曲线积分与曲面积分20834PPT课件

1、 设一曲线形构件位于xoy平面上的一段曲线弧 L上, 线密度 (x,y)为L上的连续函数，求该曲线形构件的质量 M。- 具有连续切线的曲线。第1页/共132页xy0AB(1) ： 插入分点：,11 niMMM1M1 iMiM1 nM), 2 , 1(1niMMnABii 个小弧段个小弧段为为分分设每一小弧段长.1 iiiMMS(2) ：,),(iiiS 任取一点任取一点则小弧段质量：,),(iiiiSM iS ),(ii 第2页/共132页(3) ： niiiiniisMM11),( (4) ),max(is 令令时，时，当当0 第3页/共132页 设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段(各点都

2、具有切线,且当切点连续移动时切线也连续转动), 用L上的任意点 M1, M2, , Mn-1 把L分成其长度为其长度为个小弧段个小弧段,1 iiMMn iiMM1在在,),(),(iiiiisf 作乘积作乘积上任取一点上任取一点), 2 , 1(ni 若和式的极限存在，存在， niiiisf10),(lim 则称此极限值为。;is 函数 f (x,y) 在 L上有界， ),max(is 令令第4页/共132页也称为。记作 Lsdyxf),(L 积分弧段（积分路径） ds 弧元素(1) f (x,y)在L上连续,则曲线积分必存在。(2) f(x,y)虽为二元函数,但点(x,y)被限制在L上, 变

3、量 , 须满足曲线 L 的方程。(3)若L是, 常记成.),( Lsdyxf(4)推广到空间曲线, 有 sdzyxf),( niiiiisf10),(lim 第5页/共132页 Ldsyxgyxf),(),()1( LLdsyxgdsyxf.),(),(为常数）为常数）（kdsyxfkdsyxfkLL ,),(),()2( LLLsdyxfdsyxfdsyxf12),(),(),(.21LLL (3) 若L是分段光滑的曲线段，即第6页/共132页(4) 设在 L 上，),(),(yxgyxf 则 LLdsyxgdsyxf),(),(5) 设 f (x,y) 在 L 上连续，则必存在,),(L

4、使 Llfdsyxf),(),( 其中 l 为 L 的长度。第7页/共132页(1) 如曲线 L 关于 x = 0 对称，L1 是 L 的 部分，0 x,),(),(时时则当则当yxfyxf 1),(2),(LLdsyxfdsyxf,),(),(时时则当则当yxfyxf 0),( Ldsyxf(2) 若交换x, y两变量时，L的方程不变，则 LLdsxyfdsyxf),(),(第8页/共132页上有定义且连续，上有定义且连续，弧弧在曲线在曲线设设Lyxf),(上上，在在其中其中)(),(, )( ttt 具有一阶连续导数,且, 0)()(22 tt )(),(tytx L的参数方程为：则曲线积

5、分 Lsdyxf),(存在，且第9页/共132页的长度的长度曲线曲线 Lds 弧元素 (弧微分)22)()(ydxdsd ),(),(tytx 当当(1)(3),(xyyL ：当当 Lbaxyxfsdyxf)(,),()(1),(),(2 Ldcdyyxyyxfdsyxf）：或或（)(yxxL Lsdl.dxxy)(12 dtttds)()(22 (2)当 f (x, y) = 1 ,或第10页/共132页(4) Lrrfdsyxf sin)(,cos)(),(5)(),(),(tzztyytxx ：对空间曲线对空间曲线 则则),( t Ltztytxfdszyxf )(),(),(),(6)

6、()( rrL：当当 drr22 tdzyx222 上述所有计算公式中，等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限。第11页/共132页一段弧(如图).例1:中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL ABa232aA ( 0, a ), )23,21(aaB法一：选 为积分变量，L：22xay )20(ax xdysd21 xdxaa22 xI22xa xdxaa22 02a 20adxxa.813a xy0a第12页/共132页一段弧(如图).中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL 法二：选 为积分变量，L：22yax )23(aya ABa232axy0ydyaa22 yd

7、xsd21 yI aadyya2322ya 23aaydyaa22 .813a a第13页/共132页一段弧 (如图).中的中的为为计算计算222,ayxLdsxyIL ABa232axy0法三：tdtytxsd)()(22 L 用参数方程表示: taytaxLsincos:)23( t)0( atdatataIsincos tda 3 2 2323sin2 ta .813a a第14页/共132页xy0122例2：, Lyds计算计算的整个边界。的整个边界。所围所围 OABBAOL )0 , 2(),2 , 1(),0 , 0(:ABOBABOAL OBABLOAydsydsydsyds.

8、52 :OA:AB:OB,2xy ;10 x,24xy ;21 x, 0 y;20 x sd.5dx sd.5dx sd.dx x2dx501 )24(xdx512 0 dx02第15页/共132页例3：,sdyL 求求一周。一周。双纽线双纽线)()(:222222yxayxL 2cos22ar drrsd22 L 12| )(|LLLsdysdy.)224(2a 利用极坐标。 da2cos yx04 2cos22ar 1L)sin)( ry 又又 442cos|sin2cos| daa 45432cos|sin2cos| daa2L第16页/共132页;,1),()1( LdsLyxf弧长弧

9、长时时当当,),( ),()2(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 第17页/共132页设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为L， 且它的线密度为),(yx 若线密 度在L上连续， 则：它的质量 LdsyxM),( 它的质心为：为：),(yxMdsyxxxL ),( MdsyxyyL ),( (3)第18页/共132页例4.)20(cos2 ar求均匀半圆周求均匀半圆周的质心坐标。xy0a2a由对称性，;ax Lsdy,al 弧长弧长 Lsd sin)( r 20 cos2a sin da2 das

10、incos4202 .22a ay 1 Lsdy.2 a 质心：质心：. )2,( aa,2 dasd cos2ar .第19页/共132页 常力作功:).,cos(SFSFSFW 变力作功, badxxfW)(力 f (x) 的方向与运动方向一致, 第20页/共132页xy0AB，设设 ABL(1)插入分点 M1(x1,y1) , ,Mn-1(xn-1,yn-1),n个有向小弧段 iiMM1)., 2 , 1(ni M1Mn-1Mi-1Mi将L任意分成F设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到B。移动过程中，这质点受到变力jyxQiyxPyxF),(),(),( 的作用，其中P、 Q在L

11、上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。第21页/共132页xy0ABM1Mn-1Mi-1Miix iy (2),1 iiMM近似代替近似代替,),(1 iiiiMM 任取任取. ),(iiF 则由常力:jQiPFiiiiii),(),(),( 近似代替),(yxF变力变力则 iiiiiMMFW1),( .),(),(iiiiiiyQxP jyixMMiiii 1用用第22页/共132页.),(),(1iiiiiiniyQxP niiWW1 作和作和(3)(4)取极限),max(1 iiMM 记记),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 第23页/共132页 2、定义 设L为xo

12、y平面上从点A到B的一条有向 光滑曲线, 函数 P(x,y) 、Q(x,y) 在L上有界。)(,),(1, 111, 11 nnnyxMyxML上的点上的点用用把L分成 n个有向小弧段,1 iiMM),;, 2 , 1(0BMAMnin ,11 iiiiiiyyyxxx 设设),(ii 点点上的任一点，上的任一点，为为 iiMM1, )max(1 iiMM 存在，存在，若若 niiiixP10),(lim 则称此极限值第24页/共132页为函数 P(x,y) 在有向曲线弧 L 上, 记作.),( LdxyxP同理,存在，存在，若若 niiiiyQ10),(lim 则称此极限值为函数 Q(x,y

13、) 在有向曲线弧.),( LdyyxQ LLdyyxQdxyxP),(),(.),(),( LdyyxQdxyxP L上, 记作第25页/共132页1) P(x, y), Q(x, y) 中的 受 L 的限制而。2)。时，时，AB 3) 前述变力作功 LdyyxQdxyxPW),(),( LsdyxF),(,),(),(),(jyxQiyxPyxF 其中其中jydixdsd (有向弧元素)sddydxsd 22)()(,1iiiyyy ,1iiixxx 变号第26页/共132页4) 对空间曲线 L, 有 ),(zyxF其其中中,),(),(),(kzyxRjzyxQizyxP .kzdjydi

14、xdsd 5),(),(),(zyxRzyxQzyxP若若在 L 上连续, 则此曲线积分必存在。第27页/共132页 3、性质(1)设有向曲线 L , L 与 L 则有: LdxyxP),( LdyyxQ),( ydQxdPL(2) 其余性质类似于对弧长的曲线积分。 LxdyxP,),( LydyxQ,),( LydQxdP. 第28页/共132页,),(),(时时则当则当yxfyxf 1),(2),(LLdxyxfdxyxf,),(),(时时则当则当yxfyxf 0),( Ldxyxf 如曲线 L 关于 x = 0 对称，L1 是 L 的 部分，0 x方向不变，0),( Ldyyxf 1),

15、(2),(LLdyyxfdyyxf第29页/共132页 设曲线L由参数方程给出，给出，)(),(tytx ),( t为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以 )(),(tt一阶连续导数, 且),(yxMt时时，变变到到由由当当 又函数 P(x, y), Q(x, y) 在L上连续,)( 可大于可大于),( tL 的, 0)()(22 tt 描出有向曲线LAB , 第30页/共132页),(xfyLAB ：若若起点A(x = a), 终点B(x = b)f (x) 在 a, b 或 b, a 有连续导数, 则 LdyyxQdxyxP),(),( ,xQxP),(ygxLAB ：若若起

16、点A(y =c), 终点B (y =d)g(y) 在 c, d 或 d, c 有连续导数, 则 LdyyxQdxyxP),(),( ,yQyPxdxf)( )(xf)(xfab)(yg)(yg )(ygydcd第31页/共132页空间曲线:),(),(),(tzztyytxx 起点 A ( t = ) , 终点 B ( t = ) ,有连续导数，有连续导数，或或在在,)(),(),( tztytx dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(则则 )(),(),()(),(),(tztytxQtztytxP)(),(),(tztytxR )(tx )(ty tdtz)( 第32页/共

17、132页例1. LdyxdxyI22计算计算(1) L:圆心为原点,半径为1, 按逆时针方向绕行的上半圆周。xy0AB1-1tytxLsin,cos: .0: t则则，由由BA tdttI)cossin(330 0 03sintdt 203sin2 tdt.34 第33页/共132页 LdyxdxyI22计算计算(2) L: 直线AB.xy0AB1-1,0: yL则则，由由BA.11: x002dxxdI 11 = 0 .第34页/共132页 LdyxdxyI22计算计算(3) L: 折线 ACB.xy0ABC1-11: yxLAC,1xy .01:x1: xyLCB,1xy .10: x)1

18、(22 xxIxd)1( 10)1(22 xxxd0-1xdxx)122(012 xdx)12(10 .32 ,1(yx 若若)10:y第35页/共132页例2.dyyxdxyxIOAL)()( ).1, 1(),0, 0(AO其中其中(1)10:,: xxyLOA(2)10:,:2 xxyLOAAxy01dxdxxI)()( xxx01 102xdx.1102 x)()( xdxxI2x2xxdx201 1032)23(xdxxx= 1 .第36页/共132页Axy01B(3)0, 1(,BLLLLBAOBOBAOA :OB, 0 y,10:xdyyxdxyxIOAL)()( ).1, 1(

19、),0, 0(AO其中其中:BA, 1 x,10:y00001;21 ydydyBAL)()( 11101;21 . 1 I第37页/共132页例3. ,)1(dzyxdyydxxI: 由点 (1,1,1) 到点 (2,3,4) 的直线段。求 的方程。 的方向向量：, 321， s 的方程：312111 zyx其参数式：, 1 tx, 12 ty, 13 tz. 10:t I(t + 1)d(t + 1)+ (2t + 1)d(2t + 1)+ (t + 1)+ (2t + 1)- 1 d(3t + 1)01 10)12(1tt2)13( t3 dttdt 10)614(= 13 .第38页/

20、共132页设有向线段 L:, lAB 起点A , 终点B ,xy0ABM(x, y)为L上任一点。),(参数参数取弧长取弧长sAM M .得L的参数方程:.0),(),(lssyysxx L的正向为s增大的方向。设 x(s), y(s) 在 0, l 具有一阶连续导数,，处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点为为),(,yxL ,cosdsdx dxdyds ,sindsdy ,cos dsdx,cossin dsdyxy )(sx )(sy第39页/共132页 ldssysysxQsxsysxP0)()(),()()(),(,cos)( sxdsdx,cossin)( sydsdy

21、.0),(),(:lssyysxxL 类似， dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(,)coscoscos(dsRQP 处的处的上点上点为为),(cos,cos,coszyx 切线向量的方向余弦。第40页/共132页例：弧长的弧长的化为对化为对把把 LdyyxQdxyxP),(),(的一段。的一段。到到，上从点上从点：曲线积分，曲线积分，)1 , 1()11(3 xyL,3,23dxxdyxy 曲线上点 (x, y) 的切线的方向余弦：22211)()(cosydydxdx 22)()(cosdydxdy dsQPQdyPdxLL)coscos( ,9114x dsxQxPL

22、42913第41页/共132页 在一元函数积分学中, 牛顿莱布尼茨公式： baaFbFdxxf)()()(表示：f(x) 在区间a,b上的积分可以用它的原函数F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达。 第42页/共132页设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD第43页/共132页边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D内在他附近的那一部分总在他的左边,则他行走的方向就是边界曲线L的正向。LL1L2第44页/共132页设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线 L围成围成, ,函函数数),

23、(yxP),(yxQ及及在在D上具有一阶连续偏上具有一阶连续偏导导数数, , 则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线, , 格林公式第45页/共132页证明 (1) 若区域 D 既是 X型又是Y 型. .),()( :21dycyxyD DdxdyxQdydxxQdcyy )()(21 dyyyQyyQdc ),(),( 12 L3L4CE)(1yx oxyDcd)(2yx LQdy 43LLQdyQdy),( :13yxL . :cdy cdLdyyyQQdy),(13 dcdyyyQ),(1 第46页/共132页),( :24y

24、xL . :dcy LQdy 43LLQdyQdy),( :13yxL . :cdy cdLdyyyQQdy),(13 dcdyyyQ),(1 dcLdyyyQQdy),(24 LQdy 43LLQdyQdy dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 . DdxdyxQL3L4CE)(1yx oxyDcd)(2yx 第47页/共132页 LQdy 43LLQdyQdy dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 . DdxdyxQ类似，把 D 看成 X 型，有 LPdx. DdxdyyP两式相加得.)( LDQdyPdxdxdyyPxQ第48页/共132页若区域若区域D由按段光滑的闭由按

25、段光滑的闭曲线围成曲线围成. .如图如图, , (2)L1L2L3LD1D2D3D将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx第49页/共132页3L2LGFCE (3)若区域不止由一条闭曲线所若区域不止由一条闭曲线所围成围成. .添加直线段添加直线段 AB，CE.则则D的边界曲线由的边界曲线由 AB，2L， BA， AFC，CE，3L，EC 及及

26、CGA构成构成. . 由(2)知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(31LAB LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLL第50页/共132页例1.dyxxdxyyxL)3()2(32 求求边界正向。边界正向。为边的为边的以以 xyxyxL2, 1: xy0D,22yyxP ,33xxQ , 22 xPy, 12 xQx由格林公式：)2()1(22 xxPQyx1 DdxdyI ydxd110 xx2.2110 xdx第51页/共132页 Lyydyyxexydxyye)2()2212（计算计算的正

27、向的正向沿圆周沿圆周，由点由点yyxAL2)20(:22 的一段弧。的一段弧。，至点至点) 11( Bxy0ABD， CABCCB )1 , 1(呢？呢？若至若至B yP,2 yey xQ,yey .2 yxPQ CABCL Ddxdy2;2 CACBBA()2 Ddxdy, BC? CA第52页/共132页 Lyydyyxexydxyye)2()2212（计算计算xy0ABDC CABCL Ddxdy2;2 BC,? CA:BC, 1 y. 01: x BC 01)221(dxe;25 e:CA, 0 x. 21: y CA 21)2(dyy;3 原式原式 CABCL BC CA.212 e

28、 第53页/共132页,yPxQ 令令)1(,0 yxPQxQP，若令若令)1(, 0 yxPQQyP，若令若令)2( yxPQ的面积：的面积：则则 D第54页/共132页例3：利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的面积： 星形线)20(sin,cos33 ttaytax面积 A = Lydxxdy21 2042242)sincossin(cos23dttttta 20222sin83tdta283a 第55页/共132页定理2. 设函数 P(x, y), Q(x, y) 在G内具有一阶连续偏导数, 则下列:(1),GL 的闭曲线的闭曲线对任一光滑或逐段光滑对任一光滑或逐段光滑)(,GABLQd

29、yPdxGBAL ，对点对点(2)与路径无关，只与起点A与终点B有关。(3)内是某一函数内是某一函数在在微分式微分式GdyQdxP ,),(的全微分的全微分yxu.dyQdxPdu 即即(4)内恒成立。内恒成立。在在G.0 LdyQdxP有：有：第56页/共132页设G内闭曲线 L由围成，围成，与与)()(21 BALABLABL1L2G, 0 dyQPdxL 1LQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx, 02 LQdyPdx.2 LQdyPdx)(BA)(BA 即曲线积分与路径无关，只与 A,B 点有关。,21LLL 第57页/共132页积分与路径无关，仅与起点,),(),(000有

30、关有关终点终点yxMyxM),(000yxM固定固定dyyxQdxyxPyxyx),(),(),(),(00 ),(yxu:0MEM取折线取折线xy0 .),(000yxM.),(yxM),(0yxE xxdxyxP0),(0 ),(yxu yydyyxQ0),( yu:0MFM取折线取折线 ),(yxu xxdxyxP0),( yydyyxQ0),(0).,(yxPxu ),(0yxF; ),(yxQ第58页/共132页),(yxPxu ),(yxQyu dyyudxxudu ,),(),(dyyxQdxyxP 的全微分。的全微分。是某一函数是某一函数即即),(yxuQdyPdx ,),()

31、,(dyyxQdxyxPdu ,yuQxuP 其中其中,2yxuyP 且且,2xyuxQ P,Q有一阶连续偏导数，.xQyP 第59页/共132页,xQyP 对 G 内任一条闭曲线 L，其所围区域,GD 由格林公式：dxdyyPxQQdyPdxDL)( .0 (1)常用（4）来判定 (1)、(2)、(3) 的成立。第60页/共132页(2)则则若若,xQyP .),(cyxuQdyPdx 的一切原函数为的一切原函数为且且xy0 .),(000yxM.),(yxM),(0yxE),(0yxF第61页/共132页(3) 四个等价命题只适用于，不适用于多连通域。例：,2222dyyxxdxyxyIL

32、 取正向。取正向。1:22 yxL)20( ,sin,cos ttytxL：设设 2022)cos(sindtttI. 02 在闭区域上，,)(22222xQyxxyyP 处不连续，处不连续，在在)0 , 0(,QP10:22 yxD为,在此D上不保证. 0 LQdyPdx?0 I 20td第62页/共132页例1： 证明： Lxoydydxyx平面内平面内在在)(与路径无关，并求 )1 , 1()1, 1().)(dydxyx, yxP )(yxQ 1 yP,xQ 积分与路径无关。xy0.(1, -1).(1, 1)1 xL：取路径取路径11: y 11)(1(dyyI 10. 22yd第6

33、3页/共132页例2： LdyyxxydxxyxyI)3sin21()cos2(2223计算的一段弧。的一段弧。到到上由点上由点)1,2()0 , 0(2:2 yxL xy0)1,(2 yPxQ 积分与路径无关。)0,(2 200 dxI.42 )1 , 0( 1022)4321(dyyy 10dyI 20)cos2( dxxxxyxycos262 第64页/共132页例3：dyyxedxeyy)2( 证明证明是某个函数的全微分，并求出它的一切原函数。,2,yxeQePyy yyeP xQ 得证。得证。即即,)2(dyyxedxeduyy ),()2(),(yxyydyyxedxeyxu xx

34、de00yyyxex02)( xyxexy 2,2yxey .2Cyxey 所求一切原函数为所求一切原函数为)0 , 0(xy0),(yx yyydyex0)2(第65页/共132页例4： icyxdyyxdxyx22)()(计算计算其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线。(2) C2以原点为中心的正向单位圆。(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线。,22yxyxP ,)(22yxyxQ 除原点外，22222)(2yxyxyxPy .xQ 第66页/共132页(1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线 即所围闭区域 D1为单连通域，,xyQP 在D1上, 都有 10

35、c(2) C2 以原点为中心的正向单位圆xy0D1D21c1c2在(0,0)P,Q 无一阶连续偏导数，.220 dt 222)()(cyxdyyxdxyx由定义求： tytxsincos第67页/共132页xy0D3c2c3(3) C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线。 D3 中含有P,Q的不连续点(原点)为排除原点，)(233CCC 3C 则在以则在以为边界曲线的平面区域3D 上,恒有,xyQP 3c 230CC 32CC.2 C2为圆周(取如图方向)。加辅助线C2 ，第68页/共132页格林公式也适用于多连通域，且当,时时xyQP , 021 LL，为多连通域的两条边界为多连通域的两条边界

36、21, LL 21LL(顺)(逆)计算较复杂的甚至未知的边界曲线如 L1 上可找一条易求积分的曲线 L2(常取圆周),用计算L2上的曲线积分来代替。xy0的曲线积分时，L1L2 2L第69页/共132页 。 设有一张曲面, 其边界曲线是分段光滑的闭曲线, 且曲面光滑, 面密度(x, y, z) 在上连续，求曲面的质量。第70页/共132页xyz0iS (1) 任分为 n 块小曲面), 2 , 1(niSi (2) 任取一点,),(iiiiS 则小曲面的质量：,),(iiiiiSM ),(iii (3) ,),(11iiiiniiniSMM .),(lim10iiiiniSM (4),maxii

37、S .第71页/共132页 上有界，上有界，在光滑曲面在光滑曲面设设 ),(zyxf(1)(2)(3)(4), 2 , 1(niSni 个小块曲面个小块曲面为为任分任分;),(,),(iiiiiiiiSfS 作作任取任取 ;),(1iiiiniSf 和和作作存在，存在，iiiiniSf ),(lim10 ,maxiS 则称此极限值为f (x,y,z)在曲面上。若第72页/共132页记作 积分曲面dS 曲面面积元素可见，曲面形构件的质量： dSzyxM),( 面密度面密度),(zyx 又称为，时，时，当当1),( zyx dSS曲面的面积曲面的面积第73页/共132页(1) f (x,y,z)

38、虽为三元函数，但点(x,y,z)被限制在曲面上, 变量 ，而依赖于曲面的方程。(2)(3)(4)是小块曲面面积，是小块曲面面积，iS 若 f (x,y,z) 在光滑曲面 上连续，则上述曲面积分存在。(5) 其性质与第一类曲线积分相仿。特别，时，时，如如分块光滑分块光滑当当)(21 若是, 则记作.21dSfdSfdSf 第74页/共132页设曲面 ：(1)(2)(3)(4)z = z (x, y)，即与 z 轴平行的直线与的交点只有一个；;xyDxoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为在在 z = z (x, y)在Dxy 上具有连续偏导数；f (x,y,z) 在光滑曲面上连续；则上，上，在

39、在xyD.122dxdyzzdSyx 第75页/共132页.1),(,22dxdyzzyxzyxfyxDxy dSzyxf),(同理： dSzyxf),( dSzyxf),(第76页/共132页例1：的面积。的面积。求球面求球面2222azyx a把上半球面投影到xoy平面，222yxadxdyaSd 2222yxadxdyaA aradrrda022202 zxy0.42a 222yxaz 222yxaz yxDyxD第77页/共132页, dSyx计算计算面。面。所围区域的整个边界曲所围区域的整个边界曲与与10, 0, 0: zyxzyx 例2.111zxy, 0:1 x, 0:2 y,

40、0:3 z, 1:4 zyx dSxy 1 xydS 2 xydS 3 xydS 4 xydS第78页/共132页dyydxxx 10103.243 yzDdydz0 xzDdxdz0 xyDdxdyxydxdyxyxyD 3 1xydS= 0 2xydS= 0 3xydSdyydxxx 1010.241 4xydS dSxy0 + 0 + 241243.2431 第79页/共132页例3：)3 , 2 , 1(3 idSzi 计算计算222221:)1(yxzyxaz 在在内部的部分。把 1 投影到 xoy 平面，2221:yxaz .2:222ayxDxy xyDdxdyyxaa)(222

41、 .835a zxy0 13Sdzrdrdaa 2020 )(22ra 222yxadxdyaSd 1 yxD2a第80页/共132页222222:)2(yxazyxz 在在 内部的部分。222:yxz .2:222ayxDxy Sd.105a )3 , 2 , 1(3 idSzi计算计算xyDzxy02 把 2 投影到 xoy 平面， 23Sdz2322)( yxdxdy2 rdrda 20202 3r2adxdy2yxD第81页/共132页222223:)3(yxzyxaz 与与 所围区域的边界曲面。,213 dSzdSz 2133583a 510a .40195a )3 , 2 , 1(

42、3 idSzi 计算计算zxy02a 33Sdz3 xyD第82页/共132页例4：)2 , 1()(222 idSzyxi 求求);0(:)1(2221hzRyx zxy0h把1 投影到yoz面上，则221:yRx ,0: RyRhzDzyR? dSdydzyRR22 222Ryx zyD1第83页/共132页dSzyx)(2221 求求,:221yRx ,0: RyRhzDyzdydzyRRdS22 dSzyx)(2221 zxy0h1RzyD222Ryx )(22zR dydzyRR22 2zyDdyyRR22 dzzR)(22 2 0hR R. )31(232hhRR 第84页/共13

43、2页所所围围。与与hzzRyx , 0:)2(2222 ,12 0: zhz :,dxdydS ,dxdydS dSzyx)(222 rdrrdR 0220 .24R )2 , 1()(222 idSzyxi 求求 h1Rhzxy0dSzyx)(2221 )0(222 yxdxdy yxD. )31(232hhRR 第85页/共132页dSzyx)(222 dxdyhyxxyD)(222 rdrhrdR)(22020 ).2(222hRR 12)3(232hhRR ).322(322hRhhRRR hz :,dxdydS 42R )2(222hRR 第86页/共132页设为有界光滑曲面，),(

44、zyx 为面密度，(1)(2)(3). dSS.),( dSzyxM ,1_dSxMx ,1_dSyMy ,1_dSzMz ,1_dSxSx ,1_dSySy ,1_dSzSz 曲面的曲面的曲面的曲面的S 为曲面 的面积第87页/共132页(4) ,)(22dSzyIx ,)(22dSzxIy ,)(22dSyxIz .)(2220dSzyxI 曲面的第88页/共132页1. 设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的。如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有外侧与内侧之分。第89页/共132页观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上侧下侧外侧内侧第90页/共132页大家大概

45、都知道莫比乌斯带。 你可以把一条纸带的一段扭180度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一个侧面的曲面。 第91页/共132页现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧。若曲面上每点的法向量方向向则认为取定曲面的),(:yxzz ),(:zyxx ),(:zxyy 则有与之分；则有与之分；则有与之分； 闭曲面，闭曲面，: 则有与之分；。（），（）。第92页/共132页 2、设是有向曲面， 在上取小块曲面S，zxy0S在xoy面上的投影区域面积,)(xy ,)(xy 假设S上各点处的法向量与 z 轴正向的夹角 cos有相同符号, 则xyS)( 规定S在xoy面上的投影 时时当当时

46、时当当时时当当0cos00cos)(0cos)( xyxy nn余弦记为S 第93页/共132页类似规定：面上的投影面上的投影在在yozS yzS)( xzS)( 时时当当时时当当时时当当0cos00cos)(0cos)( yzyz 时时当当时时当当时时当当0cos00cos)(0cos)( xzxz面上的投影面上的投影在在xozS 第94页/共132页3、引例设稳定流动( 速度V与时间 t 无关的流动 )的不可压缩流体的速度场为常向量V(设密度= 1)，速度场中有一有向平面 A(面积记为 A ) ，先讨论： 0),()1(nV,),()2( nV;AV 则则 cosAV 则则V nV n A

47、AAV . nAV求单位时间内流向A一侧的流量。第95页/共132页设流体 (= 1) 的速度场为为流速场中一片光滑有向曲面，函数P, Q, R 在上连续，求单位时间内流向的指定侧的流量 。zxy0 iniViS ),(iii 第96页/共132页(1) 把任分成 n 个小块曲面Si ;(2) 在Si 中任取一点),(iii ),(iiiVV ),(),(),(iiiiiiiiiRQP ,iiiRQP 上其它各点处的流速；上其它各点处的流速；近似代替近似代替iS 用处曲面的单位法向量处曲面的单位法向量用用),(iii cos,cos,cosiiiin 向向量量；上上其其它它各各点点处处的的单单

48、位位法法近近似似代代替替iS 指定侧的流量指定侧的流量流过流过iS iiiiiiiSRQP coscoscos 第97页/共132页iiniiSnV 1)3(iiiiiiiniSRQP coscoscos1 xyiS )( iS i i :平面上的投影平面上的投影在在xoySi ,cos)(iixyiSS 同理：,cos)(iiyziSS ,cos)(iixziSS )()()(1xyiizxiiyziiniSRSQSP zxy0第98页/共132页)()()(lim10 xyiizxiiyziiniSRSQSP 则则，令令max)4(iiS4. 定义设 R(x,y,z) 在光滑有向曲面上有界

49、，任分为n个小曲面,iS 在xoy平面的投影,)(xyiS 为为,),(iiiiS 任取任取作乘积,)(,(xyiiiiSR xyiiiiniSR)(,(lim10 若若存在，则称此极限值为函数 。iS 第99页/共132页类似可定义：函数 函数 yziiiiniSP)(,(lim10 xziiiiniSQ)(,(lim10 xyiiiiniSR)(,(lim10 记作第100页/共132页 ：(1)函数 P, Q, R 中变量 ，受曲面的限制 ；(2)RdxdyQdzdxdydzP 前述流量前述流量，其中其中RQPV ,dxdydzdxdydzSd 为有向面积元素第101页/共132页(3)

50、 对坐标的曲面积分又称为，如：，当当21 是有向曲面，是有向曲面， 取相反侧，取相反侧，与与 则其性质与第二类曲线积分相仿。 21则则第102页/共132页取上侧，取上侧，：设设),(yxzz ,xyDxoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为且在且在，上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在xyDyxz),(则则上连续，上连续，在在 ),(zyxR)()(, 0cos(xyixyiS 取上侧，取上侧，取下侧，取下侧，：设设),(yxzz dxdyyxzyxRxyD),(, dxdyzyxR),( )()(, 0cos(xyixyiS 取下侧，取下侧，第103页/共132页类似，),(zy

51、xx ：设设 ),(zxyy ：设设 取dydzzyPzyD, , ),(zyx()()取dxdzzxQxzD, ),(zxy()()第104页/共132页例1：)2, 1( idxdyzi部分的下侧；部分的下侧；在在10:221 zyxz zxy0,:221yxz 11:22 yxDxy1取下侧，取下侧，n.0cos 1dxdyz dxdy22yx yxD 20d 10rdrr.32 1 第105页/共132页zxy01 所围闭曲面的外侧。所围闭曲面的外侧。与与1:222 zyxz 221:yxz 1: z(取上侧）)2, 1( idxdyzi(取下侧）.12 1:22 yxDxy 1dxd

52、yz.32 dxdyz dxdyyxD1.12 dxdyz 2 32.3 11第106页/共132页例2：,sin12dxdyyedydzyxx 所围部分的外侧。所围部分的外侧。与与2, 01:22 zzyx 21321 , 1221 yx：,0:2 z.2:3 z21yx zxy0 321:1 (前后侧):zyD11 y20 z 在 xoy平面，在 yoz平面，,yxD无无dxdyyexsin1 即即= 0 .投影为曲线，第107页/共132页,sin12dxdyyedydzyxx 所所围围部部分分的的外外侧侧。与与2, 01:22 zzyx 21yx :1 (前后侧):zyD11 y20

53、z 在 yoz平面，21zxy0dydzyx211 dydzy21zyD21y dydzy21zyD21y zyDdydzy )1(22 112)1(2ydy 20zd 102)1(8ydy.316 第108页/共132页,sin12dxdyyedydzyxx 所所围围部部分分的的外外侧侧。与与2, 01:22 zzyx 21zxy0.0:2 z1:22 yxDxy在 yoz平面，在 xoy平面，.zyD无无投影为直线，dxdyyexsin22 dxdyyxDyexsin .2:3 z.zyD无无dxdyyexsin33 dxdyyexsinyxD.316321 = 0= 0第109页/共13

54、2页例3：穿过穿过求向量求向量kzjyixa 上侧的流量。上侧的流量。曲面曲面)10(122 zyxzSda dxdyzdzdxydydzx321III 1zxy0(1)在 yoz平面， (有前后侧): 22)1(yzx :zyDzy01 yz1 yzdydzxI 1 dydzzyD22)1(yz dydz22)1(yz zyD 第110页/共132页Sda dxdyzdzdxydydzx321III (1)dydzxI 1 dydzzyD22)1(yz dydz22)1(yz zyD dzdyyzzyD 22)1(2zy01 yz1 yzzyD1 1 102dzydyz22)1( 1 zz

55、1zdz210)1( .31 第111页/共132页Sda dxdyzdzdxydydzx321III 1zxy0(2) 在 xoz平面， (有左右侧): 22)1(xzy :zxDzx01 xz1 xzdzdxyI 2(1)dydzxI 1dzdyyzzyD 22)1(2.31 dxdzxzzxD 22)1(2.31 221yxz 第112页/共132页Sda dxdyzdzdxydydzx321III 1zxy0(3) 在 xoy平面， (只有上侧): 221yxz :yxDyx01dxdyzI 321II .31 dydxyx)1(22 .31 221yxz yxD 20drdr 10)

56、1(r 第113页/共132页例4. 求,)1( dxdyydzdxdydzxI 是如图所示的四面体OABC的整个边界曲面，且取外侧。0 xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)曲面 分成四块：OAB, OBC, OCA, ABCzxyzxyDDD, 分别是它们在xoy,yoz,zox面内的投影区域。则 OABdxdyydzdxdydzx)1( OABdxdy xyDdxdy21 第114页/共132页0 xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1) OBCdxdyydzdxdydzx)1( yzDdydz21 OBCdydzx)1( OCAdxdyydzdxdydzx)1( OCAydzdx= 0 ABCdydzx)1( yzDdydzzy)2(32 ABCydzdx zxDdzdxzx)1(61 ABCdxdy xyDdxdy21 31 I第115页/共132页 ),(yxzz ：设设 ,xyDxoy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为在在 ，上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在