人教版编号65第一讲2基本不等式

1、选修选修4-5 4-5 第一讲第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式第二课时第二课时 基本不等式基本不等式探究一：重要不等式探究一：重要不等式定理1 如果a, bR, 那么a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。探究：探究：你能从几何的角度解释定理你能从几何的角度解释定理1 1吗？吗？的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。22分析：a 与b 的几何意义是正方形面积，ab如图把实数如图把实数a，b作为线段长度，作为线段长度，以以abb为例，在为例，在正方形正方形ABCDABCD中，中，AB=aAB=a；在正方形；在正方形CEFGCEFG中，中，EF=b.EF=b.bA

2、HaIKDGFbBJaCbE则则2 22 2S S正方形正方形ABCDABCD+S+S正方形正方形CEFGCEFG=a=a +b+b. . S S矩形矩形BCGHBCGH+S+S矩形矩形JCDIJCDI=2ab=2ab，其值等于图中有阴影部分的，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形面积，它不大于正方形 ABCDABCD与正方形与正方形CEFGCEFG的面积和。的面积和。即即a a2 2+b+b2 22ab.2ab.当且仅当当且仅当a=ba=b时，两个矩形成为正方形，时，两个矩形成为正方形，此时有此时有 a a2 2+b+b2 2=2ab=2ab。探究二：基本不等式探究二：基本不等式称为

3、称为的算的算称为称为a，b的的定理定理2a,b（基本不等式）（基本不等式） 如果如果a，b0，那么，那么术平均数术平均数当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2a?b?ab2几何平均数几何平均数C证明：因为证明：因为( a?b)=a+b-2 ab00，所以所以a+b a+b ，2 abOADB如图在直角三角形中，如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中分别是斜边上的中上式当且仅当上式当且仅当，即，即a=ba=b时，等号成时，等号成线和高，设线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本，则由图形可得到基本立。立。不等式的几何解释。不等式的几何解释。a?b两个正数的算术平均两

4、个正数的算术平均不小于不小于它们的几何平均。它们的几何平均。下面我们讨论一下基本 不等式的几何意义.在图1.1? ? 3中,CD是Rt?ABC中斜边 AB上的高 ,OC 是斜边AB 上的中线 ,AD? ?a,BD? ?b.于是,ACODB图图1.1? ? 311OC? ?AB? ? ?a? ?b? ?.因为? ?DCA? ? ? ?A? ? 900,22? ?B? ? ? ?A? ? 90 ,所以 ? ?DCA? ? ? ?B.ADCD于是,Rt?DCARt?DBC,从而? ?,CDBD0aCD即? ?.所以CD? ?ab.CDbC当a? ?b时,在Rt?OCD中,斜边OC大于直角边CD,AD

5、OBa? ?b图1.1? ? 3所以? ?ab.2当a? ?b时,Rt?ABC 斜边AB 上的中线OC和高CDa? ?b重合,所以? ?ab.2综上所述可知,基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.两个不等式比较：两个不等式比较：a?b2 ab适用范围文字叙述“=”成立条件22a?b ab2a0, b0a,bR两数的平方和不两数的平方和不两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数a=ba=b注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式两个公式的两个公式的 不同形式不同形式:a a?

6、? b b? ? 2ab2ab2 22 2a?b?ab(a,b?R )2a a ? ? b b2 2abab ? ? ( ()(a,b)(a,b都是正数都是正数) )2 2ba?2( ab?0)ab4.若 a,b?R,则211?ab?a?bab?2几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数?a?b222调和平均数调和平均数平方平均数平方平均数（当且仅当a=b时，取“=” 号）均值不等式的几种变形公式2aba?b?ab?a?b2a?b?(a,b?R )222（当且仅当（当且仅当a=ba=b 时取时取“=”=”）a?b?a?b?ab? ?（a,b?R）? ?2?2?（当且仅当（当且仅当a a= =b

7、 b时取时取“=”=”）222a?bab?2应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：一正一正二定二定三相等三相等a与与b为正实数为正实数a与与b的积或的积或和必须是定和必须是定值值等号成立等号成立的条件必的条件必须存在须存在例例3求证求证 :? ?1? ?在所有周长相同的矩形在所有周长相同的矩形中中,正方形正方形的面积最大的面积最大 ;? ?2? ?在所有面相同的矩形中在所有面相同的矩形中,正方形正方形的周长最短的周长最短 .分析分析设矩形的长为设矩形的长为x,宽为宽为y,那么该矩形的周长那么该矩形的周长为为2? ?x? ?y? ?,面积为面积为xy .这样这样,问题就转化为问

8、题就转化为 :? ?1? ?如果如果 2? ?x? ?y? ? ?从而从而x? ?y? ?为定值为定值,那么正数那么正数x,y有什么关系时有什么关系时 xy最大最大? ?2? ?如果如果 xy为定值为定值,那么正数那么正数 x,y有什么关系时有什么关系时2? ?x? ?y? ? ?从而从而x? ?y? ?最小最小?由于基本不等式恰好涉由于基本不等式恰好涉 及两个正数的和与积之及两个正数的和与积之间的数量关系间的数量关系,所以可以利用基本不等所以可以利用基本不等 式证明式证明.解设矩形的长为x,宽为y.? ?1? ?设矩形周长为定值l,即2x? ? 2y? ?l为定值.x? ?y根据基本不等式?

9、 ?xy,2l可得? ?xy.42l于是,矩形的面积xy? ?,当且仅当x? ?y时,16等号成立 ,即当且仅当矩形是正方形时 ,面l积xy取得最大值.162? ?2? ?设矩形面积为定值S,即xy? ?S为定值.x? ?y根据基本不等式? ?xy,2矩形的周长 2? ?x? ?y? ? ? 4xy? ? 4S,当且仅当 x? ?y时,等号成立 ,即当且仅当矩形是正方形时 ,周长 2? ?x? ?y? ?取得最小值 4 S.探究三：探究三：一般地，从基本不等式可以一般地，从基本不等式可以得到下面得到下面结论结论：对两个正数：对两个正数x、y，（1 1）如果和）如果和x+yx+y是定值是定值S

10、S，那么当，那么当 x=yx=y 时，时，12积积P=xyP=xy有最大值有最大值S4（2 2）如果积）如果积xyxy是定值是定值P P，那么当，那么当x=yx=y时，时，和和S=x+yS=x+y有最小值有最小值2 P利用利用a?b?2 ab(a?0 ,b?0 )求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：（1）一正一正：各项均为正数；：各项均为正数；（2）二定二定：两个正数积为定值，和有最小值。：两个正数积为定值，和有最小值。(积定和最小积定和最小)两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。(和定积最大和定积最大)（3）三相等三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取：求

11、最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误否则会出现错误例例某居民小区要建一座八某居民小区要建一座八 角形的休闲角形的休闲HGDAQ? ?图图1.1? ? 4? ?场所场所,它的主体造型平面图它的主体造型平面图是由两个相同的矩形是由两个相同的矩形 ABCD 和和EFGH构成的面积为构成的面积为 200平方米的十字型地平方米的十字型地域域.计划在正方形计划在正方形 MNPQ 上建一座花上建一座花PNFCBME坛坛,造价为每平方米造价为每平方米 4200元元,在四个相在四个相图图1.1? ? 4同的矩形上同的矩形上 (图中阴影部分图中阴影部分 )铺花岗岩地坪铺花岗岩地坪 ,造价为每造价为每

12、平方米平方米 210元元,再在四个空角再在四个空角 (图中四个三角形图中四个三角形 )上铺草上铺草坪坪,造价每平方米造价每平方米 80元元.? ?1? ?设总造价为设总造价为 S元元,AD长为长为x米米,试建立试建立 S关于关于x的函数的函数关系式关系式;? ?2? ?当当x为何值时为何值时 S最小最小,并求出这个最小值并求出这个最小值 .解2? ?1? ?设DQ? ?y米,则D2HGQx? ? 4xy? ? 200,200? ?x从而y? ?.于是4x22S? ? 4200 x? ? 210? ? 4xy? ? 80? ? 2y22PNFCBAME图图1.1? ? 42? ?200? ?x2

13、00 ? ?x? ? 4200 x? ? 210? ? 4x? ? 80? ? 2? ? ?4x? ?4x400000? ? 38000 ? ? 4200 x? ?2x2? ? ? ? ?2? ?2? ?由基本不等式可知40000024000 x? ?2x2HGDAQPNCBM400000EF? ? 2 4000 x? ? ? 80000,2x图图1.1? ? 4所以 S ? ? 38 000? ? 80 000 ? ? 118 000.400 0002当且仅当4 000 x? ?,即x? ? 3.16时,等号成立.2x由此可知,当AD约为3.16米时,休闲场所总造价S取最小值118 000元.例例3解 :x?1x? 2x?1x? 21当且仅当 x ?即x ? 1时原式有最小值 2.x若若x1,求x?的最小值；x?1?x? 1 ?x? 1 ? 0思考：取到最值时x的值呢？解析：11x? (x? 1) ? 1x=2 x? 1x? 11.凑项 ：使积成为定值1?2 (x?1 )?1?3x?1复习复习221.重要不等式重要不等式：如果如果a，bR， 那么那么a +b 2 ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=” ）+2.2.基本不等式：基本不等式：如果如果a, bR ，那么，那么（当且仅