矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]

1、矩阵理论矩 阵 理 论参考教材：矩阵论简明教程（第二版）矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社 1.1 矩阵的运算矩阵的运算1.2 方阵的行列式方阵的行列式1.3 矩阵的秩矩阵的秩1.4 特殊矩阵类特殊矩阵类1.1 矩阵的运算矩阵的运算一、一、 矩阵的概念矩阵的概念1、数集R实数集，C复数集2、矩阵的记号111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaaNotations 1 ;m nmnR所有实矩阵集合记为 2 ;m nmnC所有复矩阵集合记为 3 ;nnR所有 维实列向量集合记为 4 ;nnC所有 维复列向量集合记为二、二、 矩阵的运算矩阵的运

2、算1、加法，减法加法，减法,ijijm nm nijijm nAaBbABab若则2、数乘、数乘, ijijm nm nAaAaC若则 3、乘法、乘法1 1221,ijijm rr nrijijijijirrjikkjm nkAaBbABcca ba ba ba b若则其中4、转置与共轭转置、转置与共轭转置111211121121222122221212 =nmnmTmmmnnnmnijjim nn maaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa设，则112111222212, mmHijijijm nnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是复数 的共轭.1112111121212222122

3、21212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB设1、加法，减法、加法，减法111112121121212222221122, ,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB则2、数乘、数乘111211112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设，则3、乘法、乘法111211112121222212221212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB设1112121222112, 1,2, ;1,2,rtrijikkjksssrCCCCCCABCA BCCCis

4、jr则其中4、转置与共轭转置、转置与共轭转置111211121121222122221212 ,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设则112111222212HHHsHHHHsHHHrrsrAAAAAAAAAA1112121222121 detnnnnnnaaaaaaAAaaa、1 11 211111121211( 1)( 1).( 1)nnnaaaMMM1111111( 1) (1)nnjjjjjjjaa AM212,12,12313,13,1311,1,1 (1,2, )jjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaajnM其中1

5、2121 2122 det( 1)nnnj jjjjnjj jjAaaaA、 1 ,00100m mm nn mn nABCDAABAA DDDCDCCCC、 设则 211mnmnABCDBACDABDC 3mABABCDCD122221211112111 nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jii j nxx 1、秩的定义、秩的定义 1 rank ArA的行向量组的极大线性无关组中向量的个数 2 rank ArA的列向量组的极大线性无关组中向量的个数 3 rank ArA的最高阶非零子式的阶数23823rank 21222, 0, 212131238 21220.131例如 因为但2、基

6、本性质、基本性质（3）初等变换不改变矩阵秩。）初等变换不改变矩阵秩。 2,P QBPAQrank Arank B 若可逆，且则 1THrank Arank Arank A1、零矩阵，单位矩阵、零矩阵，单位矩阵2、对角矩阵、对角矩阵11221122,nnnnaaDdiag aaaa3、三角矩阵、三角矩阵11121222.0.00.nnnnaaaaaa上三角矩阵112122120.0.0;.nnnnaaaaaa下三角矩阵I单位矩阵 经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.有以下三类初等矩阵： 10111 ,1101E i jRow iRow j 11 211E i kk 11 3,11kE i j

7、 k 1 0, :;kAk幂零矩阵：某正整数 22 ;AA幂等矩阵： 3 ,0,0n nTTnAAA x Axxx RR实对称正定矩阵：且 4 ,0,0n nHHnAAA x Axxx CCHermite正定矩阵：且2.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化2.3 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形2.4 Hamilton-Cayley 定理定理2.5 矩阵的酉相似矩阵的酉相似,0n nnAxxAxxAxACCC设若存在数和使得 则称 是 的特征值， 称为 属于 的特征向量。2、特征多项式、特征多项式,0n nnnnAIAAIAAIAAC设称

8、为 的特征矩阵，称det为 的特征多项式,称det为 的特征方程。 1 AA的特征值就是 的特征方程的根； 2 nAn阶方阵 在复数范围内一定有 个特征值。3、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法 21det0,n nnnAIAnA C1设求的 个根它们即为 的全部特征值； 20,iniIA xA求解齐次方程组其非零解向量即为的对应特征值 的特征向量；122224,242AA 设求 的特征值与特征向量 2122det22427242AIA的特征多项式为12327.A 所以 的特征值为，12220.1221222244000244000IA xIA当时，解方程组由12221,001xx

9、 得基础解系 121 122122,0.k xk xk k所以对应的全部特征向量为 其中不同时为3770.822100.57254011245000IA xIA 当时，解方程组由333 3312 ,720.xk xk 得基础解系 故对应的全部特征向量为，11221122, tr ,tr.n nijnnn nnnAaaaaAAAaaaC设称为 的迹，记为即 12121122121212 ,1 =tr ;2det;3,ijnn nnnnnTHnnnAaaaaAAAA 设阶方阵的特征值为 ， ， ，则+的特征值是 ， ， ，而的特征值是， ， ，.n niiiiiiiiiiArrsssrC设 是的

10、重特征值 称 为特征值 的代数重数 ，对应 有 个线性无关的特征向量(称 为特征值 的几何重数），则1 11101110 , ssssn nssssffaaaaAfAa AaAa Aa IfAAC设是 的多项式对于规定称为矩阵 的多项式. 12121212,.n nnnnnAAnx xxffAfffxxxC设的 个特征值为 ， ， ， ，对应的特征向量为又设为一多项式，则的特征值为对应的特征向量仍为121212,sssAx xxx xx设 ， ， ， 是方阵 的互不相同的特征值，是分别与之对应的特征向量，则线性无关. ,detdetm nn mnmmnABIABIBACC1 设,则 ,detd

11、etnnmnIABIBA特别地，若则,detdet,n mnmnmIBAIABABBA若则即比多的特征值为0,其余相等.1、定义、定义1,.n nn nA BPP APBABABCC设若存在可逆矩阵使得 则称 与 相似，记为2、性质、性质 , ,;2,;3,.n nA B CAAABBAAB BCACC设,则1若则若则 ,;2 detdet,;3.n nA BAB frank Arank BIAIBABfAf BC设,是一多项式，则1即 与 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值1, ,ABPP APB可逆阵 使得111 .IBIP APPIA PPIA PIA因此1、定义、定义,.n nAA

12、AC设若 与一个对角矩阵相似，则称 可对角化2、相似对角化的条件、相似对角化的条件,.n nAAAnC设则 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量12112 , , , , nnAdiagPP APAPPP 若则存在可逆阵使得即令故 ,212121nnnA ,1,2, , , .iiiiiAinA 即因此是 对应特征值 的特征向量12, , .nP 由于 是可逆的 因此是线性无关12 ,nAn 若 有个线性无关的特征向量则 , 2 , 1,niAiii12 , nPP 令则是可逆的，且112212112, , ,nnnnAPPdiagP APdiagA 即也就是 可对角化.,n n

13、AAnAC设如果 有 个不同的特征值，则 可对角化.212,ssiinAr rrrrA 1i设是 阶方阵 的所有互不相同的特征值其重数分别为 , , , .若对应 重特征值 有 个线性无关的特征向量，则 可对角化.1Whether the following matrices are similar to a digonalmatrix, if yes, find a nonsingular matrix such that PP AP 110211 1 430 ; 2 234102112AA 2123row elementary operations 1 121,2and210210 420

14、101 .101000EAEA12, thus the dimension of eigenspace 31multiplicity 2 of the eigenvaule 1. Therefore is not diagonalizable.r EAVr EAA 123 2 113 1,1,3, thus, is diagonalizable.EAA 1233020 xxxx1For 1, sovle the equation 0, 111111224002 , that is113000EA xEA 111from which we obtain an eigenvector 1 of 1.0220Similarly, for 1, we have an eigenvector 1.1 332for 3, we have an eigenvector 3 .1 1102Let 113 , then 1, 1,3.011PP AP