数学物理方法第九章PPT课件

1、9.1 9.1 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程 园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉拉普拉斯方程普拉斯方程在在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。的常微分方程以及相应的本征值问题。（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程222222()0uuxyz 正交曲线座标系中的拉普拉斯方程正交曲线座标系中的拉普拉斯方程第1页/共56页球域内Laplace方程的边值问题222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y zcoscoscos sinsinxr

2、yrzr坐标变换坐标变换0020ra222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隐含着的周期边值条件和球内约束条件第2页/共56页直角坐标：直角坐标：222222xyz 柱坐标：柱坐标：22211()()zz 2222222111()(sin)sinsinrrrrrr 球坐标：球坐标：（1 1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量22222221110()(sin)sinsinuuurrrrrr 令令( , , )( ) ( , )u rR r Y 拉普拉斯算

3、子：3第3页/共56页22222220()(sin)sinsinYRRYRYrrrrrr 22221111()(sin)()sinsinRYYrl lR rrYY 2221110(sin)()sinsinYYl lY 欧拉形式方程欧拉形式方程222210()d RdRrrl lRdrdr球函数方程球函数方程42rRYtrln1dRdR dtdR=,drdt drr dt1,22222d Rd RdR=drrdtdt对欧拉形式方程作变量代换第4页/共56页1( )llDR rCrr22(1)0d RdRl lRdtdtddll Rdtdt10因式分解解为：式中：C和D为积分常数.第5页/共56页

4、球函数方程，令球函数方程，令( ) ( )Y 22210(sin)()sinsindddl lddd 22211dddl lddd sin(sin)()sin220dd 210sin(sin) ()sinddl ldd 自然的周期边界条件：自然的周期边界条件：2()( ) 20 1 2, , ,mm ( )cossinmmAmBml- -阶缔合勒让德方程阶缔合勒让德方程cosx 221sinsinsin()xxxxx 2222111 10()() ()()ddxxl lxmdxdx6第6页/共56页2221101() ()ddmxl ldxdxxl- -阶勒让德方程阶勒让德方程u 是轴对称的，

5、对是轴对称的，对的转动不改变的转动不改变 u 。0m 2221210()()ddxxl ldxdx 7220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值( )()()0,1,2,0,1,2,ml = y cos = Pcosl =Lm=L,l第7页/共56页令令( , , )( ) ( ) ( )uzRZ z 22222220d RZ dRRZ dd ZZRddddz 222110()()uuuzz 220dd 222222d RdRd ZRR dZddz （2 2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量2

6、R Z ( )cossinmmAmBm 20,1,2,mm 8222211d RdRmZR dR dZ 第8页/共56页0ZZ 2222d R1 dRm+(-)R = 0d d1.0 ZCDz01 2 3ln, , ,mmEFmRFEm 2.0 0 zzZCeDex 2222110()d RdRmRx dxdxx3.xv cos()sin()ZCvzDvz2v 22221(1)0d RdRmRx dxdxx贝塞耳方程贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程侧面的齐次边界条件侧面的齐次边界条件 的可能数值的可能数值上下低面的齐次边界条件上下低面的齐次边界条件v的可能数值的可能数值9第9页/共5

7、6页（二）波动方程的分离变量（二）波动方程的分离变量20ttuau 令令( , )( ) ( )u r tT t v r20T va T v 20Tvva T22Tvkva T 220Ta k T20vk v 振动方程振动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程（三）输运方程的分离变量（三）输运方程的分离变量20tuau 令令( , )( ) ( )u r tT t v r20T va T v 20Tvva T220Ta k T20vk v 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程增长或衰变的方程增长或衰变的方程10第10页/共56页（四）亥姆霍兹方程（四）亥姆霍兹方程1. 1. 球坐标球坐标22222222111()(

8、sin)0sinsinvvvrk vrrrrr ( , , )( ) ( , )v rR r Y 22222222()(sin)0sinsinYRRYRYrk RYrrrrr 22211(sin)(1)0sinsinYYl lY 222() (1)0ddRrk rl lRdrdrl 阶球贝塞耳方程阶球贝塞耳方程xkr22() (1)0ddRxxl lRdxdx球函数方程球函数方程11第11页/共56页1/21/23/221/21 (1)04xyxyxyxl lxy1/2( )( )R rxy x3/21/212Rxyxy 21/23/21/21/23/21124x Rxyxyxyxyxy 22

9、21 () 02x yxyxly阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 12l22() (1)0ddRxxl lRdxdx12第12页/共56页20,1,2,mm ( )cossinmmAmBmx22221()0d RdRmRdd 22221(1)0d RdRmRx dxdxxm阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 2. 2. 柱坐标柱坐标222211()()0vvvk vzz ( , , )( )( ) ( )vzRZ z 220dd 20ZZ 2222210()d RdRkRdd 齐次边界条件，本征值问题齐次边界条件，本征值问题22200k 13第13页/共56页分离变数结果分离变数结果拉普拉斯方程方程球坐标系柱坐

10、标系( )xcos( )sinmm 11( )/llrR rr l-阶阶连带勒让德连带勒让德方程方程cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-阶贝赛尔阶贝赛尔方程方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-阶虚宗量贝赛阶虚宗量贝赛尔方程尔方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 u14第14页/共56页15三类数学物理方程三类数学物理方程Helmholtz方程方程连带连带LegendreLegendre方程、方程、BesselBessel方程方程分离时间空间变量分离时间空间变量分离空间坐标变量分离空间坐标变量第15页/共56页16第16

11、页/共56页9.2 9.2 常点邻域的级数解法常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。( ) ( )0yp x yq x y0001(),()y xCy xC对于复变函数：对于复变函数：22( )( )0d wdwp zq z wdzdz0001()()w zCw zC（一）定义（一）定义方程的方程的常点常点 ： 和和 在其邻域解析。否则为在其邻域解析。否则为奇点奇点。0z( )p z( )q z（二）常点邻域的级数解（二）常点邻域的级数解定理：定理：方程的常点方程的常点 的邻域的邻域 中中 和和 解析，则解析，则在这个圆中存在唯一

12、的解析解在这个圆中存在唯一的解析解 满足初始条件满足初始条件0z( )p z( )q z0zzR( )w z0001(), ()w zCw zC由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：00( )()kkkw zazz解析函数理论第17页/共56页181.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论4.求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题.5

13、. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中几点说明几点说明第18页/共56页（三）勒让德方程的级数解法（三）勒让德方程的级数解法2(1) 2(1)0 xyxyl ly222(1)011xl lyyyxx化为标准形式：化为标准形式：22( )1xp xx2(1)( )1l lq xx1x 是方程的奇点是方程的奇点在在 点的邻域点的邻域：00 x 0()0p x0()(1)q xl l0( )kkky xa x11( )kkky xka x22( )(1)kkkyxk ka x1.1.级数解级数解代入方程代入方程221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkxk ka

14、xxka xl la x或或22210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkk ka xk ka xka xl la x021132212126121210kkkkkkl laal laaa xl lakak kakkax () () ()()()()19第19页/共56页02113221212611210 () () ()()()()kkkkl laal laaa xl lk kakkax02120()l laa1131260()l laaa211210 ()()()()kkl lk kakka21112121()()()()()()()()kkkk kl lklklaaakkkk

15、递推公式递推公式20(1)2l laa31(1)(2)6l laa系数的两系数的两个序列个序列20第20页/共56页211212312221 ! kklkllllkaak21这样这样 l 阶阶 Legendre 方程的解是：方程的解是： 00112031;11,2!12.3!y xa yxa yxl lyxxllyxxx 21lim11 kkkRklkl 所以所以 l 阶阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散发散。（GaussGauss判别法判别法）幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径第21页/共56页2. x= 1解的收敛性解的收敛性 可以

16、证明，当解可以证明，当解 是无穷级数时，不可能在两是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。点同时收敛。0( )kkky xa x 如果解是如果解是多项式多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛同时收敛2(1)(1)(2)(1)kkk kl laakk由系数的递推关系由系数的递推关系 可知：可知：当当l是偶数，则偶次项的系数在是偶数，则偶次项的系数在k=l以后为零以后为零。当当l是奇数，则奇次项的系数在是奇数，则奇次项的系数在k=l以后为零以后为零。3.3.自然边界条件自然边界条件“解在解在x= 1保持有限保持有限”是自然边界条件，勒让德方程变成是自然边

17、界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值是本征值。22第22页/共56页9.3 正则奇点邻域上的级数解法和和22( )( )0d wdwp zq z wdzdz110( )()skkkw zazz（一）奇点邻域上的级数解（一）奇点邻域上的级数解 定理：定理：如果如果z0是方程是方程 的奇点，则在的奇点，则在p(z)和和q(z)都解析的环状区域都解析的环状区域0z-z0R内，方程的两个线性无关解是内，方程的两个线性无关解是220( )()skkkwzb zz或或22100( )( )ln()()skkkwzAw zzzb

18、zz（二）正则奇点邻域上的级数解（二）正则奇点邻域上的级数解显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，这样的解称为这样的解称为正则解正则解。正则奇点第23页/共56页22( )( )0d wdwp zq z wdzdz定理：定理：方程方程 在它的奇点在它的奇点z0的邻域的邻域0 z-z0 R内有两个正则解的充要条件是内有两个正则解的充要条件是： (z-z0)p(z)和和(z-z0)2q(z)在在z-z0 1 或 n 2

19、令最低幂项合并后的系数为零，得不到s得二次代数方程25第25页/共56页（三）贝塞尔方程（三）贝塞尔方程(1) v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解222()0 x yxyxvyv 整数或半奇数整数或半奇数221( )( )1p xxvq xx 2(1)0s ssv 220sv12svsv 12012( )ssss kky xa xa xa xa x12(1)0s sspq26第26页/共56页12012( )ssss kky xa xa xa xa xsx 项1sx项2sx项2x y xy 2x y 2v y0(1)s sa1(1)ssa2(2)(1)ssa0sa(

20、)(1)ksk skas kx项20v a21v a22v a2kv a1(1)sa2(2)sa0a2ka()ksk a22022122200(1)0(2)0sv asv asv aa222()0kkskv aa12( )( )( )vvy xC JxC Jx10a27第27页/共56页1sv201( )( 1)()! (1) 2kvkvkxJxkvk2sv 201( )( 1)()! (1) 2kvkvkxJxkvk (2) (2) 半奇数阶贝塞尔方程半奇数阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解2221() 02x yxyxly10,1/2ls12210212( )( 1)()si

21、n32! ()2kkkxJxxxkk 21/2s 211/22( )( )lnkkkyxAJxxb x122( )cosJxxx 120,Ab任意12b任意第一解28第28页/共56页( )( )0wp z wq z w根据常微分方程理论，对于一个二阶线性常微分方程根据常微分方程理论，对于一个二阶线性常微分方程如果已经求出一个解如果已经求出一个解 ，则第二个解可用积分求出，则第二个解可用积分求出朗斯基行列式法291( )w z111222( )( )0( )( )0wp z wq z wwp z wq z w12222111()()0w wpwqwwwpwqw12211221 1()0w ww

22、 wp w ww w121221 112( )( )( )( )( )w zwzzw ww wwzwz( )( )0dzpzdz21221 122111( )()ww ww wdzdz www2121( ) zwwdzw( )0( )p z dzze 第29页/共56页( )( )0wp z wq z w什么情况下第二解可能含对数项？什么情况下第二解可能含对数项？12(1)0s sspq若规定方程在正则奇点处的两个指标若规定方程在正则奇点处的两个指标12ReRess则121212当整数时， 第二解一定不含对数项当 = 时， 第二解一定含对数项当=正整数时， 第二解可能含对数项sss sss12

23、210212( )( 1)()sin32! ()2kkkxJxxxkk 1112222200( 1)( 1)1( )( )11122!(21)(2)3 1!()()( )222 1112kkkkkkkxxkkkk kk 221002( 1)2( 1)(21)!(21)!kkkkkkxxxkxk30第30页/共56页211/ 22()() lnkkkyxAJxxb x2221( ) 02x yxyxy代入方程代入方程2211111122222221/21/21/21/21()ln241(1)04kkkkkkkkkkkkA x JxJxJxAxJAJAJk kb xkb xb xb x2211/2

24、1/2212()04 kkkkkkAxJkb xb x12项x122 AxJ21/21()4kkkkb x21/2kkkb x1/20b2A 12项x1/20b32项x23/231( )24b1/2b52项x1/2b25/251( )24b120,Ab任意12b任意第一解31第31页/共56页l+1/2 阶贝塞尔方程通解阶贝塞尔方程通解2221() 02x yxyxly11/22(1/2)( )( )llC JxC Jx(3) (3) 整数阶贝塞尔方程整数阶贝塞尔方程( )cos( )( )sinvvvJxvJxNxv 2220 x yxyxmy12( )( )mmC JxC Nx通解通解2(

25、 )lim( )(ln)( )2mvmvmxNxNxC Jx 201( )( 1)()!()! 2kmkmkxJxk mk( )( 1)( ) mmmJxJx32第32页/共56页（四）虚宗量贝塞尔方程（四）虚宗量贝塞尔方程(1) (1) v阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解222()0 x yxyxvyv 整数或半奇数整数或半奇数222()0ixyyvyv阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程201( )()()! (1) 2vvkvvkxIxiJixkvk201( )()()! (1) 2vvkvvkxIxi Jixkvk 整数整数阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在x=0

26、处处的自然边界条件的自然边界条件12( )( )mmC JxC Nx0 x 01,0mJJmN 246810-0.4-0.60.81正项级数，除正项级数，除x=0外恒不为零外恒不为零33第33页/共56页9.4 9.4 施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题 一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值本征值，解叫解叫本征函数本征函数，求解的问题就叫，求解的问题就叫本征值问题本征值问题。（一）施图姆刘维尔本

27、征值问题（一）施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔型方程：施图姆刘维尔型方程： ( )( )( )0()ddyk xq x yx yaxbdxdx化为施图姆刘化为施图姆刘维尔型方程：维尔型方程：( )( )( ) ( ) ( )0a x dxa x dxa x dxddyeb x eyc x eydxdx 2( )( )( )( )2( )( )( )0a x dxa x dxa x dxa x dxd ydyeea xb x eyc x eydxdx 二阶常微分方程最一般的形式：二阶常微分方程最一般的形式：22( )( )( )0d ydya xb x yc x ydxdx 34第34页/共5

28、6页（1）振动方程：振动方程：0(0)0, ( )0yyyy l 222,sinnn xyCll ( )( )( )0()ddyk xq x yx yaxbdxdx0,( ), ( )0,( )ablk xA q xxA A 为一常数。为一常数。（2）21,1,( )1, ( )0,( )1abk xxq xx 勒让德方程：勒让德方程：2(1)0( 1)(1)- 有限， 有限ddyxydxdxyy （3）2221,1,( )1, ( ), ( )11 mabk xxq xxx 连带勒让德方程：连带勒让德方程：222(1)01( 1)(1)- 有限， 有限ddymxyydxdxxyy 35瑞士数

29、学家J.C.F.Sturm,法国数学家J.Liouville,18361838年发表的研究结果第35页/共56页（5）22,( ), ( )0,( )xxabk xeq xxe 222/20, xxxddyeeydxdxxye 的增长不快于埃尔米特方程：埃尔米特方程：标准形式标准形式 20yxyy （4）200,( ), ( )/ , ( )abkqm 贝赛尔方程：贝赛尔方程：200(0)()0有限， ddymyyddyy （6）0,( ), ( )0, ( ) xxabk xxeq xxe /20(0), xxxddyxeeydxdxyxye有限， 的增长不快于拉盖尔方程：拉盖尔方程： (1

30、) 0 xyx yy x222()0 x yxyxmy标准形式标准形式36第36页/共56页证明：证明：( )( )( )( )0()k x yk x yq x yx yaxb( )( )( )0( )( )k xq xxyyyk xk x如端点如端点x=a是是k(x)的一级零点的一级零点1( )()1( )x ak xpxak x12(1)0s sspq220sq在在x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件如端点如端点x=a或或b是是k(x)的一级零点，则在该端点存在自然边界条件的一级零点，则在该端点存在自然边界条件( )( )q xx不高于

31、一级极点勒让德方程的自然边界条件：勒让德方程的自然边界条件：2(1)0( 1)(1)- 有限， 有限ddyxydxdxyy 37第37页/共56页（二）本征值问题（二）本征值问题1. 如如 连续或最多以连续或最多以x=a 和和x=b为一阶极点，为一阶极点，则存在无限多个本征值：则存在无限多个本征值：( ),( ), ( )k x k x q x123 及无限多本征函数及无限多本征函数123(),(),(),yxyxyx2. 所有本征值所有本征值0k 证：证： ( )( )( )kkkkdydk xq x yx ydxdx 22 ( )( )( )bbbkkkkkaaadyddxyk xdxq

32、x ydxx ydxdx22 ( )( )( )kkkkkdydyk xq x yx ydxdx 222 ( )( )()( )( )bbbbkkkakkkaaadydyk x ydxk xdxq x ydxx ydxdx( ), ( ),( )0k x q xx 38第38页/共56页222( )( ( )( ( )( )()( )bbbkkkkkx akkx bkaaadydxx yk x y yk x y ydxk xdxq x ydx第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零第三类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：(

33、)0kkx ayhy22()0kkx akkkx akx akx aky yk yhyykh ykhy()0kkx byhy22()0kkx bkkkx bkx bkx bky yk yhyykh ykhy 所以所以2( )0bkkadxx y即即0k 3. 对应于不同的本征值的对应于不同的本征值的 本征函数带权本征函数带权 正交：正交：( )x 本征值与本征函数一一对应：本征值与本征函数一一对应：( )( )nnmmyxyx ( )( )( )0bnmax yx yx dx nm39第39页/共56页证：证：0nnnndkyqyydx 0mmmmdkyqyydx 0mnnmnnmdykyqy

34、 yy ydx 0nmmnmmndykyqy yy ydx ()0nmmnmnmnddykyykyy ydxdx()()()0bbnmmnmnmnaadddx ykyykydx y y dxdxdx()0bbnmmnmnmnaaddxky yky ydx y y dxdx()()()0bnmmnx bnmmnx amnmnaky yky yky yky ydx y y dx第一、第二类齐次第一、第二类齐次或自然边界条件：或自然边界条件：()()0nmmnx bnmmnx aky yky yky yky y40第40页/共56页第三类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：()0mmx byhy()0

35、nnx byhy1()()()0nmmnx bnmmmnnx bky yky ykyyhykyyhyh同样：同样：()0nmmnx aky yky y()0bmnmnadx y y dx0bmnadx y y dx mn 4. 本征函数族本征函数族完备完备0( )( )nnnf xf yxf(x) 具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件。数族所满足的边界条件。绝对且一致收敛41第41页/共56页（三）广义傅立叶级数（三）广义傅立叶级数第42页/共56页第43页/共56页复本征函数族 前边讨论的都是实变量的实值函数。一

36、般地，本征函数还可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。第44页/共56页第45页/共56页Hilbert 空间 把本征值问题的无穷多个本征函数看作一个无穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以用这组基展开。换句话说，满足相应边界条件的任意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空间又是一个内积空间，所有基矢量相互正交或互相垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分量即为该函数的广义Fourier系数。这样的空间就是所谓 Hilbert 空间。第46页/共56页欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,etx 令常系数线性微分方程xtln即附录： 欧拉方程第47页/共56页欧拉方程的算