的特征值为,12220.1221222244000244000IA xIA当时,解方程组由12221,001xx
9、 得基础解系 121 122122,0.k xk xk k所以对应的全部特征向量为 其中不同时为3770.822100.57254011245000IA xIA 当时,解方程组由333 3312 ,720.xk xk 得基础解系 故对应的全部特征向量为,11221122, tr ,tr.n nijnnn nnnAaaaaAAAaaaC设称为 的迹,记为即 12121122121212 ,1 =tr ;2det;3,ijnn nnnnnTHnnnAaaaaAAAA 设阶方阵的特征值为 , , ,则+的特征值是 , , ,而的特征值是, , ,.n niiiiiiiiiiArrsssrC设 是的
10、重特征值 称 为特征值 的代数重数 ,对应 有 个线性无关的特征向量(称 为特征值 的几何重数),则1 11101110 , ssssn nssssffaaaaAfAa AaAa Aa IfAAC设是 的多项式对于规定称为矩阵 的多项式. 12121212,.n nnnnnAAnx xxffAfffxxxC设的 个特征值为 , , , ,对应的特征向量为又设为一多项式,则的特征值为对应的特征向量仍为121212,sssAx xxx xx设 , , , 是方阵 的互不相同的特征值,是分别与之对应的特征向量,则线性无关. ,detdetm nn mnmmnABIABIBACC1 设,则 ,detd
11、etnnmnIABIBA特别地,若则,detdet,n mnmnmIBAIABABBA若则即比多的特征值为0,其余相等.1、定义、定义1,.n nn nA BPP APBABABCC设若存在可逆矩阵使得 则称 与 相似,记为2、性质、性质 , ,;2,;3,.n nA B CAAABBAAB BCACC设,则1若则若则 ,;2 detdet,;3.n nA BAB frank Arank BIAIBABfAf BC设,是一多项式,则1即 与 有相同的特征多项式,从而有相同的特征值1, ,ABPP APB可逆阵 使得111 .IBIP APPIA PPIA PIA因此1、定义、定义,.n nAA
12、AC设若 与一个对角矩阵相似,则称 可对角化2、相似对角化的条件、相似对角化的条件,.n nAAAnC设则 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量12112 , , , , nnAdiagPP APAPPP 若则存在可逆阵使得即令故 ,212121nnnA ,1,2, , , .iiiiiAinA 即因此是 对应特征值 的特征向量12, , .nP 由于 是可逆的 因此是线性无关12 ,nAn 若 有个线性无关的特征向量则 , 2 , 1,niAiii12 , nPP 令则是可逆的,且112212112, , ,nnnnAPPdiagP APdiagA 即也就是 可对角化.,n n
13、AAnAC设如果 有 个不同的特征值,则 可对角化.212,ssiinAr rrrrA 1i设是 阶方阵 的所有互不相同的特征值其重数分别为 , , , .若对应 重特征值 有 个线性无关的特征向量,则 可对角化.1Whether the following matrices are similar to a digonalmatrix, if yes, find a nonsingular matrix such that PP AP 110211 1 430 ; 2 234102112AA 2123row elementary operations 1 121,2and210210 420
14、101 .101000EAEA12, thus the dimension of eigenspace 31multiplicity 2 of the eigenvaule 1. Therefore is not diagonalizable.r EAVr EAA 123 2 113 1,1,3, thus, is diagonalizable.EAA 1233020 xxxx1For 1, sovle the equation 0, 111111224002 , that is113000EA xEA 111from which we obtain an eigenvector 1 of 1.0220Similarly, for 1, we have an eigenvector 1.1 332for 3, we have an eigenvector 3 .1 1102Let 113 , then 1, 1,3.011PP AP
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