2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第10章 第2节 排列与组合

1、第二节排列与组合【考纲下载】1理解排列组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能利用排列组合知识解决简单的实际问题1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数3.排列数与组合数公式(1)排列数公式An(n1)(nm1)；An！.(2)组合数公式C.4组合数的性质(1)CC_；(2)CCC.1排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数2

2、如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题2 / 161将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案的种数是()A12 B10 C9 D8解析：选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案2用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8 B24 C48 D120解析：选C先排个位共有C种方法，再排其余3位则有A种排法，根据分步乘法计数原理，所求的四位偶数的个数为

3、CA48.3将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法的种数是()A12 B18 C24 D36解析：选A先排第一列，共有A种方法，再排第二列第一行共有C种方法，第二列第二行，第三列第二行各有1种方法根据分步乘法计数原理，共有AC×1×112种排列方法4将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有_种不同放法解析：对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第1类，这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,2,6，此类有A6种放法；第2类，这3个盒子中所放

4、的小球的个数分别是1,3,5，此类有A6种放法；第3类，这3个盒子中所放的小球的个数分别是2,3,4，此类有A6种放法因此共有66618种满足题意的放法答案：185. 如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则共有_种不同的建桥方法.解析：M，N，P，Q两两之间共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C20种方法，其中不合题意的有4种方法则共有20416种不同的建桥方法答案：16考点一排 列 问 题 例13名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女

5、各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾自主解答(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A2 520种排法(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A5 040种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，根据分步乘法计数原理， 共有A·A·A288种排法(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A1 440种排法(5)先安

6、排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A5种排法；再安排其他人，有A720种排法所以共有A·A3 600种排法【互动探究】本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少种排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A·A720种排法 【方法规律】1解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法法定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序

7、限制，排列后再除以定序元素的全排列2解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(2)分排问题直排法处理(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法1(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A3×3! B3×(3！)3 C(3！)4 D9!解析：选C把一家三口看成一个排列，然后再排列这3家，所以满足题意的坐法种数为A(A)3(3！)4.2(2014·南充模拟)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A30种 B

8、90种 C180种 D270种解析：选B选分组，再排列分组方法共有，因此共有·A90.考点二组 合 问 题 例2(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A60 B63 C65 D66(2)(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)自主解答(1)因为从1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有CCCC66种不同的取法(2)按每科

9、选派人数分为3,1,1和2,2,1两类当选派人数为3,1,1时，有3类，共有CCCCCCCCC200种选派方法当选派人数为2,2,1时，有3类，共有CCCCCCCCC390种选派方法故共有590种选派方法答案(1)D(2)590【方法规律】1解决组合应用题的一般思路首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理2组合问题的常见题型及解题思路常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”解决，将复杂问题通过两个原理化归为简

10、单问题3含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解1某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法的种数为()A30 B35 C42 D48解析：选A法一：分两种情况：(1)2门A,1门B，有CC12种选法；(2)1门A,2门B，有CC3×618种选法所以共有121830种选法法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有CCC351430种选法2两人进

11、行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)种数为()A10 B15 C20 D30解析：选C分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C12种情形所有可能出现的情形种数为261220.高频考点考点三 排列与组合的综合应用1排列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)

12、相间问题；(3)特殊元素(位置)问题；(4)多元问题等例3(1)(2013·烟台模拟)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)(2014·西安模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种(用数字作答)自主解答(1)取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1

13、234.所取卡片是1144的共有A种排法所取卡片是2233的共有A种排法所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有ACACACAA16A种排法，所以共有18A18×4×3×2×1432种排法(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法丙传第一棒，共有C·A种方法由分类加法计数原理得，共有AAC·A96种方法答案(1)432(2)96排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好

14、之后，再考虑它们“内部”的排列(2)相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4)多元问题分类法将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数18名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AAA BAC CAA DAC解析：选A相间问题用插空法，8名学生先排，有A种排法，产生9个空，2位老师插空，有A种排法，所以最终有AA种排法23位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中

15、有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为()A360 B288 C216 D96解析：选B先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有C·A·A·A种排法，再从中排除甲站两端的排法，所以所求排法种数为C·A·A·A2C·A·A·A6×(6×1224)288.3将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：选出两人看成一个整体，再全排列共有C·A36种分配方案答案：36课堂归纳通法领悟1个识别排列问题与组合问题的识别方法识别方法排

16、列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关3个注意点求解排列与组合问题的三个注意点(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗漏(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题 易误警示(十二)排列与组合中的易错问题典例将6名教师分到3所中学

17、任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法解题指导将6名教师分到3所中学，相当于将6名教师分成3组，相当于3个不同元素解析将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60种取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6种分法，故共有60×6360种不同的分法答案360名师点评1.如果审题不仔细，极易认为有CCC60种分法因为本题中并没有明确指出哪一所学校1名、2名、3名2解决排列与组合应用题应重点注意以下几点：(1)

18、首先要分清楚是排列问题还是组合问题，不能将两者混淆(2)在解决问题时，一定要注意方法的明确性，不能造成重复计数(3)分类讨论时，要注意分类标准的确定，应做到不重不漏在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法的种数为()A20 B22 C24 D36解析：选C3个男生每个语种各推荐1个，共有AA种推荐方法；将3个男生分为两组，其中一组2个人，则共有CAA种推荐方法所以共有AACAA24种不同的推荐方法全盘巩固1(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这

19、五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20解析：选Clg alg blg ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b.共有A20种结果，其中lglg，lglg，故共可得到不同值的个数为20218.2某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为()A140 B120 C35 D34解析：选D从7人中选4人，共有C35种方法又4名全是男生，共有C1种方法故选4人既有男生又有女生的选法种数为35134.3在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允

20、许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15解析：选B用间接法.4个数字的所有排列有24个，3个位置对应相同的有C4个，4个位置对应相同的有1个，故至多有2个位置对应数字相同的信息个数为244111.4现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A54 B90 C126 D152解析：选C由于五个人从事四项工作，而每项

21、工作至少一人，那么每项工作至多两人，因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有CCA种方案(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车；其余三人从事其他三项工作，共有CA种方案所以，不同安排方案的种数是CCACA126.5(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析：选C分两种情况：不取红色卡片，有C3C或CCCCCC

22、C种取法取红色卡片1张，有CC或C(3CCCC)种取法所以不同的取法的种数为C3CCC472.6(2014·北京模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为()A120 B72 C48 D3665,7,98解析：选D如图所示：从5,7,9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用C种选法，而6与8可以变换位置有A种方法，把6与8之间的一个奇数共3个数看作一个整体与剩下的两个数全排列共有A种方法，共有CAA36.7(2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2

23、张参观券连号，那么不同分法的种数是_解析：5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A96.答案：968(2014·杭州模拟)从0,1,2,3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是_(用数字回答)解析：0为特殊元素，当三位数的个位数字为0时，偶数共有A个；当个位数字不为0时，若为偶数，个位数字只能为2，此时三位偶数有2A个，故满足条件的偶数共有A2A10个答案：109(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字

24、作答)解析：从左往右看，若C排在第1位，共有A120种排法；若C排在第2位，共有A·A72种排法；若C排在第3位，则A、B可排C的左侧或右侧，共有A·AA·A48种排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(1207248)480种排法答案：48010已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测

25、试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C·AA种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法所以共有A·A·A103 680种不同的测试方法(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有A·C·A576种不同的测试方法11将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方

26、式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120种放入方式12用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21 034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数解：(1)法一：可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有AA12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有AA12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A6个五位数；故有39个满足条件的五位数法二：不大于21 034的偶数可分为三类：万位数字是1的偶数，有A·A18个五位数；万位数字是2，而千位数字是