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1、0sin1sinsin1122222222ururrurrru)()()(),(rRru0ddsin1ddsinddsin1dddd12222222RrRrrRrrr0ddsin1ddsinddsin1dddd12222rRrrR) 1(dddd12nnrRrrR) 1(ddsin1ddsinddsin1222nn0) 1(22 RnnRrRr)1( nnBrArR222sin) 1(dd1ddsinddsin1nn222dd1sin) 1(ddsinddsin1nn02 mmDmCsincos2m第1页/共15页22sin) 1(cossinsin1mnn 22sin) 1(ctgmnn 0
2、sin) 1(ctg22 mnn22sin) 1(ddsinddsin1mnncosxyddddxxy 2sind)sin(dy d)(dsincosyyyy 2sincosddsincosxyy 01) 1(21222 yxmnnyxyx0) 1(2)1 (2 ynnyxyxn次的勒让德方程ysin0sin) 1(sinctgsincos222 ymnnyyy定义在-1,1第2页/共15页0) 1(2)1 (2 ynnyxyx0kckkxay)()(xBQxAPynnMmmnnmnxmnmnmmnxP02)!2()!( !2!22) 1()(当n为偶数时， 2nM 当n为奇数时， 21nMn
3、次的勒让德多项式 1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxP)33035(81)(244xxxP)157063(81)(355xxxxPnnnnnxxnxP) 1(dd!21)(2罗德里格斯表达式第3页/共15页性质1 正交性 nmnnmxxPxPnm,122, 0d)()(110d)(11xxPxnk112d) 1(dd!21xxxnxnnnnk11211) 1(ddd!21nnnknxxxn11121111211d) 1(dd) 1(dd!21xxxxkxxxnknnnnnnkn112111d) 1(dd!2xxxxnknnnkn112d) 1(dd
4、!2!) 1(xxxnknknknnk11211|) 1(dd!2!) 1(nknknnkxxnk0nm 0d)()(11xxPxPnm第4页/共15页112d)(xxPn 112222d) 1(dd) 1(dd!21xxxxxnnnnnnnn 11211222) 1(ddd) 1(dd!21nnnnnnnxxxxn 1121121122d) 1(dd) 1(dd!21xxxxxnnnnnnnn 11222222d) 1() 1(dd!21xxxxnnnnnnn 11222222d) 1(dd!21xxxxnnnnnnn 11222d) 1(!2)!2(1xxnnnnncosxnnnx22si
5、n) 1(1 01222112dsin!2)!2(d)(nnnnnxxP 2/012212dsin!2)!2(nnnn第5页/共15页 2/012212112dsin!2)!2(d)(nnnnnxxP2/012dsinn2/02dcossinn2/0122dsinsin-12nn2/0122dsincos2nn2/0122/012dsin2dsin2nnnn2/0122/012dsin122dsinnnnn 2/012212112dsin122!2)!2(d)(nnnnnnnxxP 351212!2!2!2)!2(2nnnnnnnnn 2/0212dsin35121224222!2)!2(nn
6、nnnnn!12)!2(2nn122n第6页/共15页性质2 递推公式 0)()() 12()() 1(11xnPxxPnxPnnnn)(12)()(11xPnxPxPnnn)0() 1()0(11nnPnnP0)0(1P0)0(12nP) 1 () 1() 1 () 1(12) 1 (11nnnPnnPnnP1) 1 (0P1) 1 (1P1) 1 (nP性质3 奇偶性 )() 1()(xPxPnnn第7页/共15页1042)d()(xxPxP1142)d()(21xxPxP0第8页/共15页将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式 2x02)(nnnxPCx112d)(212xxPxnC
7、nn0nC2n112221)d-(321214xxxC1121d212xxxC1120d21xxC)(32)(31202xPxPx1124d345xxx32325645113d43xx0313221)()()(2211002xPCxPCxPCx1)-(3212210 xCxCC22320122CCxCxC0d)(11xxPxnk)()(22002xPCxPCxnmnnmxxPxPnm,122, 0d)()(11第9页/共15页将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式 )(xPl0)()(nnnlxPCxP12 kln21, 1 , 0lk0) 1 () 1 (221421212lklklPP
8、nlC11d)()(212xxPxPnCnln2101212)()(lkklkllxPCxP10)(lnnnxPC11)(d)(212xPxPnln1111d)()(| )()(212xxPxPxPxPnnlln142kl21012)(142lkklxPkl第10页/共15页将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式 x0)(nnnxPCx11d)(212xxPxnCnn012nC02222222|) 1(dd!2214xnnnnxxnn1122d)(214xxPxnCnn102d)(14xxxPnn1022222d) 1(dd!2214xxxxnnnnnn102212122) 1(ddd!2
9、214nnnnxxxnn10221212102212122d) 1(dd|) 1(dd!2214xxxxxxnnnnnnnnn102212122d) 1(dd!2214xxxnnnnnn102222222|) 1(dd!2214nnnnxxnn)!22() 1(!221412122nCnnnnnnn02022222222|) 1(dd!2214xnkknkknnnnxCxnn)!22() 1()!1()!1(!2!221412nnnnnnnn)!1()!1(2)!22(14) 1(21nnnnnn1100d)(21xxPxC2111d21xx第11页/共15页将 在-1,1内展成勒让德多项式的
10、级数形式 000)(xxxxf0)()(nnnxPCxf)!12/()!12/(2)!2(121nnnnn0nC10d)(212xxxPnn1021d) 1(dd!212xxxxnnnnnn102111) 1(ddd!212nnnnxxxnn102111d) 1(dd!212xxxnnnnnn102221) 1(ddd!212nnnnxxnn02221|) 1(dd!212xnnnnxxnnn为奇数时n为偶数时12/12/1) 1()!2(!212nnnnnnCnnC11d)()(212xxPxfnCnn1011d)(23xxxPC1000d)(21xxxPC102d23xx2110d21xx41第12页/共15页将 在-2,2内展成勒让德多项式的级数形式 2x在-1,1内 )(32)(31202tPtPt2/xt 224tx )(38)(3420tPtP)2(38)2(3420 xPxP第
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