微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a = （ax，ay,az） , b = （b* ,by,bz）,则 a ± b = （a* 士 bx, ay 土 by, az 土 bz）,九 a =（九 a* / a、，九 az）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：r | = Jx2 + y2 + z2 ；2）两点间的距离公式：|AB| = J（x2 - xi）2/（y2 - yi

2、）2 + （z2 - zi）23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 0 了4)方向余弦:xcos« = =, cosrcos7 = -z rcos2 ：cos2 - cos2 二 15)投影：PrjuF= a cos* ,其中*为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a b = |a | b cos91） a，a = |a|22） a- b= a b = 0a b 二 axbx ayby azbz2、 向量积：c = a父b大小：怙卜卜所。，方向：a,b,c符合右手规则1） a a = 0 一2） a b = a b = 0ijka 父 b =axayazbxbyb

3、z运算律：反交换律 b a二- a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：s ：f(x, y,z)二 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) = 0绕y轴旋转一周：f (y,土 Jx2十Z2 ) = 0绕z轴旋转一周：f (土 J3、柱面：x2y2,z) = 0f (x, y);0表示母线平行于z轴,F(x,y) = 0的柱面4、二次曲面1)椭圆锥面:(不考)2x2"a2x2)椭球面:2a2x2旋转椭球面：ab2 y b22y2a3)单叶双曲面:4)双叶双曲面:5)椭圆抛物面:2x2a2x2a2x2ay b22 y b22 y b22Z2c2Z2c22z2c2z

4、2c6)778)9)双曲抛物面椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：(马鞍面)：a2b2b22 X ""2"一 a2X =b2 ay(四)空间曲线及其方程1、般方程:F (x, y,z)G(x, y, z)X = x(t)I2、参数方程：j y = y(t),如螺旋线:,z = z(t)x = a cos ty = a sin tI z = bt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z) = 0G(x, y, z)=0 ,消去z ,得到曲线在面xoy上的投影H (x, y)z = 0(五)平面及其方程1、点法式方程：A(x - x0) B (y - y0) C (z -

5、 z0) = 0法向量：n = (A,B,C),过点(x。，y。，z。)2、 一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0x 1截距式方程：a b3、两平面的夹角：必=(ABC) , n2 = (AzBG),cos?=:AA1A2B1B2 CGB12 C12 A B； C；二1 -二 2 uAA2B1B2 C1c2 = 0A 旦 QA2 B2 C24、点 Po(Xo, y0, Zo)到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离:Ax。 By。C。 D.A2 B2 C2（六）空间直线及其方程A1x +By C1Z D11、般式方程:B2yC2Z D2 = 02、x - X0

6、y- y0 z- Z0对称式（点向式）方程：一m一二一n-二方向向量:S = （m,n,p）,过点（x。，y。，Z。）x . x0 mt3、参数式方程:y = y°nt4、z = Zo pt两直线的夹角：与=(m1,n1, r),电=(m2,n2, p2),m1m2n1n2p1 p2L1 -,m2L2匕n2 p12 m2 n2 p；m1 m2 n1n2 p1P2 = 0L1 / L2 匕mim25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sin -,J AL/二二Am Bn Cp2 B2 C2、m2 n2 p2Am Bn Cp = 0 ABC第二章多元函数微分法及其应用 （一

7、）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域,闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z = f (x,y),图形：3、极限： lim f(x,y) = A(x, y).(X0,y。)4、连续：, lim 、f(x,y) = f(%,y0) (x,y) >(xo，yo)5、偏导数：山。,%)二啊f(x。x, y。)- f(x。，y。)fy(x0，y0)=晒6、 方向导数：xf （x。，y。y） - f （x。，y。）f f f,菽83+石8力其中3为1的方向角。7、8、梯度：z= f （x,y）,则 gradf （%,y。）= fx'y。） + &#

8、163;丫他力。. fz:z .全微分：设 z= f （x,y）,则 dz=dx + dy xy(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:必要条件4:偏导数存在32、3、1）2）若介值定理)闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理, 微分法定义：复合函数求导：链式法则z= f (u,v),u = u(x, y),v= v(x, y),贝Uz z uz v z z u z v * rr " -T "三叉£U£xv!xX， 8VUjcyR£y3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三)应用1、极值1)无条

9、件极值：求函数z=f(x,y)的极值fx = 0解方程组1 f _ n求出所有驻点，对于每一个驻点(xo,y。)，令fy = 0A=fxx(Xo,y。), B= fxy(Xo,yo) , C= fyy(Xo,y。)，若AC-B2>0, A>0,函数有极小值，若AC-B2>0, A <0,函数有极大值；若AC - B2父0 ,函数没有极值；若AC - B2 = 0 ,不定。2)条件极值：求函数z= f(x,y)在条件中(x,y) = 0下的极值令：L(x, y) = f (X, y) 十九口 (x, y) Lagrange 函数Lx=0解方程组 Ly = 0(x,y) =

10、 02、几何应用1)曲线的切线与法平面x = x(t)曲线，jy = y(t),则r上一点乂就。*。)(对应参数为t。)处的z = z(t)x 一 x0 二 y - y0 二 z- z切线方程为：x (t0) 一 y (t°) 一 z(t0)法平面方程为：x (t0)(x-x0) y (t°)(y - y0)z (t°)(z- z0) = 02)曲面的切平面与法线曲面工：F (x,y,z) = 0 ,则工上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：Fx(x0,y0,z0)(x-x°) Fy(x0,yc,z0)(y- y°) Fz(xc, yG

11、,zb)(z- zj= 0x - x0= y - y°= z- z0法线方程为：Fx(x0, y°, z°) Fy (x0, y0,z0)Fz(x0, y0,z0)第三章重积分（一）二重积分（一般换元法不考）1、定义： f (x, y)d r2、3、4、1)D性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积计算：直角坐标n= lim' f( k, k) >0 "(x, y)1(x)7-2a - x - bb(x)J'fl f(x, y)dxdy =a dxlD2(x)i(x)f(x,y)dyD = (x, y)"(y) m x-2(

12、y)f (x, y)dxdy 二 dycD2)极坐标J2(y)1( y)f (x,y)dxD= （丁）f (x, y)dxdy =D(二)三重积分d1 a：2(R二1f ( ： cos。J sin ) d ?1、2、3、1)n定义： f（x,y,z）dv = limj f （, k, k）" k 1性质：计算：直角坐标Ifff (x,y,z)dv = Ddxdybz2(x,y)z1(x,y) f(x，y，Z)dzf (x, y,z)dv =Adz f(x,y,z)dxdyaDZ“先二后2）柱面坐标y = sin 111 f(x,y, z)dv in f(、cos。” sin。，z)：

13、d：dudz , CQz = z3) 球面坐标x = r sincos 丁y = r sinsinIz = r cos!！ f (x, y, z)d v = f (r sin cos, r sin sin, r cos )r2 sin drd d(三)应用曲面 S:z= f (x, y), (x, y/ D 的面积：z 2 z 2AfK(/FU2dxdy第五章 曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分n1、定义：fL f(x, y)ds=lim f(Jis0 . 4i 12、性质：1) J f (x, y) ： (x, y)ds =: Lf (x,y)ds Lg(x, y)ds.2) f(x,

14、y)ds= f(x,y)dsf (x, y)ds.(L = L1 L2).LL1L23)在 L上，若 f (x, y尸 g(x,y),贝UL f (x,y)dsLg(x, y)ds.4) ds= l ( l为曲线弧L的长度)3、计算：设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x=，f w /、 (" " S，其中华/(t)在P上具有一阶连续导数，且 y = (t),中,2(t)+k2(t)¥0,则L f (x, y)ds= f (t)； (t)； 2(t)； 2(t)dt ,(二)(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑

15、弧，函数 P(x, y)nQ(x,y)在 l 上有界，定义 1Lp(x, y)dx=吼£ pdkJkNxk,， k =1nQ(x,y)dy = lim ' Q(, k) y-L'、°k=i向量形式：LF dr =LP(x, y)dx+Q(x, y)dy2、性质：用 L表示 L 的反向弧,则 JL_F(x,y) dr = -1LF(x,y) dr3、计算：设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x= (t),:出 (t:C(T °),其中'(t)V (t)在。，B上具有一阶连续导数，且 y = (t),

16、中2(t)+k2(t)#0,则P(x,y)dx Q(x,y)dy =P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dtL4、两类曲线积分之间的关系：x = (t)设平面有向曲线弧为 L: 1 w ,、，L上点(x, y)处的切向量的方向角为: y =(t)acos：J 2(t)(t)2(t)cos(t) 2(t)2(t)则(Pdx + Qdy = (P cosa + Q cos。)ds.(二)格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则有Ddxdy = Pdx QdyL2、G为一个单连通区域，函数 P(x,y

17、),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数, 则-Q fP:y曲线积分PPdx + Qdy在G内与路径无关L曲线积分QPdx Qdy= 0L(四)对面积的曲面积分1、定义:P(x,y)dx + Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分设上为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在工上的一个有界函数, n定义 .f(x,y,z)dS = limJ f( i, i, i) ：S:'0 i 2、计算:工：z = z(x,y) , (x,y尸 Dxy,则f (x,y,z)dS =fx,y,z(x,y)、'1 zx2(x,y) zy2(x,y)dxdyDxy(五)对坐标的曲面积

18、分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设工为有向光滑曲面，函数P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)是定义在工上的有界函n数，定义 :R(x, y,z)dxdy = limj R( i, i , i)( Shyi 1n同理 P(x,y,z)dydz = lim，P( i, i, i)( Si%0i =1nQ(x,y,z)dzdx = limJ R( i, i, i)( §)zx10i =13、性质：1)工=工1+工2,则!Pdydz Qdzdx Rdxdy=_Pdydz Qdzdx Rdxdy _ Pdydz Qdzdx Rdxdy -1-

19、22)工表示与工取相反侧的有向曲面，则H±_Rdxdy= - iqRdxdy4、计算:工：z = z(x, y), (x, y)三 Dxy, z = z(x, y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z)在工上连续，则 “、R(x,y,z)dxdy= Rx, y,z(x, y)dxdy ,工为上侧取 Dxy“ + ”，工为下侧取“-”. 5、两类曲面积分之间的关系:Pdydz Qdzdx Rdxdy= . Pcos： Qcos Rcos dS其中a, P；为有向曲面工在点(x,y,z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域 建由分片光滑的闭曲面工所

20、围成，工的方向取外 侧，函数P,Q, R在C上有连续的一阶偏导数，则有-Pxdxd ydz = Pd ydzQdzdx Rdxd y P 君Q eR.,. 口-或十 + dxd yd z=叼(Pcos + QcosP + Rcos" )d S- a：匕x 匕丫 匕z)工(七)斯托克斯公式一1、斯托克斯公式：设光滑曲面 工的边界r是分段光滑曲线，I的侧与r的 正向符合右手法则，P(x,y,z),Q(x, y,z),R(x,y,z)在包含Z在内的一个空间域 内具有连续一阶偏导数，则有已R 白Q 1, 已Pd - dydz+ 心Z )zcZ+(&Qdzdx+ ex JI ox

21、63;Pdxdy= %Pdx + Qd y+ Rdzd xd y=Pdx Qd y Rdz为便于记忆，斯托克斯公式还可写作d ydz dzdxl、r-.CGifNxyPQ第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程 ；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶 .能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解 .如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解

22、为微分方程特解.(x)dx或 dy 二h(x)g(y)淄变量阴分离为注的通解:2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dy = f (x)dx或 对于第1种形式，运用积分方法即可求淄二二g(y)dy = . f (x)dx2、齐次微分方程：y(p(-y)或者x，=中昌在齐次方程y'=中(丫)中，令ix=?，可将其化为可分离方程a yxiydu x代人us方釉能dx'xdx <形如 y'= f (ax+by+c)的方程. u=ax+by+c,£( u除/戎by；愿方程可化为 u -a = f(u).喷瞬!咏栋幅如b$酌勺*b ()3、一阶线性微分方程型如vD(x)v-a(x)称为一阶线性微分方程。 y p(x)y - q(x)其对应的齐次线性微分方程的解为y =CeTp(x)dx。利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解p(x)dxp(x)dx4伯对方程个喘x)y=q(x)yd x +C ) o(n=0,1)5、全微分方程:辿y：(v-7) J：d/ p(x)_y1drj()1)din # Q 1)_(1 d)xp(x)dxdx' (10姒淑 1 - n dx(.(1 -n)q(x)eC)o7、可降阶的高阶常微分方程(1) II(3) 6. 喟膘.蒙.的微分方程6.4.3 覆”.丫即的微分方程8、