如如何写数学建模竞赛答卷及的案例

1、n第一部分第一部分 如何写好数学建模竞赛答如何写好数学建模竞赛答卷卷n第二部分第二部分 数学建模案例（奥运场馆数学建模案例（奥运场馆问题问题）第一部分第一部分 如何写好数学建如何写好数学建模竞赛答卷模竞赛答卷例1：本文获2004年全国数学建模竞赛一等奖。摘要：本文所要讨论的问题可以归结为一个二元整数规划问题。首先，我们根据三次预演运动会的调查结果推断出奥运会期间观众在出行方式、餐饮、消费水平三个方面的行为规律以及不同性别、年龄的人群在这三个方面上的差异，然后根据这些规律估计了奥运会期间各主要场馆周围商业区的人流分布情况。为了更好地反映商业区的商业价值，本文在人流分布的基础上进一步讨论了各商区的

2、消费潜力的分布并据此设计商业区的超市群：首先，我们从招租方（组委会）、经营商和顾客三个不同角度讨论了大、小规模ms 对各自利益的影响，并分别以地租总收入、单位面积上的平均利润和安全经营率、顾客满意度等量化指标来衡量三者的各自的利益。此时，问题转化为二元整数规划问题：为各个商区确立大ms 数目和小ms 的数目，使得模型在满足经营商和顾客的一定的利益的前提下（约束条件），组委会获得的利益最大。通过计算，我们求解得到了全部商区的规划设计方案，比如在a6 区（面积约为15; 000 m2）中需要建设5 个大ms和17 个小ms（面积为150 m2），该商业区内的超市的总建筑面积为4; 800 m2，约

3、占整个商业区面积的三分之一。为了说明我们方案的合理性和贴近实际的特性，我们从顾客满意度、零售单位与人口分布的一致性指数、公平竞争原则和共同盈利原则四个方面对模型的合理性进行了分析说明。在模型的进一步讨论中，我们讨论了经济增长、旅游人口等因素对设计方案可能产生的影响。另外，为了使同一商区内的超市间避免盲目竞争，同时也是为了奥运会结束后能更好地现有的临时商业点地面进行二次开发，我们利用商圈理论对商区内超市的布局原则做了讨论并得出“大店分散，小店聚集”的规律。最后，我们根据模型求解的结果给北京奥组委提出几点建议：关注市场规模的增长、流动人口对市场的影响以及及时制定临时商业用地的二次开发方案例2：本文

4、获2004年全国数学建模一等奖。摘要：本文首先对三次问卷调查的结果进行统计分析，以年龄结构、出行方式、用餐习惯以及消费水平为不同划分标准，得出人群的分布规律以及各规律间的内在联系： 1. 选择不同出行方式的各类人群在消费水平方面的分布是相似的。 2. 选择不同用餐习惯的各类人群在消费水平方面的分布是相似的。在对人流量分布问题的处理上，我们根据题目给出的假设，在保证每位观众的“最短路径”前提下，模拟出观众的行进路线，从而跟踪计算出各商区的人流量比例。结果见表1。对各商区的ms 设置的方案设计，是一个多目标规划问题，目标函数为：满足观众购物需求、分布均衡以及商业上盈利。我们首先根据基于网络的hu&

5、amp;reg; 模型，研究了人群进入商区的购物欲望曲线，计算出每个商区的总消费量，从而得到每个商区需要的ms 的大致数目。为了得到最优的设计方案，我们定义了饱和指数指标 ¾2，来衡量整个商业区的ms 分布情况，再通过改进的模拟退火算法求出各商区间ms 分布方差最小的设计方案，即为所求的最优解。由于存在两种不同规模的ms，我们严格讨论了其性质与特征，并根据不同情况，在满足目标函数的前提下，对ms 和lms 在商区内的数量分布进行了设计，结果见表2。最后，我们对模型的科学性与现实性进行了阐述。根据雅典奥运体育场的构造图，验证了各商区的ms 个数比例是符合实际的。 3 200

6、8年北京奥运会地区临时超市点网设计年北京奥运会地区临时超市点网设计 （2004年全国大学生建模比赛年全国大学生建模比赛a题）题）n第二部分第二部分 数学建模案例（奥运场馆问题）数学建模案例（奥运场馆问题）比赛题目：比赛题目：2008年北京奥运会主馆场周边临时商亭网点设计年北京奥运会主馆场周边临时商亭网点设计 为了了解观众的购物需求和人流量的规律，假设我们在已经建设好的某运动场，举办了三次运动会，对观众发放问卷调查，采集相关数据，供解题者使用。 2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛场馆的周边地区必须建设一个由小型商亭构建的临时商业网点。我们称之为迷你超市（

7、ms）网，主要满足运动员，观众，游客，工作人员在奥运会期间购物需求，经营食品、旅游用品、奥运纪念品、文体用品和小日用品等等。在比赛场馆周边地区设置这种ms，在地点、大小类型和总量方面，必须满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡分布基本均衡和商商业上赢利业上赢利。显然，这是一个必须用科学的方法解决的问题。 在本题卷中给出了奥运会主要比赛场馆的规划图，是解决上述问题的地理平台。作为真实地图的简化，在本页结构图中仅保留了与上述问题有关的地区，以及相关内容：道路、公交车站、出租车站、自驾车停车场、地铁、餐饮部门等。并在答卷论文中明确回答以下必答问题： 1. 假

8、定每位观众出行平均两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。并且出行均采取最短路径。请你依据附录中给出的问卷调查数据所反映的规律，测算图中20个商区内人流量分布（用百分比）。 2. 请你设计ms类型（可以分两种大小不同规模）， 在20个商区内的分布（每个商区内不同类型ms的个数），以满足“题目描述”中的三个基本要求。 3阐明你的方法的科学性和结果是贴近实际的。 问题：问题： 对结构图上标明的比赛场馆周边地区规定的商区（地图上标有a、b、c及编号的黄色填充的区域）内设计网点。原型的目的：原型的目的：在奥运馆场优化设计临时小超市（ms）分析结构并抽象出专业模型：分析结构并抽象出专业模型：1）对于设计环境抽

9、象出与目的有关的馆场结构图。2）抽取影响设计ms的主要因素：人流量，因此在以上馆场结构图中，应该存在一个人流分布结构。3）理解设计的三条原则：满足购物需求、商业上赢利、分布均衡。实质上是在以上两种结构之上加上限制性结构约束。用自然语言表述了原型及目的涉及的结构以及结构之间的联系，这种专业模型实际上在题目中已经给出，只要理解并再清楚地表述。建立数学模型：建立数学模型：总体模型和每个部分的具体模型总体结构的数学模型：总体结构的数学模型：调查数据 人流动的一般规律（数据模型）规律发现+馆场平面结构人流量在馆场结构图中的分布 （网络流模型）三条原则的数学模型（约束条件）+有约束的整数规划问题各个部分的

10、数学模型各个部分的数学模型1）人流动的一般规律的数据模型：用数据挖掘方法，可以找出全部二维和三维关联规则，得到数据模型。2）将馆场平面结构图和数据模型可以建立由连通道路组成的网络流模型，进而计算出每个商区的人流量分布。3）建立三项原则的数学模型：满足需求和商业赢利都容易用数学表示。均衡性是十分灵活的特别体现“浅无边，深无底”的命题指导思想。4）最后给出整数规划问题。本问题的解决过程基本上划分为三个部分： a出行规律的数据模型的建立出行规律的数据模型的建立 这一部分的目的是通过对三次问卷调查给出的一万条记录的数据进行分析、汇总计算，给出出行与不同类型人流的分布关系，将这些关系数据组成尽可能全面反

11、应相关规律的数据系统。对三次调查的规律一致性给予充分关注，认为一致性规律才是一般性规律，这是很重要的一步分析。 在分析不同的出行与不同类型的人流相关联时，最简单的是采用直观选择可能的相关性使用统计相关分析进行计算。主要的关系都能计算出，但往往不够完整，其中性别与年龄段对出行方式的考虑不足，由于性别对与出行方式中存在着相关性（例如女性乘出租与私车比例较高），这一条比较容易忽略的规则对计算结果是有影响的。因为一般的统计方法需要确定相关性的对象，依赖直观的相关属性的选择，是造成不够完善的一个原因。使用系统的数据挖掘方法，挖掘出所有二维属性相关值，计算出支持度与置性度，才给出完整的数据模型。 共106

12、00条记录，分三次获得。第一次为3500条；第二次为3200条；第三次为3900条。与人流量相关的规则，其平均比率如下：1、性别男：5549条 （52.3） 女：5051 条（47.7）2、年龄：（男女比例基本上为1：1）20以下：1174人（11.1),2030：6150人（58%）,3050：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7）3、交通数据公交：3602人（34）,公交（南北）：1774人； 公交（东西）：1828人 地铁：4030人（38）, 地铁（东）：2006人； 地铁（西）：2024人 出租车：2010人（19）(男：女1：2) 私车：958人（9）(男：女1：

13、2) 20岁以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 岁 以 下（1137）中餐123人（10.5）992（16.2）807（37.7）460（40.5）西餐552人（47）3809（61.9）894（41.8）312（27.4）超 市 （ 购物）499人（42.5）1349（21.9）438（20.5）365（32.1）就餐数据： 购物欲：消费额20岁以下（1174）2 0 3 0（6150）3 1 5 0（2139）5 0 岁 以 上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）22

14、2（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）2316（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性别与消费额：消费额男（5549）女（5051） 0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823

15、（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）b、建立数学模型来确定人流量分布数据模型数学建模中概念的清楚的定义是很重要的，是否注意到人流量是与购物量是不同的概念，可以通过购物欲的数据，把人流量转变为购物量。但是“人流”本身也应该有明确的定义，因为性别不同和年龄段不同造成出行方式的差别和购物欲的差别。因此，将男女性别的人不加区分地统称为“人”的理解造成计算上的误差。在计算人流分布（或购物量分布）的方法上，可以构造许多创造性的数学模型。

16、例如画出路径的网络图，确定最短路径是最普遍使用的方法；对路口节点的分析是很贴近人们出行与购物习惯的；利用了矩阵表示商区节点与出行目标之间关系数据，从而使计算变得简便等等。特别是构造电路模型或水流模型，用于计算人流分布，这种方法实际上就是网络流模型的一些变形和形象化，也可以取得很好的效果。还可以特色地引入购物心理学，适当地修正仅用商圈概念的简单模型，得到一些求人流量的公式，对于更广泛的应用是有意义的。人流分布概率的方法也是普遍有用的，应当说是取得好效果的重要方法。使用直观的图形与表格进行分析也是很重要的方法等等。项目地区12345678910合计a区（男）6%3.33.74.35.5135.54

17、.33.73.352.6a区（女）6.33.33.53.94.610.54.63.93.53.347.4b区（男）7.35.68.66.37.317.3 52.4b区（女）6.45.4966.414.4 47.6c区（男）9.199.325.1 52.5c区（女）8.49.68.620.9 47.5 假设不考虑年龄段的因素，简化地只考虑性别、饮食习惯、出行方式三维关联规则，从而确定各商区的人流分布百分比如下： 这一部分的目标很明确，根据人流量分布，建立适当的数学规划模型，解出商店的最优分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商业盈利的要求设计目标函数使其达到最大。也可以先计算出每个商

18、区的最大消费额，然后在达到最大消费额条件下求成本最小作为优化目标。在目标函数选择上，这两类方法各有千秋。在建立数学规划模型中，最困难的是如在建立数学规划模型中，最困难的是如何为满足何为满足“均衡均衡”性要求而表达约束条件，这是本题在设计时性要求而表达约束条件，这是本题在设计时留下的难点，反映留下的难点，反映“深无底深无底”的命题特色。的命题特色。在众多参赛论文中主要使用的是限制性约束条件，例如限制在每个商区的ms最多个数与最少个数之差达到极小的约束，这样的规划问题比较简单，也能得到比较符合实际的分布，但是对于商圈数量较大或情况比较复杂的问题，这类约束的想法显得过于简单。 c、建立数学规划模型 原始分布改变后分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果分布均衡改变后分布原始分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果改变后分布原始分布沙堆模型的平衡效果沙堆模型的平衡效果沙堆模型的规划模型沙堆模型的规划模型1min( 1* 12* 2 )n