数学精华课件抛物线的简单几何性质PPT课件

1、一、复习回顾：一、复习回顾：.1物线，则这个点的轨迹是抛是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFMl.FMd.1.le定点F是抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线，常数 是抛物线的离心率xOyK抛物线标准方程抛物线标准方程0p 是焦准距22ypx1、抛物线的定义：、抛物线的定义：第1页/共23页标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0 ,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0 ,2(pF 2px ) 0(22ppyx)2,0(pF2py 2、抛物线的标准方程：、抛物线

2、的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：、椭圆和双曲线的性质：第2页/共23页方程性质)0( 12222babyax)0, 0( 12222babyax图形范围bybaxa,Ryaxax,或对称性轴及原点对称关于yx,轴及原点对称关于yx,顶点坐标), 0(), 0()0 ,(),0 ,(2121bBbBaAaA)0 ,(),0 ,(21aAaA 叫短轴叫长轴2121,BBAA叫虚轴叫实轴2121,BBAA离心率) 10( ,eace) 1( ,eace第3页/共23页yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线

3、向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而0p 0 x 所以抛物线的范围为0 x 第4页/共23页( , )x y关于x轴对称( ,)xy 由于点 也满足 ，故抛物线(p0)关于x轴对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性yox)0 ,2(pFP(x,y)第5页/共23页定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0 ,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。、顶点第6页/共23页4、离心率yox)0,2(pFP(x

4、,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。第7页/共23页5、开口方向yox)0 ,2(pFP(x,y)抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下第8页/共23页特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考

5、：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0 ,2(pFP(x,y)第9页/共23页方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）第10页/共23页lFAxyBB1pp1211222(0)( ,)(,)ypx pFA x yB xy00如图所示

6、，弦AB过抛物线的焦点 ，设、，弦AB的中点为P(x ,y ).11BP11111111111从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A、 、 ，依据抛物线的定义，|AF|=|AA|,|BF|=|BB|所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|,又PP是梯形AA BB的中位线，所以|AA|+|BB|=2|PP|.因此，我们容易得到A1二、抛物线的焦点弦：二、抛物线的焦点弦：第11页/共23页120(1)|2(2)ABxxpxpAB以为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，我们还可以推得以下结论：22(1)|.sinPAB若直线的倾斜角为 ，则2212(

7、2),.4ABpy yp 12、 两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即x x(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.12(3)|,|,.AFm BFnmnp1设则lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值22|sinPAB抛物线的焦点弦的如下性质:第12页/共23页AxyOBlF2F1AxyOBlF2F11d2d第13页/共23页y.F2F1OxABy.F2F1OxAB第14页/共23页例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.2 2 当焦点在x或y轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m 0) 或x2=

8、my (m0),可避免讨论！三、例题选讲：三、例题选讲：第15页/共23页(2)过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.例2、(1)过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为 .04528yx思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？FAxyB第16页/共23页22(0)ypx pABAB例3、过抛物线焦点作直线交抛物线于， 两点，判断与为直径的圆与准线的位置关系.FxOyABdAdBd第17页/共23页221122122(0)( ,), (,),:.ypx pABA x yB xyy yp 例4、过抛物线焦点作直

9、线交抛物线于， 两点，设求证QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ第18页/共23页.0252正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线位于坐标原点，另外、正三角形的一个顶点例ppxyyOxBA第19页/共23页例6、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD第20页/共23页2 2、已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值中点纵坐标的最小值. .1 1、在抛物线、在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的的距离最短，