数学概率统计PPT课件

1、一一. .条件概率条件概率第1页/共40页例例 1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次 则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中( (i,j)i,j)表示第一次取出i i

2、号球，第二次取出j j号球第2页/共40页例例 1（续）（续）设A= 第一次取出球的标号为 2 B= 取出的两球标号之和为 4 则事件B所含的样本点为 (1,3) (2,2) (3,1)(1,3) (2,2) (3,1)因此事件B的概率为 163BP第3页/共40页例例 1（续）（续） 若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，并记此概率为ABP由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为41ABP第4页/共40页注注 意意

3、由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的因此，有必要引入下面的定义：第5页/共40页条件概率的定义条件概率的定义设A、B是某随机试验中的两个事件，且 0AP 则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为ABP第6页/共40页条件概率计算公式条件概率计算公式 在例 1 中，我们已求得 41,163ABPBP 还可求得 161,164ABPAP 显然，上述结果满足下面的等式 APABPABP 上面的公式具有一般性，即有第7页/共40页条件概率计算公式条件概率计算公式设A、B是某随

4、机试验中的两个事件，且 0AP 则 APABPABP第8页/共40页条件概率的性质条件概率的性质0. 1ABPB，有非负性：对任意事件 条件概率有如下性质：；规范性：12 AP11213nnnnnABPABPBBB则两互不相容，两，机事件可列可加性：如果随简言之，条件概率是概率简言之，条件概率是概率第9页/共40页例例 2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率解： 设：A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 第10页/共40页例例 2（续） 则 878111APAP86ABP 所以 768786APABPABP第11页/共40页说说 明明对于

5、某些比较简单的条件概率，我们可以直接计算第12页/共40页例例 3 袋中有 4 只白球，5 只黑球，每次从中取一球，不放回地取两次，已知第一次取出的是白球，求第二次也取出白球的概率 解： 设：A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 则当已知事件 A 发生时，袋中还有球 8 只，其中有白球 3 只，故83ABP第13页/共40页例例 4 n个人排成一排，已知甲总是排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲的后面的概率 解：乙紧跟在甲的后面，甲总排在乙的前面设BA则所求概率为ABP因此，前面”机会是均等的，在甲的在乙的前面”与“乙排个人排成一排，“甲排n 21AP第14页/共40页例例 4种（样本

6、点总数）！同的排法个人排成一排，共有不nn！所包含的样本点数为而事件1nABnnnABP11！所以， APABPABP因此，nn2211第15页/共40页二二. .乘法公式乘法公式第16页/共40页两个事件的乘法公式两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式 APABPABP 我们得 ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式第17页/共40页多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式 由数学归纳法，我们有个随机事件，且为，设nAAAn210121nAAAP则有12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP这就是n个事件的乘法公式第18页/共40页例例 5 试求，满足：与设随机事件BA

7、PBAPBPAPBA6131解： BPBAPBAP BPBAP BPBAP11 BPABPBPAP11 BPBAPBPBPAP11127311613131311第19页/共40页例例 6 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解：次都未取出黑球取了设：nB niiAi，次取出白球第21则nAAAB21第20页/共40页例例 6（续）（续） 由乘法公式，我们有 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n第21页/共40页三三. .全概率公式全概率

8、公式第22页/共40页全概率公式全概率公式 设随机事件BAAAn以及,21满足： 两两互不相容；nAAA,121 ；12nnAB , 2, 103nAPn 1nnnABPAPBP则有第23页/共40页全概率公式的证明全概率公式的证明 由条件：1nnAB得1nnBAB而且由两两互不相容，nAAA,21也两两互不相容；得BABABAn,21第24页/共40页全概率公式的证明（续）全概率公式的证明（续）所以由概率的可列可加性，得 11nnBAPBP代入公式（1），得得，再由条件, 2, 10nAPnnnnABPAPBAP 11nnnnnABPAPBAPBP第25页/共40页全概率公式的使用全概率公式

9、的使用 我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求第26页/共40页例例 7 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为3、6、9、2名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中获奖的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，试求该小组在比赛中获奖的概率 解：该小组在比赛中获奖设B4321，级射手参加比赛选iiAi第27页/共40页例例 7（续）（续） 由全概率公式，有 41nnnABPAPBP32.

10、 020345. 020964. 020685. 02025275. 0第28页/共40页例例 8 一箱产品由三家工厂分别生产，已知其中第一、二、三家生产的产品各占产品总量的40%、35%、25%，又知第一、二、三家生产的产品的次品率分别为3%、4.5%、3.6%，现从该箱中任取一件产品，试求该产品为次品的概率 解：任取一件产品为次品设B3, 2, 1iiAi家工厂生产任取一件产品为第第29页/共40页例例 8（续）（续） 由全概率公式，有 31nnnABPAPBP036. 025. 0045. 035. 003. 040. 003675. 0第30页/共40页四四.Bayes公式公式第31页

11、/共40页Bayes 公公 式式 设随机事件BAAAn以及,21满足： 两两互不相容；nAAA,121 ；12nnAB , 2, 103nAPn1nnniiiABPAPABPAPBAPi则对任意的第32页/共40页Bayes公式的证明公式的证明 由条件概率的计算公式： 对于上式中的分子和分母，分别应用乘法公式和全概率公式，得 BPBAPBAPii 1nnniiiiABPAPABPAPBPBAPBAP第33页/共40页Bayes公式的使用公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因

12、对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式BAPi即求第34页/共40页例例 9 在例6中，若已知取出的一个产品为次品，试问该产品是由第一家工厂生产的概率由多大？ 解： 所用记号与例6完全相同由Bayes公式及在例6得到的结果，有 3265. 003675. 003. 040. 0111BPABPAPBAP第35页/共40页例例 10 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知90. 0,95. 0DAPDAP 0004. 0DP而且已知： 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率第36页/共40页例例 10（续）（续） 解： 由已知，得 9996. 0,90. 0DPDAP 所以，由Bayes公式，得 DAPDPDAPDPDAPDPADP10. 09996. 095. 00004. 095. 00004. 00038. 0第37页/共40页例例